"Süath/sta: *^TH/STAT, •'-•t-^/r. GEOMETRIE DER ZAHLEN VON HERMANN MINKOWSKI LEIPZIG UND BEKLIN DßUCK UND VERLAG VON B.G.TEUBNER 1910 ^ ^ OO^ l^ fl/_ ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN Yor^vort der Herausgeber. Von der „Geometrie der Zahlen" erschien die erste Lieferung, S. 1 — 240, im Jahre 1896. Das Erscheinen der zweiten Lieferung ver- zögerte sich, da sich einige unerwartete Schwierigkeiten einstellten, und Minkowski veröffentlichte später den größten Teil der Resultate, die dort entwickelt werden sollten, in verschiedenen kleineren Ab- handlungen, ein der Gesamtausgabe der Abhandlungen sind es die Nummern XIII— XXL) Der Bogen, den wir als zweite Lieferung veröffentlichen, fand sich als vollständig abgeschlossenes Manuskript im Nachlasse, und wir handeln nach dem Wunsche des Verfassers, wenn wir ihn für sich herausgeben und so dem Werke einen gewissen Abschluß verleihen. Ein Verzeichnis der im Buche enthaltenen Bezeichnungen und Ausdrücke ist hinzugefügt worden. Dayid Hubert. Andreas Speiser. 7815.13 Anzeige zur Geometrie der Zahlen. (Mitteilungen Von B. G. Teubner, 1803 S. 7.) Diese Schrift eüthält eine neue Art Anwendungen der Analysis des Unendlichen auf die Zahlen theorie oder, besser gesagt, knüpft ein neues Band zwischen diesen zwei Gebieten. Es werden hier in Bezug auf eine Klasse von vielfachen Integralen einige Ungleichungen ent- wickelt, die eine fundamentale Bedeutung haben für Fragen über approximative Auflösung von Gleichungen durch rationale Zahlen und für Probleme, welche mit derartigen Fragen zusammenhängen. Die wesentlichste Anregung verdankt diese Schrift den Briefen von Herrn Hermite an Jacobi „sur differents objets de la theorie des nombres" im 40. Bande des Grelle' sehen Journals. Herr Her- mite stellt dort den Satz auf, dass man in einer positiven quadra- tischen Form für die Variabein immer solche ganze Zahlen, die nicht sämtlich Null sind, einsetzen kann, dass der Werth der Form eine, ganz allein durch die Determinante der Form ausgedrückte Grenze nicht überschreitet, und er erweist diesen Satz als ein mächtiges Hülfsmittel der Zahlentheorie in solchen Fragen, wie sie soeben bezeichnet wurden. Die ebenfalls im 40. Bande des Grelle 'sehen Journals gedruckte Abhandlung von Dirichlet „Über die Reduction der positiven qua- dratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen" legte es mir nahe, die jenem Satze von Herrn Hermite entsprechende Eigenschaft des Ellipsoids geometrisch zu deuten, und ich erhielt zunächst für jenen Satz einen neuen und ergiebigeren Beweis, den ich im 107. Bande des Grelle 'sehen Journals* auseinander gesetzt habe. In der Folge bemerkte ich, dass die betreffende Eigenschaft des EUipsoids allein in dem Umstände ihren Grund hat, dass das Ellipsoid eine nirgends concave Fläche mit Mittelpunkt ist, und ich wurde dadurch auf ein arithmetisches Princip von besonderer Fruchtbarkeit aufmerksam; es beruht die vielseitige Verwendung dieses Princips auf der Mamiig- faltigkeit von Einzelgestalten, die eine nirgends concave Fläche mit Mittelpunkt darzubieten imstande ist. Dieses Princip ist, mit einigen Zusätzen, im dritten Kapitel der angezeigten Schrift entwickelt. Das erste Kapitel enthält eine ein- gehende Begründung der Eigenschaften der nirgends concaven Flächen. Im zweiten habe ich, um über den Boden, auf dem diese Unter- Anzeige zur Geometarie der Zahlen. V suchungen sich aufbauen, Klarheit zu verschaflPen, und auch, um ihren elementaren Charakter besser hervortreten zu lassen, einige hier zu verwendende bekannte Sätze aus der Functionenlehre mit ihren Be- weisen dargestellt. Das vierte bis siebente Kapitel enthalten Anwen- dungen des in Rede stehenden Princips auf die approximative Auf- lösung von Gleichungen durch rationale Zahlen und durch ganze Zahlen, auf die Theorie der algebraischen Zahlen, auf die Theorie der quadratischen Formen usw., und das achte Kapitel endlich eine be- sondere Untersuchung, die mit jenem Principe in loserem Zusammen- hange steht. Geometrie der Zahlen habe ich diese Schrift betitelt, weil ich zu den Methoden, die in ihr arithmetische Sätze liefern, durch räum- liche Anschauung geführt bin. Doch ist die Darstellung durchweg analytisch, wie dies schon durch den Umstand geboten war, dass ich von Anfang an eine Mannigfaltigkeit beliebiger Ordnung betrachte. Ankündigung. (2. ümschlagseite der ersten Lieferung dieses Werkes.) Die in diesem Buche mitgetheilten Untersuchungen berühren grundlegende Fragen der mathematischen Wissenschaft. Sie bringen einige allgemeine und sehr fruchtbare Principien über die Annäherung an beliebige Grössen mittelst der Reihe der ganzen Zahlen. Ich bin zu meinen Sätzen durch räumliche Anschauungen gekommen (über ihre Vorgeschichte s. die Mittheilungen Ton B. G.Teubner, 1893 S, 7 (vgl. S. IV und V dieses Werkes)). Weil aber die Beschränkung auf eine Mannig- faltigkeit von drei Dimensionen unthunlich erschien, so habe ich die Darstellung hier rein analytisch gefasst, nur befleissige ich mich des Ge- brauchs solcher Ausdrücke, die geeignet sind, geometrische Vorstellungen wachzurufen. Die Beweise der Sätze offenbaren den intimsten Zusammen- hang des hier erörterten Theils der Zahlentheorie mit den Fundamenten der Analysis des Unendlichen. Um diese Verknüpfung recht in's Licht zu setzen, ist hier auch manches Bekannte von Grund aus entwickelt. Die Leetüre des Buches erfordert daher nur geringe Vorkenntnisse, wenn auch selbstverständlich eine gewisse mathematische Bildung. Der behandelte Stoff betrifft vielfach Gebiete, die gegenwärtig im Vordergi-und des mathematischen Interesses stehen. Da nun die vollständige Fertigstellung des Buches erst in einigen Monaten zu er- warten ist, so habe ich mich entschlossen, um mehreren mir geäusserten Wünschen zu entsprechen, einen seit längerer Zeit gedruckten Theil schon jetzt zu publiciren. Diese Lieferung entwickelt bereits die meisten allgemeinen Theoreme. Die Schlusslieferung wird noch mancherlei Anwendungen derselben bringen; sie soll im Laufe des Sommers erscheinen. Ihr Umfang wird nicht 10 Bogen übersteigen. Über ihren Inhalt entnimmt man Einiges aus meinen Aufsätzen im Bulletin des sciences matheraatiques, Januar 1893 und in den Annales de l'ecole normale superieure, Februar 1896. Der verehrlichen Ver- lagsbuchhandlung bin ich für vielfaches Entgegenkommen während des Drucks wie jetzt bei der Theilung dieser Publication sehr zu Dank verpflichtet. Inhalt. Erstes Kapitel. Von den nirgends concaven Flächen. 1. Eine Functionalungleichung. S. 1. — 2. Distanzcoefßcienten. S. 2. — 3. Obere Grenze für einhellige Distanzcoefßcienten. S. 3. — 4. Stetigkeit ein- helliger Strahldistanzen. S. 4. — 5. lieber Pünktroengen mit unendlich vielen Punkten. S. 6. — 6. Untere Grenze für einhellige Distanzcoefßcienten. S. 7. — 7. Die Aichfläche und der Aichkörper von Strahldistanzen. S. 9. — 8. Der Aich- körper einhelliger Strahldistanzen. S. 11. — 9. Die einfachsten, durch Ebenen bestimmten Bereiche. S. 14. — 10. Zellen im Aichkörper. S. 17. — 11. Die Aichfläche als Begrenzung des Aichkörpers. S. 18. — 12. Ein Hülfssatz über die Begrenzung einer Vereinigung von Zellen. S. 20 — 13. Annäherung an die Aich- fläche durch eingeschriebene Flächenzellen. S. 26. — 14. Weitere Annäherung an die Aichfläche. S. 28. — 16. Annäherung an die Aichfläche vom Aeusseren des Aichkörpers her. S. 31. — 16. Die Stützebenen der Aichfläche. S 33. — 17. Die nirgends concaven Flächen. S. 35. — 18. Die überall convexen Flächen. S. 38. — 19. Anhang über lineare Ungleichungen. S. 39. Zweites Kapitel. Vom Volumen der Körper. 20. Untere und obere Grenze einer Menge von Größen. S. 46. — 21. Ver- halten einer stetigen Function in Bezug auf die Grenzen ihrer Werthe. S. 48. — 22. Gleichmässige Stetigkeit in abgeschlossenen Punktmengen. S. 60. — 23. Be- merkungen über Bereiche, die aus Würfeln zusammengesetzt sind. S. 53. — 24. Strahlenkörper. S. 56. — 25. Volumen eines Strahlenkörpers. S. 66. — 26. Volumen einer Vereinigung von Strahlenkörpem. S. 62. — 27. Volumen eines Parallelepipedum. S. 63, — 28. Verhalten der Volumina bei linearer Trans- formation der Coordinaten. S. 69. — 29. Untere Grenze für einhellige Distanz- coefficienten. S. 71. Drittes Kapitel. Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen P*unkt mit ganzzahligen Coordinaten enthalten. 30. Arithmetischer Satz über die nirgends concaven Körper mit Mittelpunkt. S. 73. — 31. Stuten im Zahlengitter. S. 77. — 32. Stufen grössten Volumens. S. 81. — 33. Weiteres über den lückenlosen Aufbau von Stufen grössten Volumens. S. 86. — 34. Ebene Begrenzung bei den Stufen grössten Volumens. S. 91. — 35. Aneinanderfügung der Wände in Stufen grössten Volumens S. 96. Viertes Kapitel. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 36. Lineare Formen mit ganzzahligen Unbestimmten und mit beliebigen reellen Coefficienten. S. 102. — 37. Arithmetischer Satz über n lineare Formen mit n Variabein. S. 104. — 38. Annäherung an reelle Grössen durch rationale Zahlen. S. 108. — 39. Lineare Formen mit complexen Coefficienten. S. 113. — VIII Inhalt. 40. Summen von Potenzen linearer Formen. S. 115. — 41. Die kritischen Prim- zahlen zu einer algebraischen Zahl. S. 123. — 42. Untere Grenze für den ab- soluten Betrag einer Discriminante. S. 133. — 43. Einheitswurzeln in einem Gattungsbereich algebraischer Zahlen. S. 136. — 44. Theorem von Dirichlet über die complexen Einheiten. S. 137. — 46. Arithmetische Theorie eines Linienpaars; Theorie der Kettenbrüche und der reellen quadratischen Irrational- zahlen. S. 147. Fünftes Kapitel. Eine weitere analythisch-arithmetische Ungleichung. 46. Reduction des Zahlengitters in Bezug auf gegebene Richtungen. S. 172. — 47. Kleinstes System von Strahldistanzen im Zahlengitter, S. 176. — 48. Eine Anwendung auf die endlichen Gruppen ganzzahliger linearer Substitutionen. S. 180. — 49. Von den positiven quadratischen Formen und ihren ganzzahligen Transformationen in sich. S. 182. — 50. Oekonomie der kleinsten Strahldistanzen. S. 187. — 51. Arithmetisches über EUipsoide. Endlichkeit von Klassenanzahlen bei positiven quadratischen Formen. S. 196. — 52. Berechnung eines Volumens durch successive Integrationen. S. 199. — 63. Beweis der neuen analytisch- arithmetischen Ungleichung. S. 211. — 54. Weitere Hülfss'ätze über Volumina. S. 210. — 56. Die extremen Aichkörper. S. 224. — 56. Eine Hülfsbetrachtung über Ovale. S. 236. — 57. Ungleichung zwischen den Volumina dreier Parallel- schnitte eines nirgends concaven Körpers. S. 243. Register. S. 256. HERRN CHARLES HERMITE ZUM SIEBZIGSTEN GEBURTSTAGE IN GRÖSSTER VEREHRUNG GEWIDMET VOM VERFASSER. Erstes Kapitel. Von den nirgends concaven Flächen, 1. Eine FunctionalungleichTing. Es bedeute n irgend eine Anzahl, und die n Zeichen a^j, . . . Xa sollen, ein jedes unabhängig von den anderen, jeden reellen Werth vorstellen dürfen. Ein einzelnes System von Werthen dieser Zeichen heisse ein Punkt, die Werthe selbst die Coordinaten des Punktes. Man denke sich eine Function von zwei Punkten — gie möge, wenn der erste Punkt a, der zweite b heisst, mit S(ah) bezeichnet werden — von folgender Art: Es soll Ä(ab) für einen beliebigen Punkt a und einen beliebigen Punkt b stets einen bestimmten Werth haben; dieser Werth soll immer positiv sein, wenn b von a verschieden ist, und immer Null, wenn b mit a identisch ist. Ferner soll diese Function folgende Functionalgleichuug erfüllen: Stehen vier Punkte a, b, C, b mit den Coordinaten a^^, ... a„; &i, ... hn'i c^j ... c„-, (?i, ... dn, von denen a und b verschieden sein mögen, zu einander in der Beziehung, dass 6 öi — ^1 = ^(^1 — aj ,...(?„ — c„ = t{bn — an) und dabei t positiv ist, sc soll immer S(ch) = tS{ah) sein. Es möge 5(ab) die Benennung Strahldistanz von a nach b (oder des Punktes b von a) erhalten; und unter Strahldistanzen über- haupt sollen die Werthe irgend einer Function S{a'b) mit den eben genannten Eigenschaften verstanden werden. In diesem Kapitel soll das Wesen derjenigen Strahldistanzen auf- geklärt werden, welche noch folgende Functional Ungleichung erfüllen: Für irgend drei verschiedene Punkte a, b, c soll immer S{ac) < S{ah) + S(bc) sein. Minkowski, Geometrie der Zahlen. 1 2 Erstes Kapitel. StrahldistaDzen, welche dieser Forderung genügen, mögen ein- hellig heissen. Unter wechselseitigen Strahldistanzen sollen solche verstanden werden, bei welchen zwischen S(ha) und S(ah) immer Gleichheit be- steht. Die folgende Untersuchung setzt nicht durchaus wechselseitige Strahldistanzen voraus. 2. Distanzooefficienten. Gute Dienste wird das einfachste Beispiel von Strahldistanzen leisten. Sind «1, ... a„ und \, ...hn die Coordinaten zweier Punkte o und B, so sollen die Differenzen \ — a^, ...&„ — a« die relativen Coor- dinaten vo» b in Bezug auf a heissen. Unter einem Würfel soll hier ganz ausschliesslich ein solcher Bereich von Punkten x^y,..Xn verstanden werden, wie ihn die Un- gleichungen bei irgend welchen Werthen von a^, ... a„ und einem positiven Werthe von t definiren. Der Punkt mit den Coordinaten «i,...«« soll dabei der Mittelpunkt, die Grösse 2t die Kante des Würfels heissen. Das Maximum unter den absoluten Beträgen der n relativen Coor- dinaten eines Punktes B in Bezug auf einen Punkt a soll die Spanne von a nach b (oder des Punktes b von a) heissen und mit E(ah) be- zeichnet werden. Diese Function E(ah) genügt offenbar der Functional- gleichung in 1. und ferner ist immer E(ha) = E(ah): sie genügt aber auch der Functional Ungleichung in 1. Denn es bedeutet JE^(ab), wenn a^y...an und \, ,..hn die Coordinaten von a und b sind, die kleinste Grösse, welche allen n Ungleichungen abs {h — an) ^ E{ah) (h=l,.,,n) genügt; durch das Vorsetzen von abs soll der absolute Betrag einer Grösse bezeichnet werden. Ist nun c mit den Coordinaten c^, ...c„ ein dritter Punkt, so wird immer abs (ca — üh) ^ abs (h — aj) + abs (ca — h) (Ä «== 1, . , . n) sein, und daraus folgt zunächst ab8(cA - aH)£E{(X^) + JS'(bc) Qi == 1, ... w) und sodann E{at)^E{oi\>) + E{ht). Von den nirgends concaven Flächen. 3 Wenn a und b zwei verschiedene Punkte sind, so soll unter der Richtung von a nach b (oder der Richtung ab) dasjenige System von n Grössen verstanden werden, welches sich ergiebt, wenn jede der n relativen Coordinaten von b in Bezug auf a durch j^(ab) dividirt wird; es soll auch gesagt werden, b liege in der betreffenden Richtung von a aus, und wenn zwei Punkte b und c in einer und derselben Richtung von einem Punkte a aus liegen und dabei die Spanne E{a'b) kleiner als die Spanne E(ac) ist, soll gesagt werden, b liege in der betreffenden Richtung von a aus vor C, und C über b hinaus. Indem die Spannen specielle Strahldistanzen vorstellen, kann die wesentliche Bedingung für Strahldistanzen auch so gefasst werden: Für je zwei von einander verschiedene Punkte a und b, welche ein und dieselbe Richtung ab darbieten, soll der Quotient iSf(ttB) aus Strahldistanz und Spanne von a nach b immer einen und den- selben, und zwar regelmässig einen positiven Werth haben. Dieser für eine Richtung constante Werth möge der Distanzcoefficient der Richtung heissen; es gilt dann also die Regel: Eine Strahl- distanz S{ah) ist, wenn a und b verschieden sind, gleich der Spanne E(ah), multiplicirt in den Distanzcoefficienten der Richtung ab. 3. Obere Grenze für einhellige Distanzcoeffloienten. Es bedeute o den Nullpunkt, den Punkt mit den Coordinaten a;i = 0, ...a:„ = 0. Es liegt in jeder Richtung von 0 aus ein bestimmter Punkt, nach dem die Spanne von o Eins beträgt. Dieser Punkt repräsentirt geradezu die Richtung nach der Definition einer Richtung in 2.; die Strahldistanz von 0 nach diesem Punkte ist dann unmittelbar der Distanzcoefficient der Richtung. Der Bereich sämmtlicher Punkte, nach welchen die Spanne von o Eins beträgt, möge 333 heissen. Es sind dies diejenigen Punkte, welch den Ungleichungen so genügen, dass mindestens eines der 2w Gleichheitszeichen darin für sie statthat. Bei einhelligen Strahldistanzen existirt eine einfache obere Grenze für die sämmtlichen Distanzcoefficienten. 4 Erstes Kapitel. Es mögen Oj , . . . 0„ die w besonderen Punkte aus 2ö vorstellen, für welche jedesmal eine Coordinate, nämlich entweder x^ ... oder Xn gleich 1 und die übrigen w — 1 Coordinaten sämmtlich gleich Null sind; und es sei, unter S(ah) irgend welche einhellige Strahldistanzen verstanden, — das Maximum unter den 2w Grössen: S(oo,), ... ^(oo„); /Sf(OiO), ... 5(o„o). Dann gilt der Satz: Jeder Distanzcoefficient ist ^ G. Denn es sei w^, ... Wn oder XO irgend ein Punkt des Bereichs 2Ö, so dass also jedenfalls abs w^i < 1, ... abs w„^l ist, und es bedeute sodann für Ä = 1, ... w — 1 jedesmal Iüa denjenigen Punkt, der in den Coordinaten iCj, .,.Xh mit dem Punkte tt) übereinstimmt und die weiteren Coordinaten sämmtlich gleich Null hat. Durch wiederholte Benutzung der Eigenschaft einhelliger Strahldistanaen ergiebt sich: S (Oto) <: S {OXÜ,) + ^(WitUa) -\ h S(tOn-itD). Rechts stehen hier w Strahldistanzen; in der 1i^° (h=\^ ... w) hat der zweite Punkt von seinen n relativen Coordinaten in Bezug auf den ersten Punkt die h^ gleich Wm die übrigen gleich Null, sind also die zwei Punkte identisch oder verschieden, je nachdem w;^ = 0 oder ^ 0 ist, und ist im letzteren Falle die Richtung vom ersten nach dem zweiten Punkte bei positivem w^ die Richtung oOa, bei negativem Wh die Richtung OaO. Auf Grund der Regel am Schlüsse von 2. findet sich danach, indem abs w* ^ 1 ist, die h^ jener Strahldistanzen ^ - , die Summe auf der rechten Seite also < G . Stetigkeit einhelliger Strahldistanzen. Einhellige Strahldistanzen >S(aB) stellen eine stetige Function der Coordinaten des Punktes b sowohl als der des Punktes a vor. Denn es seien S{ab) und S{ixC) irgend zwei Strahldistanzen mit demselben ersten, aber zwei verschiedenen zweiten Punkten, und es sei etwa /S'(ac) ^ ./S^(ab). Nach der Eigenschaft einhelliger Strahl- distanzen ist dann die Differenz S{at) — 5(ab)^Ä(bc). Die Strahl- distanz /S'(bc) aber ist nach dem Satze in 3. und der Regel am Schlüsse von 2. ^GE{ht), Indem noch die Spanne iJ(cb) = E(hz) ist, er- giebt sich, dass in jedem Falle der absolute Betrag der Differenz Von den nirgends concaven Flächen. 5 S(ac) — 5(oB) kleiner als eine irgendwie angenommene positive Grösse 6 sein wird, so lange die absoluten Beträge der relativen Coordinaten von c in Bezug auf b sämmtlich kleiner als f = ^ sind, und ein der- artiger Umstand bedeutet eben die Stetigkeit von 5 (ab) als Function der Coordinaten von B. Die Stetigkeit von 5(ab) als Function der Coordinaten von a folgt dann aus der einfachen Bemerkung, dass eine Function S*{a\))j die mit der Function S(ah) durch die Functional- gleichung S*{ah) == S(ha) verbunden ist, ebenfalls einhellige Strahl- distanzen bezeichnet. 5. neber Ftmktmengen mit xmendliob. vielen Funkten. Eine unendliche Reihe von Punkten Po> Plf Pi> "' mit der Eigenschaft, dass zu jeder positiven Grosse s ein Index l existirt, so dass die Spannen von pi nach allen folgenden Punkten pi+if pi+2, ... <€ sind, convergirt nach einem bestimmten Grenzpunkte. Denn die Voraussetzung besagt: wenn zu s ein geeigneter Index l genommen wird, sind für jede einzelne der n Coordinaten ihre Werthe für pz+i, pi^2, ... um weniger als s von ihrem Werthe für pi verschieden, und convergirt hiernach jede einzelne der n Coordinaten in der angenommenen Reihe von Punkten nach einem bestimmten Grenz werthe. Unter einer Punktmenge wird eine irgendwie wohldefinirte Ver- einigung von lauter verschiedenen Punkten verstanden. Häufungs- stelle einer Pnnktmenge heisst jeder solche, sei es nun in ihr ent- haltene oder nicht enthaltene Punkt p, welcher die Eigenschaft hat, dass, wie klein auch eine positive Grösse s angenommen werden mag, die Punktmenge mindestens einen, von p verschiedenen Punkt mit einer Spanne < s von p enthält. Eine Punktmenge mit einer endlichen Anzahl von Punkten lässt immer eine einzige Anordnung nach dem Principe zu, dass von zwei Punkten stets derjenige vorangehen soll, bei dem in der Reihe der Coordinaten x^^j ...iCn zuerst eine kleinere Grösse auftritt, d. h. also, dass ein Punkt Oj , . . . a, vor allen anderen Punkten ^j , . . . 6« aufgeführt wird, bei welchen die erste nicht verschwindende der Differenzen &, — «1 , ...hn — ein positiv ausfällt. Eine Punktmenge, welche in einem gegebenen Würfel mit endlicher Kante unendlich viele Punkte enthält, besitzt in Q Erstes Kapitel. dem Würfel mindestens eine Häufungsstelle. (Ein Theorem von Weierstrass.) Es ist für den Beweis eine unbegrenzte Reihe von wachsenden positiven ganzen Zahlen zu Hülfe zu nehmen: ßo«i, 5^,, si,, ..., welche mit 1 beginnen und in der jede spätere Zahl ein Vielfaches der ihr vorangehenden sein muss, wie etwa die Reihe der sämmtlichen Potenzen von 2 von der nullten an. Es sei P die Punktmenge, und sie habe unendlich viele ihrer Punkte in dem Würfel mit pQ als Mittelpunkt und der Kante 2 t liegen. Das Intervall von — ^ bis t von der Breite 2 t werde in Sl^ an einander anschliessende Intervalle je von der Breite ^ getheilt, und jedes dieser Intervalle immer mit Einschluss seiner beiden Grenzen aufgefasst. Wird jede der n relativen Coordinaten eines unbestimmten Punktes j in Bezug auf den Punkt p^ auf je ein einziges dieser Sl^ Intervalle verwiesen, so wird dadurch als Bereich von j ein Würfel von der Kante 2t — definirt, in welchem also alle Punkte vom Mittelpunkte eine Spanne t 2t < — haben. Solcher Würfel von der Kante ^ sind, indem Sl. Inter- valle zur Verfügung stehen, im Ganzen .^i vorhanden, und diese setzen, wobei sie auch unter einander Punkte gemeinsam haben, genau den Ausgangswürfel zusammen. Indem nun die vorausgesetzte Punktmenge P in diesem ersten Würfel unendlich viele Punkte liegen haben sollte, wird sie auch in einem oder in mehreren der in beschränkter Anzahl vorhandenen neuen Würfel, welche vereinigt den ersten ergeben, un- endlich viele Punkte enthalten müssen. Es mögen alle von den neuen Würfeln, bei welchen sich solches ereignet, bestimmt und es möge aus ihrer Mitte ein Würfel ausgewählt werden, nach sicherem Principe, etwa indem den Mittelpunkten der Würfel die oben erwähnte Anord- nung nach der Grösse der Coordinaten mit Berücksichtigung von deren Numerirung ertheilt, und sodann derjenige Würfel ausgewählt wird, dessen Mittelpunkt bei dieser Anordnung als erster Punkt auftritt. Der Mittelpunkt des ausgewählten Würfels von der Kante ^ heisse p^. Wie nun mit Rücksicht auf die gegebene Punktmenge P aus pQ und der Grösse 2 t unter Benutzung des Verhältnisses Ä^ : 1 der Punkt 2t pi gewonnen ist, nach demselben Verfahren kann aus p. und 7^- unter Benutzung des Verhältnisses Sl^ : ß^ ein bestimmter Punkt p^ Von den nirgends concavon Flächen. 7 ermittelt werden, u. s. f. Es ist so durch ein bestimmtes Gesetz eine unbegrenzte Reihe von Punkten definirt: Po; PiJ P2> ••• Dabei ist dann für jeden in Betracht kommenden Index l die Spanne von pi nach pi^iy pi-f2 ••• stets < -^ • Indem die Zahlen ß^, ^i, ^2; •• • fortwährend wachsen, convergirt infolge dieses ümstandes die Reihe Po) Pi> p2)"' iiach einem bestimmten Grenzpunkte p. Dann ist die Spanne von p nach pi immer ^ 0" > ^^ sie offenbar keine bestimmte Grösse > -^ sein kann; und weil dieses auch für l = 0 gilt, ist p ein Sil Punkt im Ausgangswürfel. Wie nun jeder Punkt pi zu bestimmen ist, enthält die Punktmenge P unendlich viele Punkte, darunter also auch von p verschiedene Punkte, mit einer Spanne ^ ö" ^^^ Pi) "^^ ^^^^ solche bedeutet nach dem soeben Bemerkten jedenfalls eine Spanne <7r- von p. Indem 7:- mit wachsendem Index l kleiner als jede posi- tive Grösse € wird, erweist sich dadurch p als eine Häufungsstelle für die Punktmenge P. ß. Untere Grenze für einhellige Dißtanzcoefficienten. Der Bereich der Punkte mit einer Spanne Eins vom Nullpunkte, SB, zerlegt sich unmittelbar in 2n Bereiche, von denen ein jeder durch eine Gleichung und 2n — 2 Ungleichungen definirt wird. Der alle diese 2n Bereiche umfassende Ausdruck lautet: 00k = ^h, —l^^A, <1, ••• — l^^A„_l^l; unter h eine der Zahlen 1,...«, unter Ä^, ... hn-i sodann die übrigen dieser Zahlen und unter d;, entweder 1 oder — 1 verstanden. Diese Bereiche sollen nun weiter zerlegt werden. Es bedeute Sl irgend eine positive ganze Zahl. Das Intervall von — 1 bis 1 werde 2 in Sl an einander anschliessende Intervalle je von der Breite ^ getheilt, und man lasse ein jedes der n — 1 Zeichen Wh^, ...Wh^_^y unabhängig von den anderen, die sämmtlichen Mitten dieser Sl Intervalle, also die Grössen bedeuten; ferner verstehe man unter ^a^, ... '^a^_i jedesmal von Neuem entweder 1 oder — 1. Dann ergeben die insgesammt 2^(2^)"""^ Be- reiche, deren Ausdruck 8 .Erstes Kapitel. iTA = ^/. , 0 ^ ^,X^H, -md^i^ '" 0 ^ '^/.„^i {x,^_^ — Wn^^^ £ ~ ist, vereinigt genau den Bereich SCB. Jeder der hier construirten Theil- bereiche ist so beschaffen, dass die Spanne von irgend einem Punkte nach irgend einem anderen in ihm. niemals ^ übersteigt. Ferner ent- hält jeder dieser Bereiche einen der 2Wiß"-~^ Punkte: es wird also jeder beliebige Punkt j aus S03 von mindestens einem dieser besonderen Punkte in endlicher Anzahl eine Spanne ^ ^ haben, und dann wird nach 4. die Strahldistanz jS'(oj) vom Nullpunkte o nach j gewiss nicht um mehr als ji unter der Strahldistanz von o nach diesem besonderen Punkte liegen. Es bezieht sich diese Be- trachtung auf einhellige Strahldistanzen. Es mögen nun unter diesen besonderen Punkten in endlicher An- zahl diejenigen aufgesucht werden, nach welchen die Strahldistanz von 0 am kleinsten ausfällt; diese Punkte mögen (^3^2) heissen, und S(o)(^S2) sei ihre Strahldistanz von 0. Dann wird für jeden beliebigen Punkt g in SS sein: Nun stelle man sich die unendliche Reihe der Gruppen von Punkten (Pi), (^2), {P3)> ' . . für alle positiven ganzen Zahlen Sl vor, so sind nur zwei Möglich- keiten denkbar. Entweder treten in diesen Gruppen nur eine endliche Anzahl verschiedener Punkte auf; dann muss mindestens einer dieser Punkte darin sich unendlich oft wiederholen, und es sei p ein solcher Punkt. Oder aber in diesen Gruppen ist eine Punktmenge mit unend- lich vielen Punkten definirt. Dann muss es nach 5., da alle diese Punkte einem Würfel von endlicher Kante angehören, mindestens eine Häufungsstelle für diese Punkte geben, und es bedeute :p nun eine solche Stelle. In beiden Fällen hat dann p die Eigenschaft, dass, wie eine ganze Zahl Sl und eine positive Grösse s auch angenommen werden mögen, selbst wenn man jene Gruppen erst von der il^^ an betrachtet, in ihnen immer noch mindestens ein Punkt mit einer Spanne < s von p vorhanden ist. Indem die Spanne von 0 nach diesem Punkte Eins sein wird, weil er zu 2B gehört, ergiebt sich für p dadurch 1 — £ < ^(op) < 1 + «; und ferner wird für jeden Punkt 5 in SB: S(oj)>S(op)-(?(i + ^) Von den nüigaidB concsTen Flächen. 9 adn mUsseiL Xnn bedeaten E(pp) und 8(op) bestimmte Werthe. Wäre der erstere von Eins Terschied^i, so konnte £ so klein an- genommen werden, dass aich hier ein Widersprach herausstellte: also gehört p ebenfüls xa SB und ist daher gewiss Ton o Terschieden. Wiie fiemer f&r irgend einen bestimmten Punkt ^ in 193: S(pp)>S(pi), so konnte Sl so rross nnd € so klein gewählt werden, dass an zweiter Stelle ein Widerspruch aoftrmte. Also mnss fÖr jeden Punkt J in SB sein: Ä(oj)^S(op). Dm mm p Ton o Terschieden ist, moss S{op) nach der allerersten FeslBeUung in L Ton NnU Terschieden nnd positiT sein, and danach eütiTt gewiss eine wesentlich positiTe GrOsse g Ton solcher Art, dass die Strahldiatanxen S(p%) ftlr aUe Punkte |r in SB, also die Distanz- eoeffidenten durchweg ^g sind (VgL 29.) Der Satz in 3. und dieses Resultat nun führen auf die folgenden ünglleichungen, Yon denen rielfaeh Crebranch gemacht werden wird: g£^ztj £ Siah) £ GE(al), oder: I Ä(ab) ^ E{ah) ^ ^ S(ab). 7. Die Alchfl&ehe nnd der Aichkoiper Ton Stralddistanaefn. Es m^gen wieder iiüter Sfa!*^ irgend welche Strahldistanzen Ter- standen ^rrdeD. Es lieg: da:.:. :z. "-::cr K:chtimg vom Nuilponkte o aas e:n riizigrr P::Lk: :, fir den ä(oj) =* 1 ist Dieser Punkt ist d?5s :ür ihn iE'^oj), die Spanne Tom Nullpunkie rciproien Werthe des Distanzcoefficiarten der be- trrfrLden Richtang sein mnss. Andererseits erscheint dieser Punkt h:fr..:r:h geeignet^ 3.ii-i:: durch seine Lage auf den bezüglichen D :s: Lzc:r:dcienten Scni:c5seii zu lassen, and dorch alle Punkte Ton dieser Bedeutung in allen n: gi::urn Biditungen Tom Xallpunkte aas, werden daiier alle mogiichen T ist^nzcoefficienten nnd damit auch alle mocTiichen Werthe 5 .:: :r5:::ei .:: sein. Die Menge dieser Punkte j, für weionc i :: =1 is:. :u;h:e die A::n:läche der Strahldistanzen 5(ab) heissen. Der Ber: i üd^ s: i: eine specielle solche Aich- fläche vor. Ferner möge die Menge derjenigen Punkte r, für welche ä>(0 j) < 1 ist. der Aichkorper der Strahldstanzen :^ .:: heissen. Die Aich- fiäcne und der Aichkorper best:n:u:en einander gegenseitig, indem in jeder Richtung voni Nullpunkte aus ein einziger Punkt der Aichfläche dad ai^r , i.-r.cn ur 10 Ersteß Kapitel. und alle Punkte mit nicht grösserer Spanne von 0 als dieser eine Punkt dem Aichkörper angehören; dazu enthält der Aichkörper noch den Nullpunkt selbst. Umgekehrt gehören zu jeder Punktmenge, welche die Eigenschaft hat, dass ihr in jeder Richtung vom Nullpunkte aus ein einziger Punkt, der Nullpunkt selbst aber nicht angehört, ganz bestimmte Strahldistanzen /S'(aB), für welche die Punktmenge als die Aichfläche erscheint. Es soll der Ausdruck gebraucht werden: Eine Punktmenge Q reproducire um einen Punkt b in einem Verhältnisse t:l eine zweite Punktmenge P um einen Punkt a (wobei t positiv zu denken ist), wenn die Werthsysteme der relativen Coordinaten in Bezug auf a für die Punkte von P, mit t multiplicirt, genau die Werthsysteme der relativen Coordinaten in Bezug auf B für die Punkte von Q ergeben. Wenn dabei b und a identisch sind, soll die Herleitung von Q aus P auch als Dilatation der Puuktmeuge P von 0 aus im Verhältnisse t : 1 bezeichnet werden. Die Menge derjenigen Punkte j, welche einer Beziehung S{a^) = t(£ t) oder S{ia) = t{^ t) genügen, unter a einen festen Punkt und unter t eine positive Grösse verstanden, soll die Fläche (der Körper) der Strahldistanz t (der Strahldistanzen -^t) von dem Punkte a beziehlich nach dem Punkte a heissen. Die Fläche der Strahldistanz t (der Körper der Strahl- distanzen ^t) von einem Punkte a reproducirt um a im Ver- hältniss t : 1 die Aichfläche (den Aichkörper) der Strahl- distanzen um den Nullpunkt. Wird ein Punkt a festgehalten, so gehört zu jedem Punkte j ein bestimmter Punkt j*, der in Bezug auf a dieselben relativen Coordinaten hat wie a in Bezug auf j. Es ist dann S(jc*a)== S{ai). Die Beziehung von j und j* ist eine gegenseitige; j* soll der zu j in Bezug auf a symmetrische Punkt heissen. Der Punkt j* ist von a verschieden, wenn es j ist, und dann hängt die Richtung a£* allein von der Richtung aj ab; zwei solche Richtungen sollen entgegen- gesetzt heissen. Endlich sollen zwei Punktraengen zu einander sym- metrisch in Bezug auf a heissen, wenn die eine genau aus den, zu den Punkten der anderen in Bezug auf a symmetrischen Punkten besteht. Die Fläche der Strahldistanz t (der Körper der Strahl- distanzen ^t) nach einem Punkte a ist der Fläche der Strahl- Von den nirgends concaven Flächen. 11 distanz t (dem Körper der Strahldistanzen ^t) von dem Punkte a in Bezug auf a symmetrisch. Von einer Punktmenge, die zu sich selbst symmetrisch in Bezug auf einen Punkt a ist, soll gesagt werden, sie habe den Punkt a als Mittelpunkt. Dass zwischen 5(aB) und Si^a) bei beliebigen Punkten a und B immer Gleichheit bestehe, ist offenbar gleichbedeutend mit der Forde- rung, dass zu je zwei entgegengesetzten Richtungen immer derselbe Distanzcoefficient gehöre. Solches wird dann und nur dann der Fall sein, wenn die Aichfläche der Strahldistanzen zu sich selbst sym- metrisch in Bezug auf den Nullpunkt ist, den Nullpunkt als Mittel- punkt hat. 8. Der Aichkörper einhelliger Str ab Idis tanzen. Von nun an wird in diesem Kapitel nur noch von einhelligen Strahldistanzen die Rede sein. Beliebige Strahldistanzen sind nach 7. immer schon durch ihre Aichfläche vollkommen festgelegt. Danach ist einleuchtend, dass die Aichfläche einhelliger Strahldistanzen besondere Eigenschaften wird darbieten müssen. I. Sind a und B mit den Coordinaten a^, . . . ün und h^, ... &„ zwei verschiedene Punkte, so heisse der Bereich der Punkte mit Coordinaten von der Form die durch a und B gehende gerade Linie und der Bereich derjenigen Punkte dieser geraden Linie, für welche sowohl 1 — ^^0 wie ^^0 ist, die, a und b verbindende Strecke (auch die Strecke ah oder von a nach b). Es werden hier Formeln Verwendung finden: aa + ••• = ... + xf, worin a, . . . ! Zeichen für Punkte und a, . . . x Grössen und zwar von solcher Art sein werden, dass die Summe dieser Grössen auf jeder Seite der Gleichung denselben Werth ergiebt; eine solche Formel soll immer dasjenige System von n Gleichungen vertreten, das aus ihr hervor- geht, wenn die Zeichen für die Punkte durchweg einmal durch die erste, . . ., einmal durch die n^ Coordinate der Punkte ersetzt werden. Die Eigenschaften von Strahldistanzen S(ah) sind dann kurz folgende: Es soll sein: S(ah) = 0, wenn b — a = 0 ist, S(ah) > 0, wenn b — a nicht = 0 ist, ferner S(ch) = tS(ah), wenn b — c = ^(b — a) und darin ^ > 0 ist. 12 Erstes Kapitel. Für einhellige Strahldistanzen trägt nun der Aichkörper folgenden Charakter: Gehören irgend zwei Punkte dem Aichkörper an, so ist dasselbe mit jedem Punkte der sie verbindenden Strecke der Fall. Denn es seien t) und j irgend zwei verschiedene Punkte im Aich- körper, tD = (1 — i)^ -^ H irgend ein Punkt der sie verbindenden Strecke, also t dabei ^ 0 und < 1 , ferner sei Ö derjenige Punkt, für den ö — 0 == (1 — t)(\) — o) ist, sodass noch tö — ö == ^(j — o) sein wird. Dann ist nach der Eigenschaft einhelliger Strahldistanzen; S(oto)S^(ot)), S{\)to)=^tS{oi\ Nach der über t) und j gemachten Voraussetzung soll nun sein, und so folgt auch: S{otD) ^ (1 — t) -{- t = 1. — Wenn dabei S(ot)) < 1, 5(05) < 1 ist, also t) und 5 beide nicht auf der Aichfläche liegen, gilt auch dieses für jeden einzigen Punkt der t) und 5 ver- bindenden Strecke. Umgekehrt, wenn der Aichkörper von Strahldistanzen /S'(aB) die Eigenschaft hat, dass mit irgend zwei Punkten \) und §, die ihm, aber nicht der Aichfläche angehören, stets jeder einzige Punkt der, t) und J verbindenden Strecke dem Aichkörper angehört, so sind die Strahl- distanzen einhellig. Denn sollte für irgend drei bestimmte Punkte a, b, C einmal S(ac)>S{ah) + S{hc) sein, so müssten, da doch die Eigenschaften von Strahldistanzen be- stehen sollen, jedenfalls 0 und c von h verschieden und auch die Richtungen ah und Bc verschieden sein. Es könnte eine positive Grösse t bestimmt werden, so dass S(ac)>t>S(ah) + S(U) wäre, und wären dann ö und tt) die Punkte, für welche man i(6_a), ro-o = i(c-b) hätte, so wäre t) von 0 und tt) verschieden, und nach der Eigenschaft von Strahldistanzen würde sich Ä(0t))>l, Ä(0t)) + 5(t)lD)< 1 Von den nirgends concaven Flächen. 13 leich wäre t = ^ — die Punkte t) und 5, die den Formeln herausstellen. Zugleich wäre t = ^^^^. ^^^ > 0 und < 1, und für genügten, fände sich S{ot)) = S(pt)) + Sipto), S(oi) = S{ot)) + S(t)toy, diese Punkte wären verschieden, weil sie von 0 aus in den verschie- denen Richtungen ah und Bc lägen, und sie gehörten dem Aichkörper und nicht der Aichfläche an; es wäre aber to ein Punkt der sie ver- bindenden Strecke und gehörte nicht dem Aichkörper an. Also wäre ein Widerspruch vorhanden. IL Unter einer Ebene werde ein Bereich von Punkten iCj, . . . a;« ver- standen, die einer Gleichung genügen, in der /3^, ß^^ ... ß^ irgend welche Grössen und die letzten n darunter nicht sämmtlich Null sind. Parallel heissen zwei Ebenen, wenn für sie derartige Gleichungen mit denselben Grössen /3j , ... /3„ gelten. Dass eine Ebene zwei Punkte trennt, soll besagen, ein für die Ebene verschwindender ganzer linearer Ausdruck in 0:1, ... Xn fällt für die Coordinaten des einen Punktes positiv, für die des anderen negativ aus. Wenn .eine Ebene von den Punkten einer gegebenen Punktmenge keine zwei von einander trennt, soll gesagt werden, die Ebene durchschneidet nicht die Punktmenge; wenn zudem die Ebene noch mindestens einen Punkt der Punktmenge selbst enthält, soll sie eine Stützebene an die Punktmenge heissen. Der oben gefundene Satz wird nun soweit verarbeitet werden, dass sich schliesslich (in 16.) ergeben wird: Die Aichfläche einhelliger Strahldistanzen besitzt durch jeden ihrer Punkte mindestens eine Stützebene. Schon jetzt sei bemerkt, dass eine jede solche Ebene auch den Aichkörper nicht durchschneiden wird. Denn werden irgend zwei ent- gegengesetzte Richtungen aufgesucht, die der Ebene nicht angehören, d. h. also die von den Punkten in der Ebene aus ihr heraus führen, und sind a und b die Punkte der Aichfläche in diesen Rich- tungen von 0 aus, so gehört wenigstens einer dieser Punkte nicht der Ebene an, und es sei a ein solcher Punkt. Weil die Ebene a und b nicht trennen darf, kann sie dann von der Strecke ab höchstens den einen Punkt b enthalten, und weil 0 auf dieser Strecke liegt, aber von b verschieden ist, wird sie also auch 0 nicht enthalten, und auch 14 Erstes Kapitel. 0 und a nicht trennen. Dass sie die Aichfläche nicht durchschneidet, ist dann damit identisch, dass sie keinen Punkt der Aichfläche von 0 trennt, und nach der Zusammensetzung des Aichkörpers aus den Strecken von 0 nach den Punkten der Aichfläche wird sie nun auch keinen Punkt des Aichkörpers von o trennen und so auch eine Stütz- ebene an den Aichkörper bilden, endlich von den Punkten des Aich- körpers gewiss nur solche enthalten, die zugleich der Aichfläche an- gehören, d. h. also für alle Punkte j einer Stützebene an die Aichfläche wird 5(oj) ^ 1 sein. Die einfachsten, durch Ebenen bestimmten Bereiche. I. Es sei eine Ebene gegeben und a mit den Coordinaten ctj, ... a« ein der Ebene nicht angehörender Punkt. Die Gleichung der Ebene kann dann auf eine und nur eine Art in die Form (1) a -— ai(xi — aj a„(ic„ — a„) = 0 gesetzt werden, so dass a > 0 und abs «1 + • • * + a-^s a„ = 1 ist. Diese Form möge die Hauptform der Gleichung der Ebene für den Punkt a heissen. Dabei bedeutet dann a die kleinste mög- liche Spanne von a nach einem Punkte der Ebene. Denn so- lange abs (x^ — «i), . . . abs (Xn — ctn) sämmtlich < a sind, fällt die linke Seite von (1) immer positiv aus, aber sie wird Null, wenn für jeden von Null verschiedenen unter den Coefficienten «a (Ä === 1, ... w) immer Xh — «a == + ''^ ^^^ ^®^ Vorzeichen von «a und für jeden etwa vorhandenen verschwindenden Coefficienten «a irgendwie Xh der Be- dingung abs (Xh — «a) ^ a gemäss angenommen wird. Wenn n Richtungen so beschaffen sind, dass ein erster Punkt mit n weiteren Punkten in diesen Richtungen vom ersten Punkte aus nicht zusammen in einer einzigen Ebene enthalten sein kann, sollen die Richtungen n unabhängige Richtungen heissen. Es seien o, a^, ... 0„ irgend w -(- 1 Punkte, die in keiner Ebene zusammen enthalten sind. Dann bestimmen je n von ihnen immer eine einzige Ebene, welcher sie alle angehören und welcher dann der letzte Punkt nicht mehr angehört. Damit die Punkte einen solchen Charakter tragen, müssen sie verschieden sein, und müssen die Rich- tungen von a nach Oj, ... a„ n unabhängige Richtungen vorstellen. Es seien a^, ... a„; ai\ . . . a?^ (Ä; == 1, . . . n) die Coordinaten von a und ük (Ä: = 1, . . . w). Die über die Punkte gemachte Voraus- setzung ist dann gleichbedeutend damit, dass die Determinante Von den nirgends concaven Flächen. 15 a? — «1 , ... a^i^ — «1 a':' -«„,... df von Null verschieden sei. Infolge dieses Umstandes gehören dann zu jedem Punkte j oder Systeme von Coordinaten x^j ... Xn vermöge der n Gleichungen (2) x^-a^'= y,{a^^ - «a) H + 2/n(al"^ - a,) (Ä = 1, . . . n) immer ganz bestimmte Werthe i/^, ... i/„. Nach der in 8. getroffenen Festsetzung ist dieses System von n Gleichungen durch die eine Formel: J — 0 = 2/i(ai - a)-J 1- !/„(a„ — a) darzustellen. Es möge nun (1) die Gleichung der die Punkte a^, ... 0„ ent- haltenden Ebene in ihrer Hauptform für den Punkt a vorstellen. Werden die Ausdrücke (2) für die relativen Coordinaten eines beliebigen Punktes j in Bezug auf a in diese Gleichung eingeführt, so geht ihre linke Seite, indem sie für a^, ... a„ Null vp-ird, in (1 — i/^ — • • • — y„)a über, und da nun a von Null verschieden ist, nimmt die Bedingung für die Punkte j in dieser Ebene selbst den Ausdruck an: (3) 1-y, y„ = 0. IL Mit Rücksicht hierauf und auf (2) sind für die Punkte dieser Ebene selbst die Werthe t/i, ... Pn offenbar unabhängig davon, welchen Punkt ausserhalb dieser Ebene der Punkt a vorstellt. Der Bereich derjenigen Punkte in dieser Ebene, welche ausser (3) noch die Un- gleichungen (4) y,>0, ...yn^O erfüllen, wird danach von a^, ... a„ allein abhängen, welches hierbei beliebige n Punkte sein dürfen, durch die nur eine Ebene möglich ist Ein Bereich von dieser Entstehungsweise möge eine Flächen z eile und die zu Grunde liegenden n Punkte Oj, ... a„ deren Ecken heissen; ein solcher Bereich liegt also namentlich ganz in einer einzigen Ebene. Mittelst der Gleichungen deren Determinante 1 ist, gehen die Bedingungen (3) und (4) für einen solchen Bereich über in: (6) O^0,^--'^2n-l^(oa„) = l ist. Dann gehört nach 9. zu jedem beliebigen Punkte j ein einziges Werthsystem ?/i, ... «/„, welches der Formel Minkowski, Geometrie der Zahlen. 2 jg Erstes Kapitel. ? — 0 = ^i(ai — o) H h y„(o„ — o) genügt, die n Gleichungen zusammenfasst. Für die Punkte o, a^, . . . a« können diese Werthsysteme i/i? ... 2/» offenbar keine anderen sein als: 0,0, ... 0; 1, 0, ... 0; ... 0, 0, ... 1. Die Zelle mit 0 als Spitze und a^, ... a„ als Basisecken ist nun der Bereich derjenigen Punkte j, für die man yi ^ 0, . . . 2/« ^ 0, 2/i H h «/n ^ 1 hat. Es sei J irgend ein Punkt dieser Zelle, und es bedeute sodann Jä für /^ = 1 , . . . w — 1 jedesmal denjenigen Punkt, für den die ersten h der ihm zugehörigen Werthö y^, ... y„ dieselben sind wie für j und die übrigen dieser Werthe sämmtlich gleich Null. Dann wird nach der Eigenschaft einhelliger Strahldistanzen sein: S(oj) ^ S(o&) + S(Mi) + ■■■ + Äfe_a). In dem h^^ der rechts stehenden Ausdrücke (Ä = 1 , ... n) erweisen sich nun die relativen Coordinaten des zweiten Punktes in Bezug auf den ersten gleich den relativen Coordinaten von Qa in Bezug auf 0, multiplicirt mit y^, und danach wird dieser Ausdruck, weil y^ ^ 0 sein soll, == yhS(oah) = yu sein. Die ganze rechts stehende Summe ergiebt sich so = yi -\- '-'-{■ yny d. i- nach der letzten oben hingeschriebenen Bedingung für die Punkte der Zelle < 1, also findet sich /S(og)_< 1. 11. Die Aiohfläohe als Begrenzung des Aichkörpers. In 5. ist auseinandergesetzt, was man unter einer Häufungsstelle einer Punktmenge versteht. Eine Punktmenge, welche alle Punkte, dje Häufungsstellen von ihr sind, selbst enthält, wird abgeschlossen genannt. In Bezug auf eine irgendwie gegebene Punktmenge P kann ein gegebener Punkt a von dreierlei Art sein*). Es stelle Pj die Menge aller Punkte vor (soweit solche vorhanden sind), welche nicht zu P gehören. Sodann stelle P* die Menge aller Punkte vor (soweit solche vorhanden sind), welche Häuf ungs stellen für P sind, und P/ die Menge aller Häufungsstellen für Pj (soweit solche vorhanden sind). Es ist dabei zuzulassen, dass für eine oder zwei der Mengen P^, P', P/ über- haupt kein Punkt vorhanden ist, was bei der folgenden Betrachtung *) C. Jordan, Remarques sur les integrales d^finies, Journ. de Math., 4. s^rie, tome 8, 1892, p. 72. Von den nirgends concaven Flächen. 19 nicht stören wird; dann ist eben jeder bestimmte Punkt a als nicht zu der betreffenden Menge gehörig anzusehen. Entweder gehört a zur Menge P, dabei aber nicht zur Menge P/ dann existirt nach dem Begriffe einer Häufungsstelle für a eine posi- tive Grösse e so, dass kein Punkt mit einer Spanne < s von a zu P^ gehört, jeder solche Punkt also ein Punkt von P ist. In diesem Falle heisst a ein innerer Punkt von P (oder ein Punkt im Inneren von P). Dann wird zugleich ein jeder Punkt mit einer Spanne < s von a ein innerer Punkt von P sein. Oder a gehört zu P^, aber nicht zu P'. Dann existirt eine posi- tive Grösse s so, dass kein Punkt mit einer Spanne <£ von a zu P, jeder solche Punkt also zu P^ gehört. In diesem Falle heisst a ein äusserer Punkt von P. Zugleich wird dann ein jeder Punkt mit einer Spanne < s von a ein äusserer Punkt von P sein. Oder endlich a gehört zu einer der Mengen P, P^ und ist gleich- zeitig eine Häufungsstelle der anderen dieser Mengen. Die Menge aller Punkte a dieser Art heisst die Begrenzung von P. Es wird später (in 20.) gezeigt werden, dass, wenn P nicht gerade die Menge aller möglichen Punkte vorstellt, es immer Punkte der Be- grenzung von P giebt. Aber schon jetzt leuchtet ein, dass die Be- grenzung einer Punktmenge P, wenn sie existirt und für sie Häufungsstellen da sind, alle eigenen Häufungsstellen selbst enthalten, also immer eine abgeschlossene Punktmenge sein wird. Denn ist a ein innerer oder ein äusserer Punkt von P, so giebt es, wie be- merkt, eine positive Grösse s so, dass alle Punkte mit einer Spanne < s von a durchweg innere oder durchweg äussere Punkte von P, jedenfalls also nicht Punkte der Begrenzung von P sind, und danach kann ein innerer oder ein äusserer Punkt von P auch niemals Häufungs- stelle für die Begrenzung von P sein, also sind als solche Häufungs- stellen nur Punkte der Begrenzung selbst denkbar. Wenn P eine abgeschlossene Punktmenge vorstellt, ein Fall, der zumeist in Betracht kommen wird, wenn also alle Punkte von P' zu- gleich auch Punkte von P selbst sind, ist jeder einzige Punkt, der nicht zu P gehört, ein äusserer Punkt von P, und besteht die Be- grenzung von P genau aus denjenigen Punkten von P, die Häufungs- stellen der äusseren Punkte von P sind. Der Aichkörper einhelliger Strahldistanzen stellt eine abgeschlos- sene Punktmenge vor, und die Begrenzung derselben bildet genau die Aichfläche. Denn der Aichkörper ist der Bereich derjenigen Punkte 5, für die >S'(oj) < 1 ist. Die Function S{oi) hat aber hier nach 4. die 20 Erstes Kapitel. Eigenschaft, dass, wenn a irgend einen Punkt und 6 eine positive Grösse bedeutet, abs (iS^(OJ) — Ä'(oa))< 1 ist, ein äusserer Punkt des Aichkörpers sein, niemals ein Punkt seiner Begrenzung; also stellt der Aichkörper eine abgeschlossene Punkt- menge vor. Ferner wird jeder Punkt 0, für den ^(oa) < 1 ist, ein innerer Punkt des Aichkörpers sein. Die Begrenzung des Aichkörpers kann nunmehr nur aus Punkten der Aichfläche bestehen; jeder Punkt a der Aichfläche aber gehört zu dieser Begrenzung, indem dann die Punkte in der Richtung oa von 0 über a hinaus nicht zum Aichkörper gehören. Eine Vereinigung aus einer beschränkten Anzahl abgeschlossener Punktmengen, und ebenso die einer beschränkten Anzahl von ab- geschlossenen Punktmengen gemeinsame Punktmenge stellen wieder abgeschlossene Punktmengen vor; denn jede Häufungsstelle der Ver- einigung wird auch für mindestens eine der Theilmengen und jede Häufungsstelle der gemeinsamen Menge für jede einzelne, der dieselbe enthaltenden Mengen Häufungsstelle sein. Indem die Punktmenge, für welche ein ganzer linearer Ausdruck in iCj,, ... a;« ^ 0 ausfällt, offenbar abgeschlossen ist, geht hieraus hervor, dass jede Zelle, jede Flächen- zelle, jede Strecke eine abgeschlossene Punktmenge vorstellt. Wenn eine Punktmenge ganz in einer Ebene enthalten ist, wie z. B. eine Flächenzelle, so gehört auch die Begrenzung der Menge ganz der Ebene an, und giebt es keinen einzigen inneren Punkt der Menge. Dann soll jeder Punkt a der Menge, für den eine positive Grösse b vorhanden ist, so dass wenigstens in der Ebene, in der die Menge liegt, ein jeder Punkt mit einer Spanne < a von a zur Menge gehört, ein inwendiger Punkt der Menge heissen; und unter dem K^nd der Punktmenge sollen sämmtliche Punkte der Begrenzung der Menge verstanden werden, welche keine inwendigen Punkte der Menge sind. 12. Ein Hülfssatz über die Begrenzung einer Vereinigung von Zellen. Für die weitere Untersuchung der Aichfläche einhelliger Strahl- distanzen bedarf es nunmehr eines Hülfssatzes über die Begrenzung solcher Bereiche, die durch Vereinigung einer endlichen Anzahl von Zellen entstehen. I. Zunächst kann in Bezug auf eine einzelne Zelle, ®, für jeden Punkt j eine positive Grösse, ^(j®), angegeben werden, von der sich Von den nirgends concaven Flächen. 21 Folgendes aussagen lässt: In jeder Richtung von 5 aus gehören die Punkte mit einer Spanne < JS'(jS) und >0 von ^ entweder sämmt- lich zu (^ oder es gehört keiner dieser Punkte zu ®. Nämlich es seien a, a, , . . . a« die n + 1 Ecken der Zelle (5, und a, «1, . . . a„ die kleinsten Spannen von diesen einzelnen Punkten nach der jedesmal durch die übrigen der Punkte gehenden Ebene; ferner seien y, t/j, ... y„ diejenigen durch den Punkt j eindeutig bestimmten Werthe, welche die Formel J = !/a + yiai -\ [- y»a» erfüllen und als Summe 1 ergeben. Dann stellen die absoluten Be- träge von yuy j/i«!, ..»ynOCn die kleinsten Spannen von 5 nach den genannten Ebenen vor, und jede dieser Grössen selbst ist regelmässig ^ 0 oder < 0, je nachdem j durch die betreffende Ebene von der ausser ihr liegenden Ecke von (S nicht getrennt oder getrennt wird. Eine Bestimmung von JE(jc(^) ergiebt sich daraus in folgender Weise mit Hülfe des Umstandes, dass die kleinsten Spannen von zwei Punkten nach einer und derselben Ebene niemals um mehr als die wechsel- seitige Spanne der zwei Punkte differiren können. Gehört 5 nicht der Zelle © an, so ist mindestens eine der Grössen ya, ^1«!, . . . y»an negativ. In diesem Falle kann für jE'(jß) das Maximum unter den absoluten Beträgen der vorhandenen negativen dieser Grössen genommen werden. Für jeden Punkt mit einer Spanne < E(jc^) von { ist dann noch mindestens eine jener Grössen negativ; j ist hier ein äusserer Punkt von ß. Sind ya, t/i^i; ••• ^/»«n für j sämmtlich positiv, so kann für ^(5©) das Minimum dieser Grössen genommen werden, und für jeden Punkt mit einer Spanne ^ E(jc^) von j werden noch die entsprechenden Grössen durchweg ^ 0 sein ; j ist hier ein innerer Punkt von ß. Indem y, t/i; ••• 2/» ^^^ Summe 1 ergeben, also nicht sämmtlich Null sein können, bleibt allein der Fall, dass für j ein Theil der Grössen ya, 1/1 a^, ...ynCtn Null, die übrigen dieser Grössen positiv sind, in welchem Falle in jeder Richtung von j nach einem inneren Punkte von © alle Punkte mit nicht grösserer Spanne von j als der innere Punkt ebenfalls innere Punkte von ©, und in der entgegen- gesetzten Richtung von j jedesmal alle Punkte äussere Punkte von © sein werden. Dann gehört £ der Begrenzung von (S an, und für ^(j(S) kann das Minimum unter den nichtversch windenden der Grössen ya, y^a^, ... «/„«„ genommen werden. Die ganze Begrenzung von S setzt sich so aus den n -{- 1 Flächenzellen mit je n der Punkte a, üi, ...a„ als Ecken zusammen; dieselben mögen die Wände, oder 22 Erstes Kapitel. auch eine darunter die Basis, die anderen die Seiten wände der Zelle heissen. II. Es seien eine beschränkte Anzahl, Z, Ebenen gegeben, es sei to mit den Coordinaten w^^, . , , Wn irgend ein Punkt und e irgend eine positive Grösse. Dann lässt sich in folgender Weise ein Punkt c mit einer Spanne < s von tu, der keiner dieser Ebenen angehört, ausfindig machen. Für die Ebenen bestehen / Gleichungen: und in keiner davon sind /S^, . . . /3„ sämmtlich Null. Werden l + 1 verschiedene Werthe für x^ betrachtet, so muss mindestens ein Werth darunter sein, für den ß^ + ß^x^ in allen denjenigen von diesen Glei- chungen, wo /3i ^ 0 ist, von Null verschieden ausfällt. Wird ein solcher Werth für x^ festgehalten, und werden dazu l + 1 verschiedene Werthe für x^ betrachtet, so muss hierunter mindestens ein Werth sein, für den ß^ + ft^i + A^2 ^° ^1^®^ ^^^ diesen Gleichungen, wo nicht zugleich /3i = 0 , ft = 0 ist, von Null verschieden ausfällt u. s. f. Danach hat man nur nöthig, eine jede der Grössen x^, . . . rr„ für sich l + 1 solche verschiedene Werthe durchlaufen zu lassen, dass die Be- träge abs(a;i— w^J, ...abs((r„ — Wn) dabei durchweg <« sind; und unter den so zu Stande kommenden (/ + 1)" Systemen x^, ...x„ wird mindestens ein Punkt C von der gewünschten Beschaffenheit auftreten. Es sei wieder eine beschränkte Anzahl von Ebenen gege])en, und b und tD seien zwei verschiedene Punkte und e eine positive Grösse < JEJ(Bto). Dann lässt sich ein Punkt c mit einer Spanne < s von \ü bestimmen so, dass die Strecke bc in keiner dieser Ebenen ganz liegt und, ausser vielleicht in b, auch keinen Punkt enthält, der zweien dieser Ebenen gleichzeitig angehört. Denn es seien tji ^= Oj r}2 = 0, ,., die Gleichungen derjenigen von diesen Ebenen, soweit solche vorhanden sind, welche b enthalten, und Si = 0, ^2 = 0? I3 = 0, ... die Gleichungen der übrigen von diesen Ebenen, soweit solche vorhanden sind, ferner k^, Xg, Xg, ... die Werthe von li, ^2, Ig, ... für den Punkt b. Die Ausdrücke 61 62 fi^ fs 52 fa Xj H2' Xj X3' Xj Xg'*'' soweit sie zu bilden sind, verschwinden für den Punkt b, aber nicht identisch, weil die Ebenen Jj = 0, 1^ == ^? fe = ö? • • • verschieden sein sollen. Nach dem vorher Bewiesenen kann nun ein Punkt c mit einer Spanne < s von lü bestimmt werden, so dass für c keiner dieser Ausdrücke und ferner keiner der Ausdrücke t^^, %, ... verschwindet. Dann aber werden diese sämmtlichen Ausdrücke, da sie für b durchweg Von den nirgends concaven Flächen. 23 Null sind, für keinen, von h verschiedenen Punkt der Strecke bc ver- schwinden, und können danach auch für keinen solchen Punkt zwei der Ausdrücke |,, gj, Ig, ... rj^^ ^2> • • • zugleich verschwinden. III. Es möge nun ein Bereich ^ als die Vereinigung einer ena- lichen Anzahl von Zellen, ßj, (£2, ... erscheinen, d. h. es soll ^ die Menge aller derjenigen Punkte vorstellen, welche mindestens einer der Zellen ß^j, ©2? • • • angehören. Ein Punkt a, der für mindestens eine der Zellen ©j, S^j • • • ^i^ innerer Punkt istj ist auch immer für ^ ein innerer Punkt. Ist ferner ein Punkt a ein äusserer Punkt für jede der Zellen (5,, (Sg? • • •> so sei J^(a^) das Minimum unter den Grössen E(a^j)j ^'(aßg)» •••, "^^^ dann gehört ein jeder Punkt mit einer Spanne < E^a^^) von a weder zu (S>if noch zu @2, . . ., also auch nicht zu $, und a ist auch ein äusserer Punkt von ^. Der Begrenzung von ^ kann danach ein Punkt a sicherlich nur dann angehören, wenn er der Begrenzung mindestens einer der Zellen ©1, ßg, ... angehört und für keine derselben ein innerer Punkt ist. Für die nächsten Untersuchungen ist nun folgender Satz von Be- deutung: Gehört ein Punkt a der Begrenzung eines Bereichs ^ an, der sich als die Vereinigung einer beschränkten Anzahl von Zellen S^, (S^g; ••• darstellt, so giebt es unter denjenigen Wänden dieser Zellen, welche a enthalten, immer mindestens eine, in der ein inwendiger Punkt zur Begrenzung von ^ gehört. Der Punkt 0, wie er hier vorausgesetzt wird, darf für keine der Zellen ©1,(52, ... ein innerer Punkt sein und gehört bei mindestens einer derselben den Wänden an. Es sei -E(a^) das Minimum unter den Grössen jE(a©i) , ^/(al^g)? ••• Dann gehören in jeder Richtung von a aus entweder alle Punkte mit einer Spanne < E(a^) von a zu ^, oder es gehört keiner dieser Punkte zu ^. Der Begrenzung von ^ wird danach a dann und nur dann angehören, wenn es einen Punkt b mit einer Spanne < J5J(a^) von a giebt, der nicht zu ^ gehört. Andernfalls wird a ein innerer Punkt von $ sein. Wie ein solcher Punkt b im ersteren Falle ermittelt werden kann, wird in IV. erörtert werden. Jetzt möge ein solcher Punkt b einfach vorausgesetzt werden. Nach der Entstehung der Grösse -Z?(a^) haben in jeder von den Zellen (S^j, ßg, ..., der a nicht angehört, alle Punkte und in den übrigen von diesen Zellen jedenfalls die Wände, die a nicht enthalten, in allen Punkten eine Spanne >£'(a^) von a. Punkte mit einer Spanne < E(a^) von a in Wänden von Zellen ©j, ©g, ... kommen daher nur 24 Erstes Kapitel. in solchen von diesen Wänden vor, die auch a enthalten, und können dann den Rändern dieser Wände gewiss nur angehören, wenn sie in mindestens zwei verschiedenen Ebenen liegen, welche solche, mit a ver- sehene Wände aufnehmen. Es seien li=='0, |2 = ^;--- ^i^ Gleichungen der sämmtlichen in dieser Hinsicht in Betracht kommenden Ebenen. Sodann sei © eine solche von den Zellen d^, ^, . . ., welche den Punkt a enthält, und in der Richtung von a nach irgend einem inneren Punkte von (i sei tt) ein Punkt mit einer Spanne < E(a^) von a, also wieder ein innerer Punkt von S, und deshalb auch von $. Ganz dieselben Eigenschaften wie hier XO wird nun auch jeder beliebige Punkt c haben, für welchen die Spanne E{rt)C) < J5J(tt)(5) und zugleich < jEJ(a^) —■ E(aXo) ist. In diesem Spielräume aber kann nach IL der Punkt c so bestimmt werden, dass auf der Strecke bc, von b abgesehen, in keinem Punkte zwei der Ausdrücke ^j, Ij, ... (wenn deren Anzahl überhaupt zwei erreicht) zugleich verschwinden und auch keiner dieser Ausdrücke in b und c gleichzeitig Null ist. Mit b und c werden nun alle Punkte der Strecke bc eine Spanne < ^(o^) von'a haben (Satz in 8.). Auf dieser Strecke verschwinden 5i> ?2» ••• jedenfalls nur in vereinzelten Punkten. Wenn nun ein Punkt mit einer Spanne < E(a$) von a zu ^ gehört und für ihn Jj, Ig; ••• sämmtlich von Null verschieden sind, so gehört nach der Bildung der Grösse E{a^) ein jeder Punkt mit einer Spanne < ^(a^) von a, für den keiner der Ausdrücke J^ , ^2> • • • ®^^ anderes Vorzeichen hat wie für den ersten Punkt, aber diese Ausdrücke nach Belieben auch Null sein dürfen, ebenfalls zu ^, nämlich gewiss zu denjenigen der Zellen ßj, ©g? • • •> ^u denen der erste Punkt gehört. Mit Rücksicht hierauf und ferner mit Rücksicht auf den Umstand, dass b nicht zu ^, "wohl aber c zu ^ gehört, ist klar, dass der Punkt mit kleinster Spanne von b auf der Strecke bc, der zu ^ gehört, einer von jenen Punkten sein muss, in dem einer der Ausdrücke J^, |2> ••• verschwindet. Heisst dieser Punkt b, so gehört b zur Begrenzung von ^, weil alle Punkte der Strecke bb, von b abgesehen, nicht zu ^ gehören, und stellt, indem nur ein einziger der Ausdrücke ^^ , ^g > • • • ^^ ^ verschwindet, einen inwendigen Punkt in einer solchen Wand der Zellen S^, ßg,... vor, die auch a enthält; damit ist der ausgesprochene Satz bewiesen. l\. Ob ein Punkt b mit einer Spanne < ^(a^J von a existirt, welcher nicht zu ^ gehört, würde in folgender Weise festzustellen sein. Giebt es einen solchen Punkt b, so trägt jeder Punkt mit einer Spanne von b, die < E{h^) und gleichzeitig < E(a^) — E(ah) ist, denselben Charakter, und in diesem Spielraum wird es nach II. immer möglich sein, einen Punkt zu finden, der in keiner der Ebenen gj =0, ggs^O, ... Von den nirgends concaven Flächen. 25 liegt. Es möge b bereits selbst von solcher Art sein, so dass also Si, ^2f ••• ^^^ ^ bestimmte Vorzeichen haben. Dass ein Punkt mit einer Spanne < E(a^) von a zu ©i gehört, oder zu (^.^, . . ., ist jedesmal gleichbedeutend damit, dass für gewisse der Ausdrücke |i, I2; ••• bestimmte Vorzeichencombinationen nicht statthaben; die Gesammtheit aller denkbaren, in dieser Art sowohl bei ©1, wie bei (5^, ... ausgeschlossenen Vorzeichencombinationen für li, Ig) ••• ist dann vollkommen charakteristisch für solche Punkte mit einer Spanne ••• zu Null machen. Um das Vorhandensein eines Punktes wie b zu er- kennen, ist danach mit Benutzung einer jeden dieser Vorzeichen- combinationen das System von Ungleichungen + li>0, ±|2>0, ... aufzustellen und auf seine Lösbarkeit zu prüfen. (Vgl. 19.) Stellt sich dabei mindestens einmal ein lösbares System heraus, so giebt es, da diese Ungleichungen homogen in den relativen Coordiuaten in Bezug auf den Punkt a sind, Punkte mit jeder beliebigen Spanne von a, die dem betreffenden Systeme genügen, und also auch solche Punkte b, die darauf schliessen lassen, dass a zur Begrenzung von ^ gehört. Erweist sich keines jener Systeme als lösbar, so ist a ein innerer Punkt von ^. 13. Annäherung an die Aiohfläohe dnroh eingesohriebene Flächenzellen. Wie in 6. bedeute ß irgend eine positive ganze Zahl. Der Bereich der Punkte mit der Spanne Eins vom Nullpunkte, 2B, wurde dort in die 2w {2Siy~'^ Bereiche vom Ausdrucke: x, = ^n, 0£ ^Ä, (x,^ -^h)£i^ '" 0£ d;^_, (xh^_^ - w,^_,) £ i zerlegt; darin ist jedesmal einzusetzen für h eine der Zahlen 1 , . . . n, für Äj, ... hn—i sodann die übrigen dieser Zahlen, für jede der Grössen ^hf ^h^y . . . ^hn—i entweder 1 oder — 1, für jede der Grössen Wh^f .»• '^K-i 2 endlich irgend eine der Mitten der il Intervalle von der Breite ■^, in welche sich das Intervall von — 1 bis 1 zerlegt. Jeder dieser Be- reiche ist von solcher Art, dass die Spanne irgend zweier Punkte in ihm nicht ^ übersteigt. Diese Eigenschaft wird nun, wenn die Be- reiche noch weiter zerlegt werden, für die neu einzuführenden Bereiche bestehen bleiben. 25 Erstes Kapitel. Es zerlegt sich nun jeder dieser Bereiche sehr einfach in (w ~ 1)! Bereiche nach den (n — 1)! möglichen Anordnungen, welche für die Punkte in ihm die Ausdrücke der Grösse nach darbieten können. Der Bereich 2Ö zerlegt sich damit in die, insgesammt w!2'*ß"~^ Bereiche: (1) x.^^A, 0 ^^A. K - w,,) ^ • . ^-^A^^i (a;A„_i - m;a„_i) ^ ^ , wo nun für h, \, ... Ä„_i alle möglichen n\ Permutationen der Zahlen 1 , 2v ... n einzutreten haben. Diese Bereiche stellen nach einer Bemerkung bei (6) in 9. lauter Flächenzellen vor; sie mögen die Flächenzellen @ heissen; sie sind nach ihrer Entstehung in ihren inwendigen Punkten durchweg von einander verschieden. Die w Rand- partien (vgl. 9.) jeder Flächenzelle @ mögen nach der Ordnung der Ungleichheitszeichen in den vorstehenden Ungleichungen numerirt werden. Zu jeder Flächenzelle @ giebt es dann in Bezug auf jede ihrer n Randpartien eine bestimmte andere solche Flächenzelle, welche mit ihr genau diese Randpartie, also auch die in derselben gelegenen n — 1 Ecken gemein hat. Gelten die Beziehungen (1) für die erste Flächenzelle @, so ergeben sich daraus die Beziehungen für diese andere Flächenzelle, wenn es sich um die erste Randpartie handelt, durch Einführen von — -9"^^ für -O-a^, bei der zweiten Randpartie durch Vertauschung von \ und Äg, ... bei der n — l*®"* durch Vertauschung von hn-2 und /i„_i, bei der n*®" endlich, entweder indem in (1) ^a„_i durch — ^hJ^_^l ersetzt und w'a„_i H ^ — anstatt Wa„_i geschrieben, oder aber, falls gerade Wt,^_^ == ^h,^_^ f 1 — ^) ist, indem Ä„_i mit h und umgekehrt vertauscht und Wh == ^h (l — h) eingeführt wird. Nun werde die Aichfläche irgendwelcher einhelliger Strahldistanzen /S'(ab) betrachtet. Aus jeder Flächenzelle (5 mögen diejenigen n Punkte abgeleitet werden, die in den Richtungen von o nach den n Ecken von @ auf dieser Aichfläche liegen. Indem solche n Richtungen immer n unabhängige Richtungen vorstellen, können diese neuen n Punkte wieder als Ecken einer Flächenzelle dienen; diese Flächenzellen mögen die Flächenzellen © heissen; und jede solche Flächenzelle © ist weiter geeignet, die Basis für eine bestimmte Zelle mit 0 als Spitze ab- zugeben, die dann ü@ heissen möge. Indem die inneren Punkte einer Zelle o@ in den Richtungen von o nach den inwendigen Punkten von @ oder auch der auf "^^ ^^^^ Punkte mit einer Spanne K E(aQ") von a, die durch diese Ebene nicht von c" getrennt werden, zu 3'- Da nun 3' und 3' keine inneren Punkte gemein haben dürfen , müssen c' und c" durch jene Ebene getrennt sein, und dann gehört jeder Punkt mit einer Spanne von a, die gleichzeitig < E(a^') und ^ E(a^") ist, mindestens einer der Zellen 3' ^^^ 3 '> ^^^^ immer dem Körper P an, und ist also a ein innerer Punkt von P. Nach dem Satze in 12. III. können nunmehr nur Punkte in den Flächenzellen @ der Begrenzung von P angehören. In jeder Richtung von 0 aus aber giebt es immer nur einen einzigen Punkt, welcher den Flächenzellen © angehört, und der alsdann gewiss ein Punkt der Be- grenzung von P sein wird, weil die Punkte über ihn hinaus in der Richtung dann nicht zu P gehören. Sollten nämlich in einer und der- selben Richtung von 0 aus verschiedene Punkte in verschiedenen Flächenzellen @ vorhanden sein, so wäre doch die Anzahl dieser Punkte jedenfalls endlich, und es seien dann unter ihnen, wie sie nach der Grösse ihrer Spanne von 0 aufeinanderfolgen, a und a" zwei benach- barte Punkte, a' derjenige mit kleinerer Spanne von o, und ©' und 0, wenn q^ = 0 ist; — > ^ , wenn ^a > 0 ist; ~ < f , wenn ^a < 0 ist; und endlich ist noch —^0. 30 Erstes Kapitel. Sowie nun für einen Werth k (= 1 , ... w) die Grösse q^ von Null verschieden ist, liegt B nicht in der Ebene durch o und die w — 1 von Oa verschiedenen der Punkte o^, ... a^, und kommt daher unter den zur Bildung von Q verwandten Zellen auch die Zelle mit den Ecken 0, b, Qa (i^ == 1, ... w mit Ausnahme von h) vor. Um die Bedingungen für die Punkte dieser Zelle zu erhalten, hat man aus (1) und (2) Q/- zu eliminiren; dadurch entsteht die Formel (h z=z \^ . . . M mit Ausnahme von Je) , aus der für die Punkte dieser Zelle y-2^>0, f^O,...y„-q,f>0,--- (h^k) folgt, d. i. — ^ > 0 und — ^-^, ferner für ein h^k, wenn q,, = 0 ist, Vh Vk Vh Vk yh>0\ wenn ^a > 0 ist,— -^--; wenn ^a < 0 ist, — <— • 2a '±k «A 3* Beziehen sich nun die Werthe y ^ y^, ... «/„ auf einen Punkt J in der Zelle mit den Ecken B, a^, ... a«, und wird unter k ein solcher y, der Werthe 1, ... n verstanden, für den g* > 0 und dabei — so klein als nur möglich ist, so gehört der betreffende Punkt j offenbar auch der im Vorstehenden definirten Zelle und damit dem- Körper Q an. Also gehört hier in der That die Zelle mit den Ecken b, a^, . . . 0„ vollständig dem Körper Q an. II. Die zweite Möglichkeit für die Flächenzelle mit den Ecken a^, ... a„ ist, dass die Ebene dieser Flächenzelle den Körper Q nicht durchschneidet. Dann ist jeder Punkt dieser Flächenzelle ein Punkt der Begrenzung von §, indem in der Richtung von o nach dem Punkte über ihn hinaus nur äussere Punkte von Q vorhanden sind. Ferner wird für jeden inwendigen Punkt % dieser Flächenzelle deren Ebene immer die einzige Ebene durch 5 sein, welche Q nicht durchschneidet. Denn es giebt dann für j immer eine solche positive Grösse £, dass alle Punkte mit einer Spanne < 8 von J in dieser Ebene ebenfalls noch der Flächenzelle angehören; der so definirte Bereich von Punkten aber würde von jeder anderen durch 5 gelegten Ebene durchschnitten werden. Um die Begrenzung von Q zu erhalten, hat man so mit Rück- sicht auf den Satz in 12. III. unter allen Zellen, aus denen Q ab- geleitet wird, diejenigen aufzusuchen, bei welchen die Ebene der Basis Von den nirgends concaven Flächen. 31 die endliche Panktmenge aus den sämmtlichen Ecken der Zellen © nicht durchschneidet. Die verschiedenen Ebenen, in welchen diese be- sonderen Zellen ihre Basis liegen haben, sind dann die für die Be- grenzung von Q wesentlichen Ebenen und bestimmen diese Be- grenzung folgendermassen. Erstens muss jeder Punkt der Begrenzung von Q in diesen Ebenen liegen. Nun muss in jeder Richtung von o aus minaestens ein Punkt der Begrenzung von Q vorhanden sein; denn jede von den zur Bildung von Q verwandten Zellen, welche in der betreffenden Richtung von 0 aus überhaupt Punkte enthält, hat in der Richtung auch einen Punkt ihrer Basis liegen und von allen der- artigen Punkten ist der mit grösster Spanne von o gewiss ein Punkt der Begrenzung von Q. Es giebt also zweitens in jeder Richtung von 0 aus mindestens einen Punkt in jenen Ebenen; unter allen solchen Punkten in einer und derselben Richtung von o, welche jenen Ebenen angehören, ist dann drittens derjenige mit kleinster Spanne von o und nur dieser ein Punkt der Begrenzung von Q, denn über ihn hinaus können keine Punkte von Q mehr vorhanden sein, da alle jene Ebenen Q nicht durchschneiden. Wenn viertens Ebenen in beschränkter Anzahl gefordert werden, welche zusammen jeden Punkt der Begrenzung von Q enthalten und dabei Q niemals durchschneiden sollen, so sind die in Rede stehenden Ebenen dazu offenbar ausreichend, aber es kann auch keine jener Ebenen dabei entbehrt werden; denn jede von ihnen ent- hält mindestens eine Flächenzelle, welche ganz der Begrenzung von Q angehört, und ist dann, wie oben bemerkt wurde, für jeden inwendigen Punkt derselben die einzige Ebene durch den Punkt, welche Q nicht durchschneidet. Die Menge sämmtlicher Punkte von Q in einer wesent- lichen Stützebene von Q soll als eine Wand von Q bezeichnet werden. Die Ecken der Zeilen (5 müssen nun sämmtlich der Begrenzung von Q angehören; denn sie gehören der Begrenzung des Aichkörpers, der Aichfläche, an, und der Aiehkörper enthält den Körper Q, Die zur Begrenzung von Q wesentlichen Ebenen ergeben so Stützebenen durch sämmtlich e Ecken von Zellen (5 an den Körper §, und da dieser den Körper P enthält, auch an den Körper P. 15. Annäherung an die Aichfläche vom Aeusseren des Aiohkörpers her. Der Körper P war ganz in dem Aiehkörper enthalten. Nun soll durch eine Dilatation (s. 7.) des Körpers P vom Nullpunkte aus ein Körper gewonnen werden, der wieder seinerseits den Aiehkörper enthält. 32 Erstes Kapitel. Es bedeute c eiuen beliebigen Punkt mit der Spanne Eins von 0, also im Bereiche SB, und es sei in der Richtung oc von 0 aus b der Punkt auf der Begrenzung des Körpers P und a der Punkt auf der Aichfläche. Es wird dann jedenfalls E(oa) ^ -E^(ob) sein. Zu dem an- gegebenen Zwecke bedarf es einer oberen Grenze für das Verhältniss ~-,-S bei beliebiger Wahl der Richtung OC. Dieses Verhältniss wird mit dem Verhältniss der Strahldistanzen -JftJ: identisch sein. Wie der Bereich SB in die Flächenzellen @ zerlegt wurde, hat in einer Flächenzelle @ eine Coordinate Xh einen festen Werth (1 oder — 1), und sind die übrigen der Coordinaten dem absoluten Betrage nach ^ 1. In der aus (£ abgeleiteten Flächenzelle © wird dann ebenfalls die Coor- dinate Xh in jedem Punkte keinen kleineren absoluten Betrag ergeben als die übrigen Coordinaten, also für die Spanne von o massgebend sein, und danach wird in einer Flächenzelle @ das Minimum der Spanne von 0 gewiss bei mindestens einer der Ecken (wenn auch vielleicht noch in anderen Punkten) eintreten. In einer und derselben Flächenzelle @ mit dem zu betrachtenden Punkte b bedeute nun t) eine Ecke mit einem Minimum der Spanne von 0, so dass gejviss E(o\)) ^ E(Dh) ist; sodann sei in der Richtung OÖ von 0 aus to derjenige Punkt, für den E(oto) = E{6c) = 1 ist und U derjenige Punkt, für den E(on) == E{oa) ist; es ergiebt sich dann und damit ist E(ovL) ^ Ejoa) S{ou) ^ S(oa) S{otj) = 6' (ob) identisch; ferner wird S{oVL)> S{ot)) sein. Da nun to und c in einer und derselben Flächenzelle @ liegen, so wird nach 13. E{cto)^-^ sein, unter Sl die für die Flächenzellen @ charakteristische ganze Zahl verstanden. Nun gehen die Coordinaten von a aus denen von c durch Multip lication mit ^(oa) und die Coordinaten von u aus denen von tt) durch Multiplication mit E(pn) hervor, und es ist E(pVi) == E(oa). Also wird nach der Eigenschaft von Strahldistanzen ^(au) — E(oa) E(m) sein. Weil ferner a der Aichfläche angehört, ist 5(0 a) = 1, also nach 6. ■^(ott) <-> und so folgt E{aVL) ^ ^ und weiter nach 6. S(aVL) £ ^• Aus iS(ou)^>S(oa) + /S'(au) ergiebt sich sodann 5(ou)^l+^, und indem t) als Ecke einer Flächenzelle @ wieder der Aichfläche Von den nirgends concaven Flächen. 33 angehört, also /S'(oü) = 1 ist, endlich 1 + o~ ^ 'WT^v "^^^ letzteres Verhältniss> ^, .^ war. Danach entsteht durch Dilatation des o(0D) Körbers P vom Nullpunkte aus im Verhältuiss 1 + tt- : 1 ' Stg ein Körper, der den Aichkörper ganz in sich enthält. Dieser Körper heisse Pj. Ferner sei Q^ der Körper, der aus dem Körper Q durch dieselbe Dilatation vom Nullpunkte aus hervorgeht. Weil der Körper Q den Körper P enthält, wird der Körper Qy^ den Körper P^ und also wieder den Aichkörper enthalten. Bei der Dilatation wird aus der Begrenzung von Q die Begrenzung von Q^. Also sind für Q^ eine beschränkte Anzahl von Ebenen vorhanden, welche Stützebenen an ^^ sind, jeden Punkt der Begrenzung von Q^ aufnehmen und von denen zu diesem Zwecke auch keine entbehrt werden kann; die Stützebenen an §, aber werden solche Ebenen sein, welche den Aichkörper nicht durchschneiden. Für eine spätere Anwendung ist noch zu bemerken, dass, wenn der Aichkörper zu sich selbst symmetrisch in Bezug auf den Null- punkt ist, der Körper Q^ sich in derselben Weise herausstellt 16. Die Stützebenen der Aichfläche. Es sei, anknüpfend an die Bezeichnungen in 15., ö^ derjenige Punkt auf der Begrenzung von P^ , der bei der Dilatation von P in 7^1 aus dem Punkte t) entsteht, der also von o aus in der Richtung OÖ so liegt, dass /S(ot)i) = 1 + TT" ist. Der Punkt u, für den 77T— T ^ 1 und <1 +7^— war, gehört dann nothwendig der Strecke öt), au. Weil t) als Ecke einer Flächenzelle @ der Begrenzung von Q angehört, wird Uj der Begrenzung von Q^ angehören, und wird also mindestens eine der wesentlichen Stützebenen von Q^ durch öj gehen. Es sei nun für eine solche, durch ö^ gehende Ebene (1) m = |So - A»l ßn^n der daselbst verschwindende lineare Ausdruck in x^^ . . . a;„ und zwar in der Form, dass (2) abs /3i H h abs /3„ = 1 und /3o > 0 ist; die Ebene geht nicht durch den Nullpunkt. Indem diese Ebene nun nach 15. den Aichkörper nicht durchschneidet, wird für jeden Punkt j des Aichkörpers Minkowski, Geometrie der Zahlen. 3 34 Erstes Kapitel. (3) m^O (S(oj)^l) sein. Sind nun a^, ... 0« die Coordinaten des Punktes a, und wird fd) auf die Form gebracht, so wird /3 > 0 sein, weil auch a einen Punkt des Aichkörpers vorstellt, und nach 9. wird ß die kleinste Spanne von a nach dieser Ebene bedeuten. Diese Spanne ist nun, da die Ebene durch öj geht, ^ ^(aö,) ^ J5;(au) + J5;(ut)i) , und hierin ist nach 15. -^(au);^^; weil ferner u ein Punkt der Strecke öt)^ ist, ergiebt sich indem Sfyt)^) = q- war. Schliesslich findet sich also (4) O^^^J^(l + f). Hier ist nun für Sl eine bestimmte positive ganze Zahl zu Grunde gelegt; a stellt einen völlig beliebigen Punkt der Aichfläche vor, ö bedeutet eine, aus a in gewisser Weise abgeleitete Ecke der Flächen- zellen @. Durch die vorstehende Betrachtung sind, wenn die Wahl von t) und die Wahl der durch öj gehenden Stützebene an öi auf alle hier zulässigen Arten geschieht, für a eine beschränkte Anzahl ganz be- stimmter Ausdrücke /*(j) angewiesen, welche die Bedingungen bei (2), (3) und (4) erfüllen. Und nun kann auf Grund der in 5. auseinander- gesetzten Principien geschlossen werden, dass durch den Punkt a mindestens eine Stützebene an den Aichkörper vorhanden ist. Stellt man sich die hier angewiesene Gruppe von Ausdrücken f(i) für ü = 1, Sl = 2, u. s. f., für alle positiven ganzzahligen Werthe von Sl vor, so sind nur zwei Möglichkeiten denkbar. Entweder treten in allen diesen Gruppen zusammengenommen nur eine endliche Anzahl verschiedener Systeme ß^, ... ßn auf, dann muss mindestens eines davon in diesen Gruppen unendlich oft wiederkehren, und es sei qp^, . .. qp« ein solches System; oder aber in diesen sämmtlichen Ausdrücken /"(j) treten unendlich viele verschiedene Systeme /Sj , ... ßn auf; dann muss es für diese Systeme, weil sie immer der Bedingung (2) genügen, also abs ßi, . . . abs /5„ in ihnen gewiss < 1 sind, mindestens eine Häufungs- stelle geben, und es bedeute jetzt ^i, ... g?« eine solche Stelle. In beiden Fällen giebt es dann, wie eine positive Grösse e und eine posi- tive ganze Zahl ^ auch angenommen werden mögen, in jenen Gruppen, selbst wenn man sie erst von der Ä**** an betrachtet, immer noch mindestens einen Ausdruck /"(j), in dem die Coefficienten jS^, ... ßn die Bedingungen Von den nirgends concaven Flächen. 35 (5) abs (9)1 — /3i) < f , ... abs {(pn — ßn) < £ erfüllen. Daraus folgt dann zunächst mit Rücksicht auf (2) 1 — na < abs 9?i + • * • + abs 9?« < 1 + W£ . Indem die hier in Grenzen eingeschlossene Summe einen bestimmten Werth hat, s aber beliebig klein angenommen werden kann, vermag diese Summe nicht von 1 verschieden zu sein, ist also mindestens eine der Grössen 9?,, ... qp« von Null verschieden, und stellt so — 9i (^1 — «1) 9«(^n — a«) = 0 eine bestimmte Ebene durch den Punkt a vor. Ist sodann j irgend ein bestimmter Punkt des Aichkörpers, so folgt aus E(aiß) < E(ao) + J^(o^) < - (vgl. 6), dass die absoluten Be- trüge von j in Bezug auf a sämmtlich < - sind; aus (3), (4) und (5) geht dann hervor, dass die linke Seite der zuletzt hingeschriebenen Gleichung für den Punkt j >_J_(i + ^)_!^ = Slg\ ^ gl g ausfallen muss. Indem nun diese Seite für J einen ganz bestimmten Werth hat, Sl aber hier beliebig gross, s beliebig klein angenommen werden kann, vermag der betreffende Werth nicht eine negative Grösse zu sein und ist also > 0. Danach ist hier in der That eine Stützebene an den Aichkörper durch den Punkt a angezeigt, der ein ganz be- liebiger Punkt der Aichfläche war. 17. Die nirgends concaven Flächen. 1. Es sei ein Punkt c und eine Punktmenge F mit folgenden Eigenschaften gegeben: (A.) In jeder Richtung von e aus soll mindestens ein Punkt von F liegen (es ist ein Punkt mit bestimmten endlichen Coordinaten und verschieden von c gemeint, denn zu einer Richtung bedarf es zweier verschiedener Punkte, vgl. 2). (B.) Durch jeden Punkt von jP soll mindestens eine Ebene vorhanden sein, welche die Punktmenge F nicht durch- schneidet. Unter diesen Voraussetzungen gehört der Punkt e gewiss nicht zu P; denn es müsste sonst auch durch c eine Ebene gehen, welche F nicht durchschneidet. Werd(*n aber irgend zwei einander 3* 36 Erstes Kapitel. entgegengesetzte Richtungen betrachtet, die in dieser Ebene nicht vor- kommen, und in diesen Richtungen von e aus zwei Punkte von F aufgesucht, so würde die Ebene diese Punkte trennen, also F durch- schneiden. Es geht daraus zugleich hervor, dass es überhaupt keine Ebene durch e geben kann, welche F nicht durchschneidet, und nun zeigt sich, dass in einer und derselben Richtung von e aus auch niemals mehr als ein Punkt von F liegen kann. Denn gäbe es zwei verschiedene Punkte aus F in derselben Richtung von C aus, ö und tu, so möge von e aus etwa t) vor XO liegen, und es sei tu* ein Punkt von F in der zur Richtung etp entgegengesetzten Richtung von e aus. Dann würde entgegen der Voraussetzung (B.) eine jede Ebene durch t) die Punktmenge F durchschneiden; denn nach dem soeben Bemerkten würde solches eintreten, so oft die Ebene den Punkt e enthielte, und andernfalls enthielte die Ebene von der Strecke tt)tt)*, auf welcher e und Ö liegen, gewiss nur den Punkt t) und würde zum mindesten XO und tu* von einander trennen. Es möge nunmehr tF die Punktmenge aus allen Strecken von c nach den Punkten von F bedeuten. Eine jede Ebene durch einen Punkt von F, welche F nicht durchschneidet, wird auch zF nicht durchschneiden (vgl. die letzten Bemerkungen in 8.). Eine Punktmenge F mit den zwei oben angegebenen Eigenschaften soll eine nirgends concave Fläche um den Punkt e heissen. II. Nach den Ergebnissen in 16. stellt die Aichfläche einhelliger Strahldistanzen immer eine nirgends concave Fläche um den Nullpunkt vor. Umgekehrt gilt nun der Satz: Jede nirgends concave Fläche um den Nullpunkt kann als Aichfläche für einhellige Strahldistanzen dienen. Denn es sei F irgend eine nirgends concave Fläche um den Null- punkt; indem eine solche sich nach I. aus je einem Punkte in jeder Richtung vom Nullpunkte zusammensetzt, ist sie nach 7. Aichfläche für ganz bestimmte Strahldistanzen /S(ab), und es ist nun zu zeigen, dass infolge der besonderen Voraussetzung über F diese Strahldistanzen sich als einhellig erweisen müssen. Es sei u irgend ein Punkt aus jP; eine Stützebene an F durch u hat dann immer die Eigenschaft, dass für jeden beliebigen Punkt j dieser Ebene /S'Coj)^!, also 5(05)^/S(ou) ist. Es möge nun für einen Augenblick eine jede Stützebene an F durch u und eine jede, zu einer solchen parallele Ebene eine zur Rich- tung ou gehörende Ebene heissen; alle diese Ebenen enthalten die Richtung OU nicht. Aus der Natur von Strahldistanzen folgt dann: Sind a und B' irgend zwei verschiedene Punkte und wird durch B' eine zur Richtung ab' gehörende Ebene gelegt, so gilt für jeden be- Von den nirgends concaven Flächen. 37 liebigen Puokt h in dieser Ebene die Ungleichung S(ah) > S(ah'), Indem ferner Ebene und gerade Linie zu sich selbst symmetrisch in Bezug auf jeden ihrer Punkte sind, kann hinzugefügt werden: Ist c irgend ein Punkt in der Richtung ob' von a über b' hinaus, so ist für jeden Punkt b einer durch b gelegten, zur Richtung ah' (oder b'c) ge- hörenden Ebene S{hc):^S{h'c). Sind nun a, b, C irgend drei Punkte, und ist b von a und c ver- schieden, so besteht die Ungleichung S(ac)S'(acy^ ^(^0 ist Ist aber S{ac)>Siah), S((xz)>S{hc), so werde eine zur Richtung ac gehörende Ebene durch b gelegt; da eine solche die betreffende Richtung niemals enthält, wird diese Ebene mit der, durch a und c gehenden geraden Linie einen bestimmten Punkt V gemein haben. Dann muss b' von c verschieden sein und kann auch nicht in der Richtung ac von o über c hinaus liegen, weil sonst S{ah)^S{ah')'^ S(ac) wäre; und ebenso muss b' von a ver- schieden sein und kann auch nicht in der Richtung ca von c über a hinaus liegen, weil sonst S(bc) '^ S{h' c)^ S(a<:) wäre; also ist b' ein von a und c verschiedener Punkt der Strecke ac, und dann ergiebt sich nach dem Obigen: S{ah) > S(ah'), 5(bc) ^ S{h'c). Weil nun die Richtungen ah', b'c, ac identisch sind, ist nach der Eigenschaft von Strahldistanzen: S{ah') + S(Vc) = S(ac), und so folgt auch hier: S{ah) + S(hc)^S{ac), Damit ist nun das Wesen der Functionalbedingungen in 1. aufs vollständigste aufgeklärt. III. Hinsichtlich der nirgends concaven Flächen jedoch erübrigt noch Folgendes zu leisten: Es sei eine nirgends concave Fläche F um einen Punkt e gegeben; es sollen alle möglichen Punkte f bezeichnet werden von solcher Art, dass F eine nirgends concave Fläche um f vorstellt. Da die zweite der nach I. für F vorauszusetzenden Eigenschaften vom Punkte e unabhängig ist, handelt es sich hier nur darum, welche Punkte f die Eigenschaft haben, dass in jeder Richtung von ihnen aus Punkte von F vorhanden sind. Bedeutet nun f zunächst einen Punkt, 38 Erstes Kapitel. der wicht zur Punktmenge tF gehört oder aber einen Punkt aus F selbst, so giebt es in der Richtung ef von f aus keinen Punkt von F, und erfüllt also F in Bezug auf f nicht die nämlichen Bedingungen wie in Bezug auf c. Nach dem in IL Bewiesenen giebt es bestimmte einhellige ötrahl- distanzen /S'(ab), bei welchen F als die Fläche der Strahldistanz Eins von e erscheint. Dem Satze in 11. zufolge stellt deshalb F die Be- grenzung der Punktmenge tF vor. Ferner werden die wechselseitigen Spannen der Punkte in CjP nicht über eine bestimmte Grösse hinaus- 2 gehen, nicht über — , wenn g eine positive untere Grenze der Quo- tienten j}, X bedeutet. Jetzt- sei f irgend ein Punkt aus der Punkt- nienge tFy aber nicht aus F selbst; dann werden also in jeder Rich- tung von f aus alle Punkte mit einer Spanne > - von f gewiss nicht mehr zu tF gehören. Nun wird an einer späteren Stelle (in 20.) be- wiesen werden, dass bei einer beliebigen Punktmenge, die nicht aus allen möglichen Punkten besteht, auf jeder Strecke von irgend einem Punkte der Menge nach irgend einem Punkte, der nicht der Menge angehört, immer mindestens ein Punkt der Begrenzung der Menge liegt; und danach muss in dem gegenwärtig betrachteten Falle in jeder Richtung von f aus mindestens ein Punkt von F vorhanden sein. Die Menge derjenigen Punkte f, für welche F eine nirgends con- cavc Fläche um f vorstellt, stimmt so mit der Menge der inneren Punkte von tF überein, und danach ist die Punktmenge CjP, welche ausser aus ihren inneren Punkten nur noch aus den Punkten von F selbst besteht, durch F allein vollkommen bestimmt und hängt von dem Punkte e gar nicht ab. Es soll nun eine Punktmenge F schlechthin eine nirgends concave Fläche heissen, wenn sie eine nirgends con- cave Fläche um einen geeignet angenommenen Punkt e vorstellt, und die durch die Fläche allein vollständig bestimmte Puuktmenge tF soll ein nirgends concavcr Körper heissen. 18. Die überall convexen Flächen. Eine nirgends concave Fläche soll als überall convex bezeichnet werden, wenn jede Stützebene an die Fläche mit derselben nur einen Punkt gemein hat. Diese Bedingung lässt sich noch anders ausdrücken. Es sei F eine nirgends concave Fläche um einen Punkt e. Existirt eine Stützebene an jP, welche zwei verschiedene Punkte von F ent- Von doD nirgends concayen Flächen. 39 hält, so gehört jeder dritte Punkt der dieselben verbindenden Strecke einerseits mit Rücksicht auf den Satz in 8. zur Punktmenge tF, andererseits, weil er in einer Stützebene von tF liegt, gewiss nicht zu den inneren Punkten von ei^, also wieder zu F, und es giebt also drei Punkte von F in gerader Linie. Umgekehrt, giebt es auf einer nirgends concaven Fläche F drei Punkte, die in gerader Linie liegen, so ist darunter ein Punkt da, von dem aus die beiden anderen in ent- gegengesetzten Richtungen liegen, und eine Stützebene an F durch diesen Punkt muss dann die beiden anderen Punkte enthalten, um sie nicht zu trennen, und enthält also mehr als nur einen Punkt von K Also ist eine nirgends concave Fläche dann und nur dann überall convex, wenn es auf ihr keine drei Punkte in gerader Linie giebt. Es sei nun die Aichfläche von Strahldistanzen Siah) überall convex. Ist dann u ein beliebiger Punkt der Aichfläche, so enthält eine Stütz- ebene durch u an die Fläche keinen zweiten Punkt der Fläche, und findet sich deshalb für jeden, von u verschiedenen Punkt j einer solchen Ebene: S(pl)> S(0Vi). Die Betrachtungen aus 17. ergeben dann, dass für irgend drei Punkte o^ b, C, bei welchen b von a und c verschieden ist und die Richtungen ah und bc verschieden sind, immer die Un- gleichung gilt: S{ac) jeder einzelne von der Form mit irgend welchen Constanten 11^ . . . C/«, gegeben; es sollen alle Systeme x^, ... Xn bestimmt werden, welche das System von Ungleichungen (1) ^1^0, |2^0, ... erfüllen. Es genügt den Fall zu betrachten, wo unter den linearen Formen li, I2? • • • s^^^ ^ unabhängige finden. Denn ist die höchste Anzahl von unabhängigen unter ihnen '=h 0 gedacht ist, muss daher, so oft |( J.) = 0 ausfällt, sich auch ^(Ä') = 0 und J(J.") = 0 herausstellen, müssen also alle diejenigen der Formen J^, J^? • • •? ^lie für Ä Null sind, auch für Ä' und für Ä" verschwinden. Da nun aber unter diesen Formen sich n — 1 unabhängige finden sollen und solche durch ihr Ver- schwinden ganz bestimmte Verhältnisse der a^j, ... Xn bedingen, muss danach Ä' sowohl wie Ä" ein Vielfaches von Ä sein und können somit auch Ä' und Ä'' nicht wesentlich verschiedene wirkliche Lösungen von (1) vorstellen. Nun sei Ä oder Xi = a^, .. . x» = a» eine solche wirkliche Lösung von (1), dass die höchste Anzahl von linear unabhängigen unter den- jenigen Formen 1^, |.^, . . ., die für Ä Null sind, sich < n — 1 erweist; es sei m diese Anzahl; dabei ist zuzulassen, dass m den Werth Null hat, d. h. dass für A keines der Gleichheitszeichen in (1) eintritt. Es mögen dann unter den Formen |^, l^; ••• ^ unabhängige ausgewählt werden so, dass darunter m Formen vorhanden sind, die für Ä ver- schwinden; letztere Formen mögen t^^, ... rjm, die übrigen der aus- gewählten Formen J^, ... ^„—m heissen. Es können diese n Formen als neue Variabein an Stelle von a^i, ... Xn eingeführt werden, und dann erweisen sich alle diejenigen der Formen J^, Jg» • • •> ^^® ^^^ ^ Null sind, als allein von rj^ ... rjm abhängig. Da nach Voraussetzung n — m hier mindestens gleich 2 ist, können den Grössen tu • • • ^»-»n gewiss solche Werthe vorgeschrieben werden, die weder sämmtlich Null noch überhaupt proportional mit den Werthen ^i(^), • • • tn-m{A) sind; wird dann gleichzeitig ^^ = 0, ... rj,n==0 festgesetzt, so ge- winnt man auf diese Art ein bestimmtes System x^ =di, ... Xn = dn, für das alle diejenigen unter den Formen l^, Ig? • ••? ^^® ^^^ -^ ^"^^ sind, ebenfalls verschwinden und das dabei kein Vielfaches des Systems Ä ist. Für die Systeme von der Form ^1 = ^1 + ^^1? • • • ^n = «n + ^^n geht nun eine jede von den Ungleichungen (1), in der für das System 42 Erstes Kapitel. Ä das Gleichheitszeichen eintritt, in 0 == 0 über, und nimmt dagegen jede andere jener Ungleichungen einen Ausdruck a + Zd ^ 0 an, worin « immer > 0 ist; und mindestens einmal muss dabei d von Null ver- schieden ausfallen, denn unter den Werthen von d kommen insbesondere die Werthe von tu ••• tn—m für das System d^j ... d» vor. Indem nun die Anzahl dieser Ausdrücke cc -{- Id endlich ist, wird es daher einen oder zwei solche Werthe für l geben, für welche alle diese Aus- drücke noch > 0 ausfallen, aber mindestens einer unter ihnen = 0 ausfällt, und mit einem solchen Werth l stellt dann das System «1 + ^^1 ? • • • «» + idn eine wirkliche Lösung B von (1) vor, für welche mindestens m -j- 1 linear unabhängige unter den Formen l^, Ig» • • • verschwinden und für welche insbesondere alle von diesen Formen verschwinden, die für Ä Null sind. Wenn nun für B noch nicht n — 1 linear unabhängige unter den Formen |j, Ig? ••• Null sind, so kann nach derselben Methode eine wirkliche Losung F von (1) bestimmt werden, für welche unter diesen Formen eine jede, die für B Null ist, aber dazu noch mindestens eine weitere Form verschwindet. Es ist nun einleuchtend, dass schliesslich auch eine solche wirkliche Lösung W von (1) wird gefunden werden können, für welche n — 1 linear unabhängige unter den Formen |j, Ig, ••• Null sind, die also nach dem Obigen eine äusserste Lösung vorstellen wird, und für welche insbesondere alle diejenigen dieser Formen ver- schwinden, die für Ä verschwinden. Dann wird für die Systeme A — ^^^j unter fi irgend eine Grösse verstanden, wieder eine jede von den Ungleich tiugen (1), in der für Ä das Gloichheitszeichen statthat, in 0 = 0 übergehen und jede andere dieser Ungleichungen einen Ausdruck a — ^^ ^ 0 annehmen, worin « immer > 0 und ^ stets > 0 und mindestens einmal > 0 sein wird. Es existirt dann ein bestimmter positiver Werth ft, für den die Aus- drücke a — fi^ noch sämmtlich >0 sind, aber mindestens einer darunter = 0 ausfällt, und mit diesem Werthe ft stellt dann Ä — (iW= Ä^ eine solche wirkliche Lösung von (1) vor, für welche mindestens m-\-l linear unabhängige unter den Formen Ij, Ig, ... Null sind. Aus Ä = ^W-\-Äi g®^** hervor, dass Ä in dem jetzt betrachteten Falle keine äusserste Lösung vorstellt, und endlich durch einen Schluss von kleineren auf grössere Werthe von m, dass die Lösung Ä als Summe von höchstens n — m solchen wirklichen Lösungen dargestellt werden kann, von welchen eine jede w — 1 linear unabhängige unter den Formen 1^, gg, ... zu Null macht. Von den nirgends concaven Flächen. 43 Es kann immer nur eine beschränkte Anzahl wesentlich ver- schiedener äusserster Lösungen geben; denn werden unter den Formen 5i7 S27 • • • ^^^ ^1^6 möglichen Arten n — 1 unabhängige herausgesucht und gleich Null gesetzt, so ist dadurch jedesmal ein System von Ver- hältnissen der rr^, ... Xn bestimmt; wenn dann unter den Werthen von li, |2> • • • ^"^ Coordinaten x^^ ... Xn mit diesen Verhältnissen sich nicht gleichzeitig positive und negative Werthe finden, giebt es äusserste Lösungen von (1) mit diesen Verhältnissen von x^y ... a:„, und auf solche Art muss sich ein Vielfaches einer jeden irgend vor- handenen äussersten Lösung von (1) ermitteln lassen. Ein System von wesentlich verschiedenen äussersten Lösungen von (1), in welchem jede vorhandene derartige Lösung durch ein Viel- faches vertreten ist, möge ein vollständiges System äusserster Lösungen von (1) heissen. Der Ausdruck für die allgemeinste Lösung von (1) ist nun I^n'^F,. wenn in dieser Summe W ein vollständiges System von äussersten Lösungen von (1) durchläuft und die Coeffi- cienten /it darin beliebige nicht negative Werthe erhalten. — Ob einer endlichen Anzahl von Ungleichungen von der allgemei- neren Form (2) U,+ U,x, + ----\-U.x„>0, (in der noch ein constantes Glied auftritt), gleichzeitig genügt werden kann, wird davon abhängen, ob das daraus abzuleitende System der homogenen Ungleichungen mit n + 1 Variabein Xqj x^y ... a;„: (3) U,X, + U,X, + '"+UnXn>0 Lösungen besitzt, in welchen Xq'> 0 ist; die Entscheidung hierüber lässt sich jedesmal aus dem Ausdrucke für die allgemeinste Lösung von (3) ohne Schwierigkeit entnehmen. IL Es seien wieder J^, J^? ••• ^^^^ endliche Anzahl von ganzen homogenen linearen Ausdrücken in x^, ... Xny und unter diesen Aus- drücken seien wieder wunabhängige vorhanden. Mit Hülfe der äussersten Lösungen von (1) kann auch entschieden werden, ob das System von Ungleichungen (4) |,>0, ?2>0,... eine Losung zulässt. Es wird dazu offenbar uoth wendig und hin- reichend sein, dass überhaupt äusserste Lösungen von (1) existiren, und dass keine einzige der Formen Ij , I2 , ... für sämmtliche vor- handenen äussersten Lösungen ausnahmslos verschwindet. Jetzt soll ermittelt werden, ob in dem Systeme von Un- gleichungen 44 Erstes Kapitel. (i) 5.^0, s,^o, ... etwa eine oder die andere Ungleichung sich als eine Folge der übrigen darstellt. Dabei möge angenommen werdeu, dass das System (4) eine Lösung zulässt. Wenn dieses nicht der Fall sein sollte, hat das System (1) sicher auch Gleichungen zur Folge; denn es verschwinden dann gewisse der Formen Ij, J^, ... für alle irgend vorhandenen äussersten Lösungen von (1) und damit überhaupt für jede Lösung von (1); die höchste Anzahl von linear unabhängigen unter diesen Formen sei n — Jc] wenn es überhaupt wirkliche Lösungen von (1) giebt, was jedenfalls vorausgesetzt werden möge, ist Ä; > 0 . Nun mögen unter den Formen |i, ^2» ••• ^ unabhängige, js^,, ... ^ny so ausgewählt werden , dass die letzten n — k darunter zu diesen Formen gehören, die für jede Lösung von (1) verschwinden; dann hat das System (1) die Gleichungen 0^+1 = 0; • • • ^n = 0 zur Folge, und werden 0^ . . . Zn als neue Variable an Stelle von x^, . . . Xn eingeführt, so geht bei Benutzung dieser Gleichungen ein Theil der Ungleichungen (1) in 0 = 0 über, und die übrig bleibenden stellen ein solches System von Ungleichungen in z^^ .--.Zk vor, das Lösungen besitzt, wobei alle linken Seiten des Systems > 0 ausfallen. Lässt nun das System (4) eine Lösung zu, so kann es keine lineare Form y ina?i, ••• ^« geben, welche für alle äussersten Lösungen von (1) verschwindet und doch nicht identisch verschwindet. Denn bedeutet i^i == «i, ... ic» = «« irgend eine Lösung von (4) und £ das Minimum unter den kleinsten Spannen vom Punkte «j, ... a„ nach den Ebenen g^ = 0 , 12 = ^7 • • • ? so würde b eine positive Grösse sein, und es würden alle Punkte mit einer Spanne ^ b von a^ , . . . a„ gleichfalls noch dem Systeme (1) genügen; in diesem Bereiche von Punkten aber würden stets solche existiren, für die tp von Null ver- schieden wäre, es sei denn, dass alle Coefficienten von fp Null wären. Es mögen irgend n — 1 wirkliche Lösungen von (1) unabhängig heissen, wenn durch die w — 1 Punkte, welche diese Lösungen re- präsentiren, und durch den Nullpunkt nur eine einzige Ebene möglich ist. Dann zeigt sich zunächst: Ist gp eine solche lineare Form in x^y ... Xny dass man für alle äussersten Lösungen von (1) g> ^0 hat, und dass es unter diesen Lösungen n — 1 unabhängige giebt, für die 9 = 0 ausfällt, dass aber 9) nicht identisch Null ist, so ist g? noth- wendig ein positives Vielfaches einer der Formen Ij, gg; •••> sodass also eine der Ungleichungen aus (1) auf 9? ^ 0 hinausläuft. Denn es bedeute das System a^, ... a„ eine Summe von irgend n — 1, in der Ebene qp = 0 enthaltenen unabhängigen wirklichen Lösungen von (1); dann können für a^, . . . a„ nicht alle Formen 1^, J2; • • . > 0 ausfallen, Von den nirgends ccncaven Flächen. 45 denn sonst würden nach dem vorhin Bemerkten noch alle Punkte, deren Spanne von a^, ... a„ eine gewisse positive Grösse e nicht über- schritte, dem Systeme (1) genügen, unter diesen Punkten fänden sich aber auch solche, für die g) < 0 wäre. Es muss also für a^, ... a„ mindestens eine der Formen Jj, Jg; • • • ^^^^ sein. Die nämliche Form muss dann für jede einzelne von den n — 1 Lösungen, deren Summe a^, ... ün vorstellt, verschwinden, da sie für keine von ihnen negativ ausfällt, und sie kann deshalb, indem die w — 1 Punkte, die diesen Lösungen entsprechen, und der Nullpunkt nur in der einen Ebene 9=0 zusammen enthalten sind, von der Form

y^ und < ^o + ^5 ^i® i^" Intervall vorhandene kleinste Grösse ist eine untere Grenze für die Grössen der Menge, und das gesammte Intervall enthält mindestens eine Grösse der Menge. Nun operire man mit diesem Intervall und dem Verhältniss ßg • ^t wie mit dem zunächst vorausgesetzten Intervall und dem Verhältniss ^i : 1, und man kommt auf ein bestimmtes drittes Intervall u. s. i. Vom Volumen der Körper. 47 Es ist so eine unbegrenzte Reihe von Intervallen durch ein bestimmtes Gesetz definirt. Nun seien roy Yiy Y^y '" die kleinsten Grössen dieser einzelneu Intervalle, so sind für ^ == 0, 1, 2, ... jedesmal die sämmtlichen Differenzen y^-fi — y/, y^.2 — yiy . .. > 0 und < ^ ; danach und indem die Zahlen ü^ mit ihrem Index beständig grösser werden, convergirt die Reihe der Grössen yi nach einem be- stimmten Grenzwerthe y. Dann ist regelmässig y'>yi und r/ + ^>r. Wie nun die Grössen yi bestimmt sind, giebt es in der Meuge keine Grösse, die < yi , aber mindestens eine solche, die ö. Kommen in einem Würfel mit endlicher Kante Punkte von P vor, gehören alle für die Menge dieser Punkte irgend vorhandenen Häufungsstellen selbst zu diesen Punkten, und haben die Werthe von /"(je) für diese Punkte Null als grösste untere Grenze, so giebt es in dem Würfel mindestens einen Punkt von P, für welchen f(jc) den Werth Null besitzt*). Es werde wieder eine unbegrenzte Reihe von positiven ganzen Zahlen angenommen: deren erste 1 und von denen jede folgende durch die vorangehende theilbar und grösser als diese sei. Es sei p^ der Mittelpunkt, 2 t die Kante des Würfels, in welchem nach Voraussetzung Punkte von P enthalten sind und die Werthe von f(i) für diese Punkte Null als grösste untere Grenze haben. Es werde dieser Würfel wie in 5. in ßj" Würfel von der Kante ^ zerlegt. Dann muss auch mindestens *) Ein Satz von Weierstrass, vgl. die Anmerkimg in dem Aufsätze von G. Cantor in Crelle's Journal Bd. 72, S. 141. Vom Volumen der Körper. 49 einer dieser neueu Würfel Punkte von P enthalten, und so oft solches bei einem dieser Würfel der Fall ist, besitzen die Werthe von f(j) für die sämmtlichen in ihm enthaltenen Punkte von P, indem diese Werthe durchweg ^ 0 sein sollen, nach 20. jedesmal auch eine be- stimmte grösste untere Grenze, die sich > 0 oder = 0 herausstellen kann. Es kann nun diese Grenze nicht für alle von jenen ßi" Würfeln, welche Punkte von P enthalten, > 0 ausfallen, weil das Minimum ihrer Werthe in diesen Würfeln zugleich die grösste untere Grenze der Functionswerthe von /(j) für die sämmtlichen Punkte von P in aem Ausgangswürfel darstellt und diese Grenze = 0 sein sollte. E% möge nun aus allen von jenen Sl^^ Würfeln, welche Punkte von P enthalten und in welchen zugleich die grösste untere Grenze der Werthe von fd) für diese Punkte sich gleich Null ergiebt, nach irgend einem sicheren Principe, etwa wie in 5., ein Würfel ausgewählt werden; es sei p^ sein Mittelpunkt, seine Kante ist ^. Die Punkt- menge P und die Function f(jß) haben dann zu diesem Würfel ganz entsprechende Beziehungen wie zum Ausgangswürfel. Nun kann aus ^^ nach demselben Verfahren und unter Benutzung des Verhältnisses fl^ - ^i anstatt Sl^ : 1 ein bestimmter Punkt p^ ab- geleitet werden u. s. f. Es entspringt so eine gesetzmässig fort- schreitende unendliche Reihe von Punkten Po; Pi^ P2>"'i indem dann immer die Spannen von pi nach pi-^i, pi+2,-'- < ö" ^^^ und die Zahlen iß; unbegrenzt wachsen, convergirt diese Reihe nach einem bestimmten Grenzpunkte p. Die Spanne von p nach pi ist dann jedesmal ^ ^, und indem dieses auch für Z = 0 gilt, liegt p im Ausgangswürfel. Wie die Punkte pi bestimmt werden, liegt in dem Würfel mit pi als Mittelpunkt und mit der Kante ^ mindestens ein Punkt aus P, und haben die Functionswerthe f(jc) für alle Punkte aus P in diesem Würfel Null als grösste untere Grenze. Die Spannen von p nach allen 2 ^ . . diesen Punkten werden nun durchweg ^ -zr- sein, indem die Spannen — Slj von pi nach ihnen ^ jr sind und die Spanne von p nach pi ebenfalls j<7^ ist. W^ie klein nun auch eine positive Grösse s angenommen — "/ Minkowski, Geometrie der Zahlen. 4 50 2lweitea Kapitel. wird, kann l so gross gewählt werden, dass o" <^ ^ ist; es folgt daraus zunächst, dass in dem Ausgangswürfel dann immer mindestens ein Punkt aus P mit einer Spanne < s von p da ist; danach muss nun der Punkt p, falls er keine Häufungsstelle für die Punkte aus P in dem Ausgangswürfel ist, selbst zu P gehören, ist er aber eine solche Häufungsstelle, so gehört er wieder nach der Voraussetzung, dass die Häufungsstellen für die Punkte aus P in dem Ausgangswürfel zu diesen Punkten selbst gehören sollen, zu den Punkten von P. In jedem Falle ist also p ein Punkt aus P. Nun muss der Werth der Function f(TC) für p gleich Null sein. Denn wäre /"(p) > 0, so sei 6 eine positive Grösse fip)-e ist. Zti diesen Punkten 5 aber würden, wenn der Index l so gross 2 1 gewählt wird, dass ö" *^ ^ ist, auch alle Punkte aus P mit einer Spanne ^ -^ von pi gehören, und es würden dann die Werthe von /■(j) für diese Punkte die positive Grösse /"(p) — a als eine untere Grenze haben, und könnten daher nicht als grösste untere Grenze Null haben. Also muss /(p) = 0 sein. 22. G-leichmässige Stetigkeit in abgeschlossenen Funktmengen. Es sei eine Punktmenge Q ganz in einem Würfel mit endlicher Kante enthalten und ferner von solcher Art, dass jede für Q irgend vor- handene Häufungsstelle zu Q selbst gehöre, und es sei eine Function eines variablen Punktes, f(jc), in Q in jedem Punkte stetig (vgl, 21). Dann ist f(jc) in Q auch gleichmässig stetig, d. h. giebt es zu jeder positiven Grösse 0 eine solche positive Grösse e, dass für be- liebige zwei Punkte j und t) aus Q mit einer wechselseitigen Spanne < s immer abs (fit)) — /'(j)) < 0 und ^ d variabel sein, und es bedeute jedesmal (u) in Beziehung zum festgehaltenen Punkte a entweder die Grösse w, falls für beliebige zwei Punkte ^ und 9 aus Q mit einer Spanne < u von a immer die Ungleichung (1) gilt, oder aber, wenn dieses nicht immer der Fall ist, so sei (w) = 0. Unter den Werthen von (u) kommt dann die Grösse v vor, und alle V^erthe von (w) sind < d. Infolge des letzteren Umstandes existirt nach 20. für die sämmtlichen möglichen Werthe von (u) eine be- stimmte kleinste obere Grenze, die q)(a) heissen möge. Diese Grösse (p(a) ist dann ^v, also positiv, und sie ist vollständig dadurch charakterisirt, dass sie <. d ist, dass für irgend zwei Punkte j: und \) aus Q mit einer Spanne < 9(0) von a immer die Ungleichung (1) gilt, dass aber, falls g)(d)<.d ist, solches nicht immer für je zwei Punkte j und t; aus Q mit einer Spanne < O von a der Fall ist, wenn 0 irgend eine Grösse > qp(a) vorstellt. Es hat so qp(b) sein. Danach kann g)(a) — -S^(öb), falls es positiv ist, nicht > (p(b) sein, während es anderenfalls sicherlich < 9?(b) ist; in jedem Falle ergiebt sich q){a) — 9>(b) ^ ^(ß^)} also < d, wofern jE'(ab) < d ist. Die Werthe von q)(a) für die sämmtlichen Punkte von Q haben, indem sie immer positiv sind, die Grösse Null als eine untere Grenze und besitzen deshalb nach 20. auch eine bestimmte grösste untere Grenze, die e heissen möge. Diese Grösse 6 muss sich nun > 0 her- ausstellen, denn fände sie sich =0, so müsste wegen der Voraus- 52 .Zweites Kapitel. setzuug, dass alle Häufungsstellen von Q z\i Q selbst gehören, nach dem Satze in 21. in Q mindestens ein Punkt o existiren, für welchen man g> (a) = 0 hätte, was nicht der Fall ist. Nunmehr wird für jeden beliebigen Punkt a aus Q stets (p(a)^E sein und deshalb dann für zwei Punkte j und \) aus Q mit einer Spanne < s von a immer die Ungleichung (1) bestehen. Wird darin dann für j speciell a ge- setzt, so zeigt sich, dass e zu der Grösse ö, die beliebig angenommen war, in derjenigen Beziehung steht, welche der zu beweisende Satz fordert. Es möge nun zu irgend einer positiven Grösse 0 eine solche positive Grösse s bestimmt werden, welche die in diesem Satze ge- nannte Beziehung zu ö hat. Sodann sei Sl eine solche positive ganze Zahl, dass Tj ^ ^ ^^^'» ^^^^ ^^ werde der Würfel mit der Kante d^ welcher die Punktmenge Q ganz enthält, in Sl'^ , in ihren inneren Punkten verschiedene Würfel von der Kante -^ zerlegt. In jedem von diesen Würfeln, welcher mindestens einen Punkt von Q ent- hält, werde irgend ein derartiger Punkt a aufgesucht; alle in dem- selben Würfel sonst etwa enthaltenen Punkte von Q besitzen dann eine Spanne < s von diesem Punkte a, und differirt daher für sie der Werth der Function f{jc} um weniger als a von dem Werthe f(a). Wird das Maximum und das Minimum der Werthe f(a) für diese, hier höchstens in der Anzahl Sl^ auftretenden Punkte a bestimmt, so ist daher dieses Maximum + ^ ®^^® obere, dieses Minimum — 6 eine untere Grenze der sämmtlichen Werthe von f(jc) für die Punkte aus §, und nach 20. giebt es dann für diese Werthe eine bestimmte kleinste obere und eine bestimmte grösste untere Grenze; diese mögen F und y heissen. Dann sind /"(j) — y und — (/(j) — F) zwei in der Punktmenge Q stetige Functionen, von denen eine jede als grösste untere Grenze ihrer Werthe in Q die Grösse Null hat, und es kann auf sie der Satz in 21. in Anwendung gebracht werden. Man gewinnt so folgenden Satz: Ist eine Punktmenge Q ganz in- einem Würfel mit end- licher Kante enthalten und gehören alle Häufungsstellen von Q zw Q selbst, so giebt es für jede Function /"(j), die in einem jeden Punkte von Q stetig ist, in Q mindestens einen Punkt, in dem sie nicht kleiner, und mindestens einen Punkt, in dem sie nicht grösser ausfällt als in allen anderen Punkten von Q. Vom Volnmen der Körper. 53 23. Bemerkungen über Bereiche, die aus Würfeln zusammengesetzt sind. I. Es seien zwei Bereiche, 51 und U, gegeben, von denen ein jeder sich als die Vereinigung einer endlichen Anzahl von solchen Würfeln darstelle, die unter einander in ihren inneren Punkten durchweg ver- schieden sind, und es sei 21 vollständig in U enthalten. Dann ist die für 51 gebildete Summe (1) Ed-, worin d die Kante eines jeden einzelnen der in % eingehen- den Würfel durchlaufen soll, kleiner oder gleich der ent- sprechenden für U gebildeten Summe, je nachdem U noch andere Punkte enthält als 51 oder mit 51 identisch ist. Denn in einem Würfel (vgl. 2) findet sich immer eine jede Cpor- dinate Xh (Ä = 1 , . . . w) auf ein bestimmtes Intervall mit Einschluss beider Grenzen verwiesen. Wird nun eine bestimmte Coordinate Xh in's Auge gefasst, so kommen für sie als Grenzen solcher Intervalle in der beschränktön Anzahl von Würfeln, die zur Erzeugung von 51 und von U gegeben sind, ebenfalls nur eine beschränkte Anzahl von bestimmten Werthen Xh in Betracht. Es mögen nun alle verschie- denen dieser Werthe, die bei 51 und die bei U auftretenden zusammen- genommen, der Grösse nach geordnet werden, und es mögen r^ und Sh ein beliebiges Paar aufeinanderfolgender Werthe darunter vorstellen. Werden dann alle möglichen Systeme von Ungleichungen rhS^h<ßh (^= 1;... n mit je einem solchen Werthepaar r^, Sh für jeden Index 11= 1, ... w gebildet, so definiren diese ^einzelnen Systeme gewisse Bereiche, die unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind, und jeder bei 51 oder bei U in Betracht kommende Würfel erscheint aus bestimmten dieser Bereiche zusammengesetzt. Dabei ergiebt die Summe über die Produete (s^ — r^)..,{sn — r„) für alle diejenigen dieser Bereiche, welche genau einen W^ürfel zusammensetzen, die n*® Potenz der Kante des Würfels, sodass die Summe (1) für 51 oder für U auch als die Summe Z{s^ — ?*i)...f5„ — r„) über alle von diesen Bereichen, die im Inneren Punkte von 51 oder von U enthalten, aufge- fasst werden kann, und daraus geht dann die Richtigkeit der obigen Behauptung ohne Weiteres hervor. II. Es seien c und q irgend zwei Punkte, d irgend eine positive Grösse, ferner bedeute 0 den Nullpunkt; unter der Orientirung des Würfels mit q als Mittelpunkt und d als Kante in Bezug auf den 54 Zvreites Kapitel. Punkt c soll derjenige Punkt tt) verstanden werden, der (im Sinne von 8.) die Formel «,-0 = 1^^ erfüllt. Es seien g'i, ...Q'n die Coordinaten von q, und die n Zeichen l^,.,.ln mögen, ein jedes für sich, alle ganzen Zahlen (. .. — 2, — 1, 0, 1,2,...) durchlaufen. Die sämmtlichen Würfel von der Kante d mit den verschiedenen Punkten als Mittelpunkten nehmen dann jeden einzigen Punkt a;i,...a?„ in sich auf, und diese Würfel sind dabei unter einander in ihren inneren Punkten durchv^eg verschieden. Eine solche Menge von Würfeln soll ein Würfelnetz heissen; ein derartiges Würfelnetz ist festgelegt durch die für alle seine Würfel gleiche Kante und durch den Mittel- punkt irgend eines seiner Würfel oder auch die Orientirung eines seiner Würfel in Bezug auf irgend einen gegebenen Punkt. III. Ist «1 , . . . a„ oder a irgend ein Punkt, so kann in Bezug auf das durch d und q bestimmte Würfelnetz für a eine solche positive Grösse d^ angegeben werden, dass jeder Punkt mit einer Spanne < d^ von a sich noch in den Würfeln des Netzes findet, denen a an- gehört. Es bedeute d'k für h = 1, ... w, wenn au nicht von der Form ä'A + ^A ^ + -ö" mit einer ganzen Zahl h ist, diejenige positive Grösse ^ —j für welche mindestens eine der zwei Grössen an + %'h von dieser Form wird, und anderenfalls die Grösse d\ dann ist das Minimum unter diesen n positiven Grössen %'h der grösste mögliche Werth für die in Rede stehende Grösse Q'. IV. Es sei c irgend ein Punkt und g eine positive Grösse. Von den Würfeln des durch 8 und q bestimmten Würfelnetzes können nur eine beschränkte Anzahl Punkte mit einer Spanne < ■— von c enthalten, ^ - 9 nämlich gewiss nur solche, deren Mittelpunkt von c eine Spanne 1 s < h Y besitzt. Jede einzelne der Coordinaten q^ -\- 1^8 , . , . qn -\- In^ für diese Mittelpunkte findet sich dadurch auf ein Intervall von der Breite — + ^ verwiesen, und die Anzahl der von einer festen Grösse um ganzzahlige Vielfache von ö verschiedenen Grössen in einem solchen Intervall ist höchstens = -„ + 2, nämlich höchstens um 1 grösser als der Quotient aus der Breite des Intervalls und 8. Vom Volumen der Körper. 55 24. Strahlenkörper. V7ie in 1. bedeute jetzt S(ah) eine Function von variablen zv^ei Punkten a und b, die positiv sei, wenn b von 0 verschieden ist, und gleich Null, wenn b denselben Punkt wie a vorstellt, und welche ferner die Forderung erfülle: Stehen vier Punkte a, B, C, b mit den Coordinat^n ai,...a„; ftj, . . . &„; Cj, . . . Cn] d^j . . . dn in solcher Beziehung, dass (1) dl— Ci= t{bi — tti),. . .dn — Cn= t(hn — a„) and t darin positiv ist, so soll immer S{ch) = tS^ah) sein. Anstatt der Functionalungleichung in 1. aber möge jetzt nur die weniger einschneidende Forderung gestellt werden: Es soll 5(ab) eine stetige Function der Coordinaten von a und von b sein. Diese Forderungen können offenbar auch so formulirt werden: Es soll S(ah) allein von den relativen Coordinaten von b in Be- zug auf a, also von den Verbindungen 61 — ai, . . . ?)„ — a„, abhängen, und wird jS(ab)=/'(&i — a^, . .. fe„ — a„) gesetzt, su soll diese Function fiVij ' " Vn) die Eigenschaften haben, erstens nur für das System t/i = 0, . . . , yn = 0 Null, sonst immer positiv zu sein und dazu der Functionalgleichuug für po8iti7e t zu genügen, und zweitens soll fiy^, ...y») eine stetige Function von 2/i> • • • 2/« s®^"- Ist c irgend ein Punkte so giebt es auf Grund der ersten Bedin- gungen, wie bereits in 7. erörtert wurde, in jeder Richtung von c aus einen bestimmten Punkt b, für den S(ch) = 1 ist, und ist dann für alle Punkte j vor diesem ^(cj) 1. Die Menge aller Punkte 5, für welche /S'(cj)^l ist, möge mit K bezeichnet werden, und eine Punktmenge von dieser Entstehungs- weise aus einer Function /* mit den angegebenen Eigenschaften soll ein Strahlenkörper vom Punkte c aus heissen. Infolge der für fiyii'-'Vn) geforderton Stetigkeit stellt ein solcher Strahlenkörper S{ti) ^ 1 immer eine abgeschlossene Punktmenge vor, und wird seine Begrenzung von denjenigen Punkten j gebildet, für die /S'(cj) = l ist, sein Inneres von denjenigen Punkten j, für die S{il) < 1 ist und zu denen c selbst gehört (vgl. 11). Ein nirgends concaver Körper (vgl. 17) stellt einen Strahlenkörper von jedem seiner inneren Punkte aus dar 5 56 Zweites Kapitel. umgekehrt, wenn ein Strahlenkörper von einem bestimmten Punkte aus zugleich einen Strahlenkörper von jedem seiner inneren Punkte aus darstellt, ist die Begrenzung des Strahlenkörpers nothwendig eine nirgends concave Fläche (s. 8.). Nun werde zuvörderst der Bereich der sämmtlichen Punkte mit einer Spanne = 1 vom Nullpunkte o in's Auge gefasst; dieser Bereich stellt eine abgeschlossene Punktmenge vor, und für jeden Punkt j dieses Bereichs ist S{o]C) wesentlich positiv. Wegen der voraus- gesetzten Stetigkeit von S(o'jc) als Function der Coordinaten von j giebt es daher nach 22. für die Werthe von /S(oj) in diesem Bereiche obere und untere Grenzen und zwar noch wesentlich positive untere Grenzen. Es sei g eine positive untere, G eine obere Grenze für die Werthe von /S'(oj) in diesem Bereiche. Nach der Eigenschaft (1) gelten dann allgemein, für beliebige Punkte a und b, die Ungleichungen: gE{ah)£8iah)£GE{ah), wenn wieder E(ah) die Spanne von a nach b bedeutet. Daraus geht dann hervor, dass der Strahlenkörper K vom Punkte c aus den Würfel 2 mit C als Mittelpunkt von der Kante -^ vollständig enthält und selbst vollständig in dem Würfel mit c als Mittelpunkt von der Kante •— enthalten ist. 25. Volumen eines Strahlenkörpers. I. Es werde jetzt irgend ein Würfelnetz betrachtet, es sei d die Kante seiner Würfel, ttJ die Orientirung irgend eines der Würfel in Bezug auf den Punkt c. Von den Würfeln des Netzes können nach 23. IV. nur eine beschränkte Anzahl Punkte des soeben betrachteten Körpers K enthalten. Es sei nun a(d, Xo) die Anzahl aller derjenigen Würfel dieses Netzes, welche ganz aus inneren Punkten von K bestehen, d. h. in welchen für jeden einzigen Punkt 5 die Ungleichung S{ci) < 1 gilt. Solche Würfel braucht es nicht durchaus zu geben, es kann unter Umständen auch a(d, tö) ■= 0 sein. Es bedeute ferner Sl den Bereich dieser Würfel, und es werde a(d, U))^" = ^ ge- setzt. Sodann sei n(^, tt)) die Anzahl aller derjenigen Würfel des Netzes, welche überhaupt mindestens einen Punkt des Körpers K enthalten, es bedeute U den Bereich dieser Würfel, und es werde w(d, lD)d« «= ü gesetzt. Es wird jedenfalls ü> Ä sein. Es können Ä und ü offenbar auch als die Summen über die M*®" Potenzen der Kanten aller, in Sl oder in U eingehenden Würfel Vom Volumen der Körper. 57 des Netzes gedeutet werden. Der Bereich 51 besteht, falls er über- haupt Punkte enthält, aus lauter inneren Punkten von K, und jeder Punkt von K ist (vgl. 23. III.) ein innerer Punkt des Bereichs U. Daraus geht hervor, dass, wenn die Bereiche 51 und U in Bezug auf mehrere Würfelnetze aufgesucht werden, jeder Bereich U alle Be- reiche 2t enthalten und dabei niemals mit einem derselben identisch sein wird; nach dem Satze in 23. I. wird dann jede Grösse ü grösser als alle Grössen A sein. Die Punkte von K besitzen durchweg eine Spanne ^ — von c, und die Punkte des Bereichs U können deshalb niemals eine grössere Spanne von c als \- 8 haben. Danach ist U ganz enthalten in dem 2 Würfel mit c als Mittelpunkt von der Kante h 2«^, und aus dem Satze in 23. I. folgt: (1) C^^(l + 2d)^ Wenn ferner die Kante <^ < -^ ist, wird jeder Punkt mit einer Spanne < 77 — 8 von c gewiss nur in solchen Würfeln des Netzes vor- kommen, in denen alle Punkte eine Spanne < -^ von c haben, die also aus lauter inneren Punkten von K bestehen, also gewiss nur in den Würfeln aus %. Die Punkte mit einer Spanne = ^ — ^ von c werden dann als Häufungsstellen der ersteren Punkte noch in den nämlichen Würfeln, wenn vielleicht gleichzeitig auch in anderen W^ürfeln des Netzes vorkommen. Danach wird der Würfel mit c als Mittelpunkt und von der Kante -^ — 28 ganz im Bereiche 31 ent- halten sein; nach 23. 1. folgt daraus, wenn ^ '> 8 ist: (2) ^^(|__2d)*. n. Die Grössen Ä und ü convergireu, wenn die Kante 8 sich der Grenze Null nähert, unabhängig von dem Punkte tP, nach einem bestimmten, und beide Grössen nach dem näm- lichen Grenzwerthe. Es sei 6 irgend eine Grösse > 0 und < 1. Alle Punkte j, für die S{cic)^l + ö ist, gehören jedenfalls dem Würfel mit c als Mittel- punkt und von der Kante —{l-\-a) an. Dieser Würfel stellt nun 58 Zweites Kapitel. eine abgeschlossene Punktmenge vor, und ist daher die Function /S'(cy), die nach Voraussetzung in jedem Punkte j stetig ist, in diesem Würfel nach 22. auch gleichmässig stetig , d. h. giebt es positive Grössen e von solcher Art, dass für irgend zvrei Punkte, b und j;, in diesem Würfel mit einer Spanne E(hic) < s immer die Ungleichung abs (S{ct) — Sich)) < 6 besteht. Wenn K einen nirgends concaven Körper vorstellt, kann für s nach 4. ^ eingeführt werden. Eine solche Grösse. £, die selbstverständlich noch beliebig klein angenommen v^erden kann, vorausgesetzt, sei die Kante d des zu betrachtenden Würfelnetzes, die schliesslich nach Null convergiren soll, bereits < s. Jeder in den Bereich U eingehende Würfel des Netzes enthält mindestens einen Punkt b, für den /S'(cb) ^ 1 ist, und da für irgend zwei Punkte, b und j, in einem solchen Würfel die Spanne E(hl) immer ^ 1 -|-<^ wobei die zur weiteren Bestimmung des Netzes dienende Orientirung tu dieselbe geblieben ist, und man schliesst: (3) t«(d, tt)) 1 ~6. Also kommen die Punkte des Körpers /S'(cj) ^1 — ö in keinen anderen Würfeln des Netzes vor, als in denen, die den Bereich % ergeben. Dilatirt man nun diesen Körper und das betrachtete Würfelnetz von c aus im Ver- hältnisse 1:1 — )^^*(<5, iu). Vom Volumen der Körper. 59 Wird nun neben dem durch d und tt) bestimmten Würfelnetze noch irgend ein zweites Würfelnetz betrachtet, und bedeuten d*, Ä*, ü* die den Grössen (J, Ä, U entsprechenden Grössen für dieses Netz, so hat man nach der schon vorhin gemachten Bemerkung, dass bei irgend zwei Würfelnetzen die Grösse Ä für das eine immer kleiner als die Grösse U für das andere ist: (5) A* 6rd' ersetzt werden (auch durch (xd selbst, da in diesen Ungleichungen noch das Gleichheitszeichen steht). Beschränkt man sich dann auf Werthe von d, die irgend eine feste Grösse Öq nicht übersteigen, so kann eine solche, nur vom Körper K abhängige, von d aber unabhängige positive Constante J' bestimmt werden, dass sich aus diesen Unglei- chungen die einfachere Folgerung (12) U-Ä^J'$ (^<^o) entnehmen lässt. Eine jede Punktmenge, die ganz in einem Würfel mit endlicher Kante enthalten ist, vertheilt sich in einem beliebigen Würfelnetze (nach 23. IV.) immer nur auf eine beschränkte Anzahl von Würfeln, und können dann jedesmal diejenigen Würfel des Netzes gezählt werden, die ganz im Inneren der Punktmenge aufgehen, und wieder alle, die überhaupt mindestens einen Punkt der Menge aufnehmen, und können aus diesen Anzahlen durch Multiplication mit der n^^ Potenz der Kante des Netzes, wie hier für einen Strahlenkörper, zwei bestimmte Grössen Ä und ü hergeleitet werden. Herr C. Jordan*) hat nach- gewiesen, dass dann immer mit abnehmender Kante des Würfelnetzes die Grösse Ä und desgleichen die Grösse CT je nach einem bestimmten Grenzwerth convergiren; doch kann der Grenzwerth für [7 dabei anders ausfallen als der für A. Stellt es sich bei einer Punktmenge heraus, dass für sie Ä und U auf die bezeichnete Art nach einem und dem- selben Grenzwerthe convergiren, wie solches hier für einen Strahlen- körper dargethan ist, so soll der betreffende Grenzwerth das Volumen der Punktmenge in x^ . . . Xn heissen oder, wo der letztere Zusatz überflüssig erscheint, auch schlechthin das Volumen der Punktmenge. Es ist einleuchtend, dass das Volumen eines Strahlenkörpers S(tTc)^tj unter t irgend eine positive Grösse verstanden, das ^"-fache des Volumens des Strahlenkörpers /^(cj)^! sein wird, indem bei dem ersteren Körper die Würfelnetze von der Kante td auf dieselben An- *) Remarques aar les iüt^grales däfinies, Journ. de Math. 4. s^iie, tome 8, 1892, p. 77. Vom Volumen der Körper. ß\ zahlen a und u führen, wie bei dem letzteren die Würfelnetze von der Kante d, und td und Ö sich gleichzeitig der Null nähern. Ferner werden die Volumina eines Strahlenkörpers S(C'ic) ^ 1 von einem Punkte- c aus und des zugehörigen Strahlenkörpers S(pic)S(cj)^l und die Mittelpunkte der sämmtlichen Würfel eines gewissen Würfelnetzes von der Kante ^t und j bedeutet dann die Anzahl der- jenigen unter diesen Mittelpunkten, die der Ungleichung >S(cj) < 1 genügen. Darunter finden sich nun die Mittelpunkte aller von diesen Würfeln, die nach I. den Bereich 51 ergeben, und sicherlich nur die Mittelpunkte solcher von diesen Würfeln, die nach I. in den Bereich U eingehen, und daraus folgt dann in Bezug auf dieses Würfelnetz von der Kante ^: (13) A<^<ü, Diese Ungleichungen nun beweisen mit Rücksicht auf die Resultate aus IL die aufgestellte Behauptung. Unter gewissen Umständen, wie beispielsweise, wenn S(c^) < 1 einen nirgends concaven Körper vorstellt, kann man noch über die Differenz — J eine bemerkenswerthe Aussage machen. Nämlich in dem genannten Falle giebt es, wenn SIq irgend eine positive Grösse bedeutet, nach (12) immer eine solche Constante J' , dass man für alle Würfelnetze mit Kanten ^, die^^ sind, 62 Zweites K^apitel. hat, und daraus folgt dann mit Rücksicht auf (13): (14) absÜ- J''ß")^J''*ß"-' (-ß^^o)- 26. Volumen einer Vereinigung von Strahlenkörpern. T. Es seien K^y K^y ... eine endliche Anzahl von Strahlen- körpern, die nach Belieben aufeinander fallen können, und es bedeute K die Punktraenge, welche durch Vereinigung der Punkte aller dieser Körper entsteht. Dann hat auch K ein bestimmtes Volumen. Denn es werde irgend ein Würfelnetz betrachtet, man bilde in Bezug auf dieses gemäss 25. IL die Grössen A und ü für K, und es seien A^^^ C/J, A^j U^, ... die entsprechenden Grössen für K^y K^j ... Dann stellt die Differenz U — A das Volumen aller derjenigen Würfel des Netzes vor, die mindestens einen Punkt der Begrenzung von K enthalten, und U^ — Ai, ü^ — A^y ... haben die entsprechende Be- deutung für JK'i, K^j . . .; jeder Punkt der Begrenzung von K aber muss auch bei mindestens einem der Körper K^, K^y ... der Begrenzung angehören, indem ein solcher Punkt für keinen dieser Körper ein innerer Punkt und auch nicht für alle zugleich ein äusserer Punkt sein kann, und danach ergiebt sich: {U- A) jC (D; - A,) + {U,-A,) + ..-. Mit abnehmender Kante des Netzes convergirt nach 24. (9) jeder der Summanden rechts nach Null, und wird dasselbe also auch mit der Differenz auf der linken Seite der Fall sein, d. h. wie eine positive Grösse i auch angenommen wird, existirt stets eine solche positive Grösse £, dass man in Bezug auf jedes Würfelnetz mit einer Kante < s hat: ü- A (5) in = 1)^1/1 + '•■ + bnnyn, welche die Bedingungen erfüllen: hk = 0 (h>Jc), hnn>0 {h, l = \, ... n). Minkowski, Genmotrie der Zahlen. 5 nn 65 Zweites Kapitel. Nach dem Multiplicationssatze der Determinanten wird dabei h^^ ... h gleich dem absoluten Betrage von D werden. Um den Beweis für diese Behauptung zu erbringen, hat man nur nöthig, die Wirkung folgender vier speciellen Substitutionen mit ganzzahligen Coefficienten und mit einer Determinante + 1 auf die Formen ^j, ... |« in (1) zu erwägen. Die neuen Variabein in diesen Substitutionen mögen «j, ... w„ heissen, und es möge in der ersten Substitution Xh = Uh — Uk, in der zweiten a;* = % + Uky in der dritten Xh = Wm; Xm = Uhj in der vierten Xm = — w„ gesetzt werden, unter h und h oder h und m zwei verschiedene oder unter m irgend eine der Zahlen 1, ... n verstanden; die hier nicht genannten der Variabein x^y ... Xn aber mögen jede einfach gleich der neuen Variable mit dem- selben Index gesetzt werden. Das quadratische Schema der Coefficienten von 5i? • • • in nach diesen Substitutionen geht dann aus dem Schema der Coefficienten in (1): ö^ii ; • • • <^«i "in ; • • • ^nn hervor, bei der ersten Substitution, indem hier in jeder Horizontal- reihe von der ¥^^ Grösse die A*® subtrahirt wird, bei der zweiten, indem in jeder Horizontalreihe zu der h^^ Grösse die h^ addirt wird, bei der dritten, indem in jeder Horizontalreihe die h^ und m^ Grösse ver- tauscht werden, bei der vierten, indem in jeder Horizontalreihe die m*® Grösse mit — 1 multipiicirt wird. Wenn nun die Formen Jj, ... ^« in (1) nicht schon die bei (5) bezeichneten Bedingungen erfüllen, so sei unter ihnen J« die erste Form, die diesen Bedingungen nicht entspricht; falls m>l ist, sind dann gemäss (5) in g^ , ... J^_ i insbesondere die Coefficienten vom m^°- an durchweg Null, und es können alsdann, und ebenso wenn m = 1 ist, nicht die Coefficienten ümmy ... «nm in |m sämmtlich Null sein, indem sich sonst die Determinante von J^, ... |„ gleich Null herausstellen würde. Sind nun unter diesen Coefficienten mindestens zwei von Null verschieden, z. B. ahm und ükm {h^m, k>m, h^k) und ist etwa abs «^7« < abs a^.„,, so tritt bei Anwendung der ersten oder zweiten Substitution, je nachdem a^rn und ükm gleiche oder ver- schiedene Vorzeichen haben, eine Verringerung in der Function abs lükm der Ausdrücke (1) ein, die eine ganze Zahl ist; wenn ferner unter jenen Coefficienten nur einer von Null verschieden ist, dies jedoch nicht annn, sondern etwa ahm{h>ni) ist, bewirkt die dritte Sub- stitution eine Vertauschung dieses Coefficienten mit dem m*®'^, und Vom Volumen der Körper. ß7 endlich, wenn von jenen Coefficienten der m*® allein von Null ver- schieden, aber negativ ist, ersetzt ihn die vierte Substitution durch die entgegengesetzte positive Grösse. Falls m > 1 ist, erfahren bei allen diesen Substitutionen die der Form ^rn in der Reihe Ij, ... |, vorangehenden Formen wegen des schon oben hervorgehobenen Um- standes keine Aenderung in ihren Coefficienten. Wenn nun nach der für jeden Fall hier bezeichneten Substitution die neuen Ausdrücke von Ij, ... |„ in u^, ... n„ noch nicht den Be- dingungen bei (5) entsprechen, kann nach demselben Principe mit diesen Ausdrücken weiter operirt werden; und aus dem Umstände, dass eine positive ganze Zahl nur eine beschränkte Anzahl von Ver- ringerungen zulässt, nach denen sie diesen Charakter behält, und andererseits, dass die Zahl m hier nur eine beschränkte Anzahl von Ver- grösserungen zulässt, leuchtet ein, dass nach einer endlichen Anzahl derartiger Operationen an Stelle von iCj, ... Xn solche Variabein i/j, ...y„ durch eine ganzzahlige Substitution mit einer Determinante + 1 werden eingeführt sein, dass in ihnen l^ , ... J„ wie in (5) ausfallen. Nun mögen für l^ , ... 1« die Ausdrücke (5) zu Grunde gelegt werden; j bedeutet die Anzahl der ganzzahligen Systeme y^^ ... i/„, die den Bedingungen — -a^li^ii, ... -s^ -r 1. Zu jeder dieser Zahlen ?/, kann es Zahlen y^ geben, die der zweiten Bedingung genügen, u. s. f. Ist m-^n und stellt ?/j, ... ym — i irgend ein bestimmtes System von ganzen Zahlen vor, welches die m — 1 ersten jener Bedingungen er- füllt, so ergiebt sich die Anzahl der ganzen Zahlen j/„,, welche mit 2 ß diesem Systeme verbunden, die m^ Bedingung erfüllen, ^ r 1- 1 und >^T 1 . Nun möge die Grösse ii, die schliesslich über jede Grenze mm wachsen soll, bereits grösser als alle w Grössen — , '" -^ ^®^^* ^^"^ ergiebt sich daraus die Anzahl j <(? + ■)■■■£+') '" >("-)■■(".-■)• 68 Zweites Kapitel. und als Grenze des Quotienten ~ für ein unbegrenzt wachsendes ,a an findet man nn Danach ist das Volumen des Parallelepipedum (2) gleich 2" ab« D IV. Dieses Resultat ist zunächst nur unter der Annahme be- wiesen, dass die Coefficienten in den Formen Ij, ... 1^, in lauter rationalen Verhältnissen zu einander stellen. Nun seien diese Coeffi- cienten ttkk beliebige reelle Grössen. Es sei s irgend eine positive Grösse, und es mögen irgend n^ Grössen Shk {h, Jc=l, ... n) an- genommen werden, für die durchweg abs e^k ^ £ ist; sodann werde Vk «== («1* + £ik) a^i -I h («»* + £nk) Xn (A;== 1 , . . . w), ^/fc = I* + fliiCi H h ^nkXn (Ä; = 1, . . . W) gesetzt. Auf der Begrenzung des Parallelepipedum (2), auf der Fläche ;S'(o£) = l, sind in jedem Punkte j die Grössen abs l^ , . . . abs |„ sämmtlich ^ 1 und ist beständig mindestens eine unter ihnen gleich 1, und sind ferner nach II. abs x^. ... abs Xn sämmtlich ^ JT. In jedem Punkte j auf dieser Fläche werden infolgedessen die Grössen abs ??i , ... abs rin sämmtlich < 1 + W£ F, und wird immer mindestens eine unter ihnen ^ 1 — WfJT sein. Nun möge £ < — ^ gewählt sein; dann können ^i, ...i?« in keinem Punkte 5 auf dieser Fläche und daher überhaupt in keinem, vom Nullpunkte verschiedenen Punkte sämmtlich verschwinden. Die Determinante |aA*+£A*| dieser Formen ist dann also für alle mög- lichen Werthe 6^* mit absoluten Beträgen 0 und sind dann aus —{X), — — x,C) = %i,yi, ^h die für die Zelle charakteristischen Vorzeichen ^^ sicher zu entnehmen. .«— 1 Jede dieser Zellen hat nach 28. ein Volumen ,— Ferner ist n! ö"" S je in allen diesen Zellen — i^O, und der Aichkörper enthält noch innere Punkte, für die — < 0 ist. Nach 2^. II. geht daraus nun 72 Zweites Kapitel. n — 1 n\ G^"-^ y 0, in dem anderen < 0 ist. Dann ergiebt sich sogar noch ^^j — < y nl G^ J Drittes Kapitel. Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt mit ganzzahligen Coordinaten enthalten. 30. Arithmetischer Satz über die nirgends ooncaven Körper mit Mittelpunkt, Die Menge aller Punkte mit lauter ganzzahligen Coordinaten, d. i. aller Systeme x^, . . . x» ^ in welchen sowohl Xj^ u. s. f. wie Xn ganze Zahlen sind, möge das Zahlengitter genannt werden. Ein einzelner Punkt aus dieser Menge soll kurzweg ein Gitterpunkt heissen. Die relativen Coordinaten der sämmtlichen Gitterpunkte in Bezug auf einen festen Gitterpunkt ergeben jedesmal von Neuem alle möglichen Werth- systeme von n ganzen Zahlen. In diesem und den nächsten Kapiteln sollen einige Eigenschaften des Zahlengitters entwickelt werden, die sich ebenso durch Anschaulichkeit auszeichnen wie sie mannigfache wichtige Anwendungen zulassen. Es mögen mit S(ah) irgend welche Strahldistanzen bezeichnet werden, d. h. nach den Erklärungen in 1., es soll S(ah) für einen beliebigen Punkt a und einen beliebigen Punkt b immer einen be- stimmten Werth vorstellen, und zwar einen positiven Werth, wenn a und b verschieden sind, und sonst den Werth Null, und es soll bei verschiedenen Punkten a und b der Quotient Jy-J:^ unter 5(ab) die Spanne von a nach b verstanden (vgl. 2.), allein von der Richtung ab abhängen; dieser Quotient hat die Benennung Distanzcoefficient der Richtung ab erhalten. Es möge ferner angenommen werden, dass für die sämmtlichen Distanzcoefficienten eine positive untere Grenze ^ vorhanden sei. Dann giebt es unter den sämmtlichen Strahl distanzen von einem festen Gitter- punkte nach allen anderen Gitterpunkten immer eine bestimmte kleinste Grösse. Denn wie in 3. bedeute — das Maximum unter den 2n Strahl- n distanzen vom Nullpunkte 0 nach denjenigen 2n Gitterpunkten, welche 74 Drittes Kapitel. jedesmal eiue der Coordinaten Xi y ... Xn gleich -|- 1 und die n — 1 übrigen gleich Null haben. Die Spanne von o nach jedem dieser Gitterpunkte beträgt Eins; Eins ist offenbar auch die kleinste Spanne, die von einem Gitterpunkte nach anderen Gitterpunkten möglich ist. Es existiren also sicherlich Gitterpunkte, die vom Nullpunkte ver- schieden sind und nach welchen die Strahldistanz vom Nullpunkte ^ — ist. Solche Gitterpunkte giebt es aber gewiss nur in beschränkter Anzahl, denn nach Punkten mit einer Strahldistanz <- vom NuU- punkte muss die Spanne vom Nullpunkte <^ — sein, d. h. für solche Punkte müssen alle n Coordinaten x, , ... x^ absolute Beträoje < — haben, und dieser Bedingung können nur eine beschränkte Anzahl von ganzen Zahlen x^y ... Xn entsprechen. Man kann hiernach sämmt- liche, von o verschiedenen Gitterpunkte ausfindig machen, die eine Strahldistanz < — von o haben , und unter diesen dann diejenigen heraussuchen, für welche die betreffende Strahldistanz den kleinsten Werth hat; der betreffende kleinste Werth heisse M. Dann ist M die kleinstmögliche Strahldistanz vom Nullpunkte nach anderen Gitter- punkten und offenbar überhaupt die kleinstmögliche Strahldistanz im Zahlen gitter, d. h. von irgend einem Gitterpunkte nach anderen Gitterpunkten. Indem die Spanne zweier verschiedener Gitterpunkte immer ^ 1 ist, wird M jedenfalls > ^ sein. Nun möge weiter vorausgesetzt werden, dass die Strahldistanzen 5(ab) einhellig seien, dass also für irgend drei Punkte a, b, c immer S{(Xi)S'(oj)=l) ein beliebige nirgends concave Fläche mit dem Nullpunkt als Mittel- punkt, i^üd es sind die Flächen constanter Strahldistanz von einem Punkte a immer mit den Flächen derselben Strahldistanzen nach a identisch. Daraus geht dann mit Rücksicht auf das soeben Bewiesene hervor, d-ass, wenn für jeden einzigen Gitterpunkt a der Körper der M Strahl distanz < - von a construirt wird , beliebige zwei von diesen Körpern immer in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sein werden. Dieser Umstand bewirkt nun, dass für die kleinste Strahl- distanz im Zahlengitter, für M^ eine obere Grenze existirt, i die allein vom Volumen des Aichkörpers der Strahldistanzen, des Körpers S(oi)(^+iy.(|)V, oder: 76 Drittes Kapitel. Incjem nun hierin M und J bestimmte Werthe bedeuten, für ^ aber jede, noch so grosse positive gerade ganze Zahl gesetzt werden kann, enthält diese Ungleichung einen Widerspruch gegen jede An- nahme über M und J", aus der (yj J> 1 folgen würde, und gestattet, so den Schluss, dass ist. Es muss danach, wenn J =^ 2" ist, M -^ 1, und, wenn e7> 2" ist, iltf < 1 sein; dieses Resultat lässt sich in folgender Weise aussprechen unter Hinzunahme des Umstandes, dass das Zahlengitter wie in Bezug auf den Nullpunkt so in Bezug auf jeden seiner Punkte zu sich selbst symmetrisch ist: Ein nirgends concaver Körper mit einem Mittelpunkt in einem Punkte des Zahlengitters und von einem Volumen = 2" enthält immer noch mindestens zwei weitere Punkte des Zahlengitters, sei es im Inneren, sei es auf der Be- grenzung. Ein nirgends concaver Körper mit einem Mittelpunkt in einem Punkte des Zahlengitters und von einem Volumen > 2" enthält immer noch mindestens zwei weitere Punkte des Zahlengitters im Inneren. Es ist evident, dass ein Würfel mit einem Gitterpunkt als Mittel- punkt und von einem Volumen < 2", d. i. also von einer Kante < 2, keine weiteren Gitterpunkte mehr enthält. Diesen Sätzen kann die folgende, rein analytische Fassung gegeben werden (vgl. 24.): Es sei f(xi, . . , Xn) irgend eine Function von iPj , . . . £C„, welche für das eine System aj^ = 0, ... Xn = 0 den Werth Null hat und für jedes andere System x^j . . . Xn einen bestimmten positiven W^erth besitzt, welche ferner in vollem Umfange die Functioualbedingungen erfüllt: (I) f{tXi , . . . tx,,) == tf(xi, ... Xn)j wenn ^ > 0 ist, (10 flyi + ^l> '" Vn + ^n) < f{yi, . . . yn) + /"fe, • • • ^n) , (III) /•(- X„ ...- Xn) == f{x,, . . . Xn). Nach 25. besitzt dann das w-fache Integral fdx^ . . . dxny mit lauter positiven Integrationsrichtungen über den Bereich fiXi, ... x„) < 1 erstreckt, immer einen bestimmten Werth; dieser Werth heisse J. Dann giebt es immer mindestens ein System von ganzen Zahlen /j, ... ?„, für das man Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 77 hat. Dieselbe Relation wird zufolge (III) jedesmal auch für das ent- gegengesetzte System — Zj, ... — Z„ gelten. 31. Stufen im Zahlengitter. Von jetzt an wird, mit Ausnahme des letzten Kapitels, nur noch von solchen Strahldistanzen die Rede sein, welche sowohl einhellig wie wechselseitig sind. Bestimmte derartige Strahldistanzen voraus- M gesetzt, mögen die Körper der Strahldistanzen < — von den einzelnen Gitterpunkten, die nach 30. durchweg in ihren inneren Punkten ver- schieden sind, aber unter einander Punkte der Begrenzungen gemein haben, Stufen im Zahlengitter genannt werden, und zwar möge ein einzelner dieser Körper die Stufe um denjenigen Gitterpunkt heissen, welchen der Körper enthält. Ein solches System von Stufen im Zahlengitter ist durch die Stufe um den Nullpunkt immer voll- ständig bestimmt, und zur Stufe um den Nullpunkt eiguet sich jeder nirgends concave Körper mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt, der im Inneren ausser dem Nullpunkte keinen Punkt mit Coordinaten — , ... — enthält, worin Z^, ... /„ ganze Zahlen sind, der aber solche Punkte auf der Begrenzung liegen hat. Mit einer bestimmten ersten Stufe haben genau diejenigen anderen Stufen mindestens einen Punkt gemein, deren Gitterpunkte vom Gitterpunkte der ersten die kleinst- mögliche Strahldistanz ilf besitzen; diese Stufen mögen der ersten Stufe benachbart heissen. Nach dem Satze in 30. ist in einem Systeme von Stufen im Zahlengitter das Volumen einer jeden Stufe ^ 1. Die nirgends con- caven Flächen mit Mittelpunkt geben aber nicht allein zu Un- gleichungen Anlass, in denen ganze Zahlen figuriren; sie bieten auch Eigenschaften dar, die sich in Congruenzen ausdrücken. Nach der Bedeutung von M hat der Körper der Strahldistanzen <. M vom Nullpunkte keinen' Gitterpunkt ausser dem Nullpunkte im Inneren liegen, aber mindestens zwei Gitterpunkte auf der Begrenzung. Die Anzahl der verschiedenen Gitterpunkte, die der Begrenzung dieses Körpers angehören, ist nach den Betrachtungen am Anfange von 30. jedenfalls eine beschränkte; diese Anzahl heisse A. Die Richtungen vom Nullpunkte pach diesen A Gitterpuukten stellen die Richtungen 78 Drittes Kapitel. kleinster Strahldistauz im Zahlengitter vor, insofern als von einem jeden Gitterpunkte I auvS in diesen Richtungen und in keinen sonst sich andere Gitterpunkte mit der Strahldistanz M von ( vor- finden. Zugleich ist dann Ä die Anzahl der einer festen Stufe be- nachbarten Stufen. Es sei «1, ... ün ein beliebiger der Ä Gitterpunkte auf der Fläche der Strahldistanz M vom Nullpunkte, dann liegt auf dieser, in Bezug auf den Nullpunkt zu sich selbst symmetrischen Fläche gleichzeitig der Punkt — a, , ... — a„; die genannten Ä Richtungen bestehen so aus lauter Paaren entgegengesetzter Richtungen, und ist danach Ä jedenfalls eine gerade Zahl. Bedeutet q irgend eine ganze Zahl > 1 , so können niemals ttif ... a„ sämmtlich durch q aufgehen, also nicht e^ 0, ... 0 (mod g') sein; denn sonst v^rürde auch — , ... — einen Gitterpunkt vorstellen derselbe wäre vom Nullpunkte verschieden, und die Strahldistanz vom M Nullpunkte nach ihm wäre = — <. M^ was gegen die Bedeutung von M streitet. Bedeutet ferner^ eine ganze Zahl > 2, so können, wenn es auf der Fläche der Strahldistanz M vom Nullpunkte noch einen dritten, von a,, . . . a„ und — a^^, ... — a„ verschiedenen Gitterpunkt &i , . . . &„ giebt, niemals zu gleicher Zeit die sämmtlichen Congruenzen bestehen: 6j = «1, ... hn^an (mod p). Denn mit — «j , . . . — a„ und ft^, ... hn gehört, nach der Natur der nirgends concaven Körper, jeder einzige Punkt der diese beiden ver- b^ — ttj b^ — a^ bindenden Strecke, also auch der Punkt — ^— , . . . — ^ — dem Körper der Strahldistanzen -^M vom Nullpunkte an. Die Strahldistanz vom fe< — Ol, b — Ol 2 Nullpunkte nach dem Punkte — — , . . . — wird dann <~ M 2 eindeutig bestimmt. Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C, enthalten. 79 Wird beispielsweise ^ = 3 angenommen, so kommen für die Reste «1 , ... a« (raod 3) bei jenen Ä Gitterpunkten, indem noch das eine System 0, ... 0 (mod 3) bei ihnen ausgeschlossen ist, im Ganzen 3* — 1 Systeme in Betracht, von denen jedes bei höchstens einem jener Punkte auftreten kann, und ergiebt sich danach: ^ ^ 3» - 1 . Ein nirgends coucaver Körper mit einem Mittelpunkt in einem Punkte des Zahlengitters und ohne weitere Gitter- punkte im Inneren enthält niemals mehr als 3"* — 1 Gitter- punkte auf der Begrenzung. Der Würfel mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und von der Kante 2 ist ein Körper von der hier in Rede stehenden Art; auf seiner Begrenzung liegen alle diejenigen Gitterpunkte, für welche jede der n Coordmaten einen der drei Werthe 0, 1, — 1 hat und nicht alle Coordinaten zugleich Null sind; das sind genau 3" — 1 Gitterpunkte. Bedeuten ferner hki^j k == 1, . . . n) irgend n^ ganze Zahlen mit einer Determinante |4*| = + 1 und sind dazu Z^, ... Z„ beliebige ganze Zahlen, so entsprechen vermöge der Substitution Xh = hiyi + \-hnyn + k (h== Ij . . . n) den ganzzahligeu Systemen rCj , ... Xn ganzzahlige Systeme yj , ... y,- und umgekehrt, und wird daher das durch definirte Parallelepipedum regelmässig ebenfalls von solcher Art sein, dass es den Mittelpunkt als einzigen Gitterpunkt im Inneren und auf der Begrenzung genau 3" — 1 Gitterpunkte enthält. Die letzte Betrachtung hat nichts in Bezug auf den Modul 2 er- geben. Nun bedeute wieder «j, ... a„ einen beliebigen der Ä Gitter- punkte auf der Fläche der Strahldistanz M vom Nullpunkte. Für den gleichzeitig auf dieser Fläche gelegenen Gitterpunkt — öj , ... — a„ hat man dann gewiss: — «1 ^ «1 , . . . — a„ ^ a„ (mod 2). Soll nun auf dieser Fläche ein dritter, von diesen beiden verschiedener Gitterpunkt \, ... &„ existiren, für den &i ^ a^, . . . 6„ = an (mod 2) ist, so würde sich auch ^-77-^, ... "«> als ein Gitterpunkt und zwar nach dem Obigen mit einer Strahldistanz ^ M vom Nullpunkte er- weisen; da nun dieser Gitterpuukt vom Nullpunkte verschieden wäre. 80 Drittes Kapitel. müsste dann seine Strahldistanz vom Nullpunkte ebenfalls = M sein; ferner würde dieser Punkt auf der Strecke von — a^, ... — a„ nach &i, . . . hn liegen, von diesen Endpunkten aber verschieden sein. Also würde es auf der Fläche der Strahldistanz M vom Nullpunkte drei ver- schiedene Punkte in gerader Linie geben. Nach 18. ist Letzteres bei einer Oberall convexen Fläche aus- geschlossen. Wenn also zunächst die in Rede stehende Fläche diesen Charakter trägt, können auf ihr immer nur je zwei, in Bezug auf den Nullpunkt symmetrische Gitterpunkte dieselben Reste der Coordinaten modulo 2 ergeben, und da für diese Reste noch das eine System 0, ... 0 (mod 2) ausgeschlossen ist, also nur 2^—1 Systeme möglich sind, folgt daraus: Ein von einer überall convexen Fläche begrenzter Körper mit einem Mittelpunkt in einem Gitterpunkt und ohne weitere Gitterpunkte im Inneren enthält ' niemals mehr als 2^*+^ — 2 Gitterpunkte auf der Begrenzung. Allgemein würde aus den zuletzt angenommenen Congruenzen &! — a^ b — a noch Folgendes zu schliessen sein. Es müsste sowohl — - — , . . . " " wie — - — , . . . — 2 — J® einen Gitterpunkt auf der Fläche der Strahl- distanz M vom Nullpunkte vorstellen; durch jeden dieser Punkte würde sich dann mindestens eine Stützebene an diese Fläche con- struiren lassen, d. h. eine Ebene, welche diese Fläche nicTit durch- schneidet (vgl. 8.); eine solche Ebene durch den ersten Punkt müsste, weil derselbe ein von den Endpunkten verschiedener Punkt der Strecke von — «1, ... — ün nach h^y ... hn wäre, diese zwei Punkte enthalteu, und eine solche Ebene durch den zweiten Punkt müsste aus dem ent- sprechenden Grunde die Punkte öfj, ... a„ und h^y ... &„ enthalten. Nun kann eine Stützebene an jene Fläche nicht den Nullpunkt, und also auch nicht «^ , ... a„ und — a^, . . . — a„ zugleich enthalten. Also würden durch &i, ... &„ mindestens zwei verschiedene Stütz- ebenen an jene Fläche möglich sein. Daraus ergiebt sich die später anzuwendende Folgerung: Ist durch einen Gitterpunkt h^, ... 6„ auf der Fläche der Strahldistanz 31 vom Nullpunkte nur eine einzige Stützebene an diese Fläche möglich, so giebt es auf dieser Fläche ausser diesem Punkte und dem Punkte — h^, ... — h» keinen weiteren Gitterpunkt mit den nämlichen Resten der Coordinaten modulo 2 wie dieser Punkt. Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 81 32. Stufen grössten Volumens. Es diene wieder irgend ein nirgends concaver Körper mit einem Mittelpunkt im Nullpunkt als Aichkörper von Strahldistanzen S((ih)y es sei J das Volumen dieses Körpers und M die kleinste Strahl- distanz im Zahlengitter; dann gilt nach 30. die Ungleichung (1) M^J£2\ Es soll nun untersucht werden, unter welchen Umständen in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen statthat, also wann Stufen im Zahlengitter das grösste für sie mögliche Volumen, ein Volumen = 1, besitzen. Derartige Stufen sollen Stufen grössten Volumens heissen; es kommen ihnen eine Reihe von ausgezeichneten Eigenschaften zu, die kennen zu lernen von grossem Interesse ist. Zunächst kann ge- zeigt werden: In der Ungleichung (1) hat dann und nur dann das Gleichheitszeichen statt, wenn die Körper der Strahl- M distanzen ^ — - von den einzelnen Gitterpunkten, also die Stufen im Zahlengitter, jeden beliebigen Punkt x^, ... Xn in sich auf- nehmen, die Mannigfaltigkeit der Xi,,..Xn sozusagen lückenlos über- decken. I. Um dieses nachzuweisen, bedarf es vor Allem eines Kriteriums, aus dem das Eintreten der zuletzt genannten Erscheinung ersehen werden kann. Jedem beliebigen Punkt j nun kommt eine bestimmte kleinste Strahldistanz von den Punkten des Zahlengitters zu, d. h. ein Minimum der Werthe S{ll), während ( die sämmtlichen Gitterpunkte durchläuft. Denn stellt man sich die Würfel von der Kante 1 mit den einzelnen Gitterpunkten 'als Mittelpunkten vor, so nimmt dieses Netz von Würfeln jeden beliebigen Punkt J in sich auf, d. h. jeder Punkt j gehört mindestens einem dieser Würfel zu. Vom Mittelpunkte eines solchen, 5 enthaltenden Würfels nach 5 ist dann die Spanne <, ^ , die Strahldistanz also < -jr G^. Danach giebt es immer mindestens einen Gitterpunkt, von dem nach j die Strahldistanz ^ -^ Cr ist; dieser Be- dingung aber genügen gewiss nur diejenigen Gitterpunkte, von welchen nach j die Spanne < — ist, also nur eine endliche Anzahl von Gitter- punkten, und das Minimum unter den Strahldistanzen von allen diesen Gitterpunkten nach j ist dann die kleinstmögliche Strahldistanz vom Zahlengitter nach j; dieses Minimum heisse 0 sein, je nachdem j selbst ein Gitterpunkt ist oder nicht- Minkowski, Geometrie der Zahlen. 6 82 Drittes Kapitel. Diese Function q)(jc) nun stellt eine stetige Function der Coordi- naten von j vor. Denn bedeutet t) einen zweiten Punkt, so ist die Strahldistanz nach t) von einem solchen Gitterpunkte, von dem sie nach j gleich 9>(j) ist, jedenfalls ^ g?(£) + S(jct))f ergiebt sich also: und danach liegt abs {(p{tj) — 9(£)) unter einer irgendwie angenom- menen positiven Grösse (?, so lange die Spanne von j nach ^ kleiner als £ = 7^ ist- Diese Function 9(5) hat ferner für Punkte, bei welchen die ent- sprechenden Coordinaten sich durchweg um ganze Zahlen unterscheiden, immer denselben Werth, und nimmt danach alle für sie überhaupt möglichen Werthe bereits in dem Würfel mit dem Nullpunkt 0 als Mittelpunkt und von der Kante 1 an. Da nun dieser Würfel eine ab- geschlossene Punktmenge ist, existirt daher nach 22. in ihm mindestens ein solcher Punkt :p, für welchen der Werth von g)(j) nicht kleiner ausfällt als in jedem anderen Punkte dieses Würfels, und also über- haupt nicht kleiner als für irgend einen Punkt j. Es sei dann — M der Werth von (p{p\ so ist — M der grösste Betrag, den die kleinste Strahldistanz vom Zahlengitter für irgend einen Punkt anzunehmen im Stande ist. Es wird jedenfalls — M > - Jf sein: denn ist je ein be- M liebiger Punkt, für den )S^(jo) = — gilt, so muss nach der Bedeutung von M von jedem anderen Gitterpunkte als 0 nach g die Strahldistanz M >~ sein, und da ausserdem wechselseitige Strahldistanzen voraus- m 2 einen solchen Punkt j immer qp(]c) == — - sein. Es leuchtet nun ein: Wenn - M sich =-M erweist, ist jeder einzige Punkt j in min- destens einer der um die Gitterpunkte vorausgesetzten Stufen enthalten, wenn dagegen - M > - Jf ausfällt, ist gewiss der Punkt p ein äus- serer Punkt für jede dieser Stufen ohne Ausna,hme. Nun werde zuvörderst der Fall M = iHf in Betracht gezogen. Die Stufen, die Körper der Strahldistanzen < -- von den einzelnen Gitter- — ^ punkten, überdecken dann die Mannigfaltigkeit der x^, ... Xn lückenlos; jede Stufe enthält nun, indem M<— ist (vgl. 30.), gewiss nur solche gesetzt sind, ist zugleich S(0£) = 5(jo) = ^ , und wird danach für Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 83 Punkte, die vom Gitterpunkte der Stufe eine Spanne ^ — haben. Es bedeute nun ß irgend eine solche positive gerade ganze Zahl, dass o f^ ¥ ^ 2wfl' ^^*' ^^^ °^^° betrachte wie in 30. ausschliesslich die Stufen um diejenigen Gitterpunkte, welche eine Spanne ^ - vom Nullpunkte haben; die Anzahl dieser Gitterpunkte beträgt [fl -\- 1)'». Die Stufen um diese Gitterpunkte sind dann sicherlich die einzigen Stufen, in o (^ welchen Punkte eine Spanne < ^ — ^ — vom Nullpunkte haben können, ü i fi g *• ' O f^ und wird daher der Körper der Spannen < — vom Nullpunkte ganz in diesen (Sl + 1)" Stufen enthalten sein müssen. Jede der- selben hat ein Volumen {—) J", unter J das Volumen der Aichkörpers der Strahldistanzen verstanden, und ergiebt sich danach aus 26. III. : Indem nun hierin alle Grössen bis auf ß bestimmte Werthe vorstellen, lÄ aber grösser als ein beliebiger Betrag festgesetzt werden kann, widerspricht diese Ungleichung jeder Annahme, die nicht auf hinausläuft, und hat so diese andere Ungleichung zur Folge. Daraus sieht man nun zunächst, da auch die Ungleichung M"J^ 2" besteht, dass in letzterer Ungleichung das Gleichheitszeichen dann sicher gilt, wenn -M,das Maximum, welches die kleinste Strahldistanz vom Zahlen- gitter für einen Punkt zu erreichen vermag, sich = — M erweist. Ist zweitens — M > — 31, so lässt sich dagegen immer ein be- stimmter positiver Betrag anweisen, um den mindestens M''J kleiner als 2" sein muss. Denn es bedeute, — M > — 3/ vorausgesetzt, wie oben p einen solchen Punkt mit einer Spanne ^ -^ von 0, für den die kleinste Strahldistanz vom Zahlengitter sich = -^ M herausstellt Con- struirt man für p und für alle Punkte, welche als relative Coordinaten in Bezug auf p lauter ganze Zahlen haben, die Körper der Strahl- distanzen < -^ ^ nach diesen einzelnen Punkten, unter N irgend eine feste positive Grösse ^ M — M verstanden, so werden diese Körper niemals innere Punkte mit den Stufen um die Gitterpunkte gemein haben. Wie ferner die letzteren Körper, die Stufen, unter einander 84 Drittes Kapitel. in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind, so werden auch die soeben construirten Körper noch unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sein, wenn man JV^Jf wählt; denn die Punkte, welche als relative Coordinateu in Bezug auf :p lauter ganze Zahlen haben, bieten unter einander offenbar genau dieselben Strahldistanzen dar wie die Gitterpunkte unter einander. Den beiden genannten Bedingungen für N wird man nun gerecht und wählt dabei zugleich N möglichst gross, indem man N = M — M festsetzt, falls h\ — M iif ist; in jedem Falle hat dann N einen bestimmten positiven Werth, und sind dabei die Körper aus den zwei definirten Reihen, alle zusammengenommen, unter einander in ihren inneren Bunkten durchweg verschieden. Nun werde jeder einzelnen Stufe um einen Gitterpunkt derjenige Körper aus der zweiten Reihe von Körpern zugeordnet, dessen Mittiel- punkt in Bezug auf den Gitterpunkt dieselben relativen Coordinaten hat wie p in Bezug auf 0. Indem die Spanne von 0 nach ^ <^ ^ und N-^M^— ist, wird jedes solche System, bestehend aus einer Stufe und dem ihr zugeordneten Körper, dann von dem Mittelpunkte der Stufe in allen Punkten eine Spanne < ^r + ^ — haben. Werden nun allein diejenigen dieser Systeme betrachtet, die sich auf Gitterpunkte mit einer Spanne ^ — vom Nullpunkte beziehen, unter ß irgend eine positive gerade ganze Zahl verstanden, so werden alle diese Systeme daher vollständig in dem Körper der Spannen :^ q- + ö" + ö — ^^^ Nullpunkte enthalten sein. Die Anzahl der hier herausgehobenen Gitterpunkte ist (ß + 1)", und von den je zwei Körpern in einem ein- zelnen Systeme hat regelmässig der eine ein Volumen \--\ J, der andere ein Volumen ir^jJ' Nach 26. IL ergiebt sich daraus die Ungleichung: Indem hier nun wieder alle Grössen bis auf Sl bestimmte Werthe haben, Sl aber grösser als ein beliebiger Werth festgesetzt werden kann, würde diese Ungleichung jeder Annahme, welche der Ungleichung 2« ^ M^J + N^J entgegen wäre, von einer gewissen Grösse der Zahl Sl an widersprechen, und sie gipfelt so in dieser anderen Ungleichung. Nun ist hier N eine wesentlich positive Grösse. Diese Ungleichung zeigt also, dass in dem jetzt betrachteten Falle M^J mindestens um den positiven Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 85 Betrag iV« J" kleiner als 2" ist, und ergiebt so als eine nothwendige Bedingung für Stufen grössten Volumens, was durch die vorige Be- trachtung bereits als hinreichendes Merkmal für Stufen dieser Art er- kannt worden ist, nämlich dass aus solchen Stufen die Mannigfaltig- keit der x^j . . . Ä?n sich lückenlos aufbaut. IL Es seien nun irgend welche Stufen im Zahlengitter vom Volumen 1 gegeben, und wie in 31. bedeute Ä die Anzahl der einer einzelnen Stufe benachbarten Stufen. Stellt l^, ... Z„ irgend ein System von n ganzen Zahlen vor, die nicht ^0, ... 0 (mod 2) sind, so ist der Punkt mit den Coordinaten — , ... ^ ^®^^ Gitterpunkt, und es kann nach der Bedeutung von Stufen im Zahlengitter dieser Punkt auch niemals im Innern einer Stufe liegen; denn läge dieser Punkt etwa im Innern der Stufe um einen Gitterpunkt m^ , ... m», so müsste dieser Punkt dann als Mittelpunkt der Strecke vom Gitterpunkt w^, ... m„ nach dem Gitterpunkt l^ — w^ , . . .l„ — w„ sich auch im Innern der Stufe um diesen letzteren Gitterpunkt befinden, und hätten danach zwei verschiedene Stufen einen inneren Punkt gemein, was nicht der Fall sein kann. Stufen grössten Volumens nehmen aber, wie gezeigt ist, jeden einzigen Punkt in sich auf, und wird daher ein solcher Punkt h K — , ... — , für den Z^, ... Z„ ganze Zahlen, aber nicht sämmtlich gerade sind, da er bei keiner Stufe im Innern liegen kann, immer bei mindestens einer Stufe der Begrenzung angehören müssen; es sei dieses für den fraglichen Punkt der Fall in Bezug auf die Stufe um den Gitterpunkt mj , ... m„ ; dann wird der Punkt mit den Coordinaten \ l - — Wj , . . . -^ — rrin der Begrenzung der Stufe um den Nullpunkt angehören, und danach die Stisfe um den Gitterpunkt l^ — 2m^^,,. In — 2m„ der Stufe um den Nullpunkt benachbart sein; das gleiche wird dann auch von der Stufe um den Gitterpunkt — Zj + 2mi, ...— Z„ -f- 2m„ gelten. Die Coordinaten dieser zwei Gitterpunkte sind nun ^ Z^ , . . . Z„ (mod 2); es ergiebt sich in dieser Weise, dass unter den Coordinaten der Gitterpunkte in den Stufen, die der Stufe um den Nullpunkt be- nachbart sind, sich jedes beliebige Restsystem Z^, ... In (mod 2), das von 0 , ... 0 (mod 2) verschieden ist , mindestens zweimal einstellt, und daraus folgt dann: ^^2'»+! - 2. Wenn ein nirgends concaver Körper mit einem Mittel- punkt in einem Gitterpunkt und ohne weitere Gitterpunkte im Inneren ein Volumen = 2" besitzt, so liegen immer min- destens 2«+^ —2 Gitterpunkte auf der Begrenzung des Körpers. 86 Drittes Kapitel. 33. Weiteres über den lückenlosen Aufbau von Stufen grössten Volumens. Das im Vorstehenden entwickelte Kriterium bezüglich des lücken- losen Aufbaus von Stufen grössten Volumens kann durch ein Kri- terium über die Begrenzung derartiger Stufen ersetzt werden. Es seien wieder beliebige, zugleich einhellige wie wechselseitige Strahldistanzen S{a'b) gegeben und es mögen für sie J und M die bisherige Bedeutung haben; ferner bedeute wieder — M das Maximum, das die kleinste Strahldistanz vom Zahlengitter nach einem un- bestimmten Punkte zu erreichen vermag. Es hatte sich M^M herausgestellt, und es gilt nach 32. in der Ungleichung ilf'*J^2" das Zeichen < oder = , je nachdem M > ilf oder M = ikf ist. Diese zwei Fälle nun können noch in einer anderen Weise unterschieden werden. Es bedeute K die Stufe um den Nullpunkt; die Begrenzung von K ist die Fläche der Strahldistanz - M vom Nullpunkte. Jeder Punkt j dieser Fläche besitzt von denjenigen Gitterpunkten, von welchen die Strahldistanz nach dem Nullpunkte M beträgt, eine Strahldistanz ^ — My und durch eine analoge Betrachtung, wie sie in 32. angestellt wurde, folgt dann, dass für jeden solchen Punkt { auch eine bestimmte kleinste Grösse unter den Strahldistanzen nach j von allen Gitterpunkten mit Ausschluss des Nullpunkts existirt. Diese Grösse heisse ^(j); nach der Bedeutung von M muss sie immer ^ y sein. Aus ähnlichen Gründen, wie sie für die Function g)(i) in 32. vorlagen, stellt sich auch diese Function ^(j) als eine stetige Function der Coordinaten von 5 heraus. Nun ist die Fläche der Strahldistanz — vom Null- punkte eine abgeschlossene Punktmenge und ganz enthalten in dem Würfel von der Kante — mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Also existirt nach 22. auf dieser Fläche mindestens ein solcher Punkt r, in welchem t(jO ^^^^^ kleiner ausfällt als in jedem anderen Punkte dieser Fläche, der Werth dieser Function in r heisse — R. Es ist dann jedenfalls R'^M. Es soll nun gezeigt werden, dass die Be- ziehung M = If mit R = ilf und die Beziehung M > ilf mit U> M identisch ist. Zu diesem Ende wird man darzathun haben, dass einer- seits R > ilf nothwendig M > ilf und andererseits M > ilf nothwendig R > ilf nach sich zieht. Danach wird dann für Stufen grössten Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 87 Volumens nothwendig und hinreichend sein, dass bei ihnen die Punkte der Begrenzungen durchgehends mindestens zwei Stufen zugleich angehören, eine Auffassung des lückenlosen Auf- baus solcher Stufen, die zur wirklichen Bestimmung derselben leichter hinführt als das für sie in 32. entwickelte Kriterium. Ist U> Mf so hat derjenige Punkt in der Richtung or von o über r hinaus, der von r eine Strahldistanz = — ^ — besitzt, von o eine Strahldistanz == — -| — = — ^t — un^ von jedem anderen Gitterpunkte eine Strahldistanz mindestens =- ^ — = — — — ; danach erweist sich für diesen Punkt j die kleinste Strahldistanz von allen Gitterpunkten, der Werth von 9)(j), = — ^ — > — , und ist so- mit in der That auch N\> M. Schwieriger ist der Nachweis, dass aus N\> M nothwendig R > M hervorgeht. Die Annahme M > ütf besagt, dass die gegebenen Stufen die Mannigfaltigkeit der x^, . . . x» nicht vollständig erfüllen. Es lässt sich dann, wie jetzt zunächst gezeigt werden soll, immer auch ein solches, diese Mannigfaltigkeit ebenfalls nicht vollständig erfüllendes System von Stufen im Zahlengitter construiren, in welchem eine jede Stufe ihre Begrenzung in einer endlichen Anzahl von Ebenen liegen hat und dabei jedesmal die gegebene Stufe um den nämlichen Gitter- punkt ganz enthält. Es giebt offenbar Gitterpunkte mit einer Strahldistanz = 2M vom Nullpunkte, und die Anzahl aller vorhandenen Gitterpunkte mit einer Strahldistanz > M und ^2M vom Nullpunkte ist endlich; denn 231 2G für solche Punkte muss die Spanne vom Nullpunkte ^ — — ^ ^^^^' Aus allen Strahldistanzen vom Nullpunkte nach dieser endlichen An- zahl von Gitt^rpuukten lässt sich dann die nach M nächstgrössere Strahldistanz, die von einem Gitterpunkte nach anderen Gitterpunkten möglich ist, entnehmen. Diese Strahldistanz heisse M(l + -9-); es ist dann O* eine bestimmte positive Grösse und zwar ^ 1. Es möge ferner das System «j, ... a„ nach Belieben einen der Gitterpunkte mit der Strahldistanz M vom Nullpunkte bedeuten*^ die Anzahl dieser Gitterpunkte werde wieder mit Ä bezeichnet. Allen Punkten mit Coor- dinaten ^ , • • • ^ , wobei l^, ... l» ganze Zahlen sind, dieses System jedoch von 0 , ... 0 und von jedem der Ä Systeme a^, ... «„ ver- schieden ist, kommen dann Strahldistanzen ^^ ^^ + ^) ^^^ N^^^" punkte zu. 88 Drittes Kapitel. Nun werde eine positive ganze Zahl il so gross angenommen, dass Y (l + -^) < Y und gleichzeitig ^ f (1 + ^) ist. Nach 15. lässt sich zu iß in gewisser Weise ein solcher nirgends concaver Körper Qj^ construiren, der erstens seine Begrenzung ganz in einer endlichen Anzahl von Stützebenen liegen hat, zweitens die Stufe K, M den Körper der Strahldistanzen ^ y vom Nullpunkte, ganz enthält, drittens selbst ganz in dem Körper der Strahldistanzen < y ( 1 H — ^ ) vom Nullpunkte enthalten ist. Nach der in 15. zur Bildung eines solchen Körpers angegebenen Methode wird, indem K den Nullpunkt als Mittelpunkt hat, auch öi ^^ Bezug auf den Nullpunkt zu sich selbst symmetrisch gerathen (vgl. die letzte Bemerkung in 15). Die Ä Punkte, welche unbestimmt mit — , • • • -^ bezeichnet sind, gehören der Begrenzung von K an; durch jeden dieser Ä Punkte kann deshalb mindestens eine Stützebene an K construirt werden. Indem der Körper K und ebenso die Menge dieser Ä Punkte den Nullpunkt als Mittelpunkt haben, wird es auch möglich sein, Stützebenen an K durch diese Ä Punkte so zu legen, dass sie für je zwei, in Bezug auf den Nullpunkt symmetrische dieser Punkte ebenfalls symmetrisch in Bezug auf den Nullpunkt, d. h. also eic ander parallel werden. Ver- bindet man alsdann mit solchen Ä Ebenen durch diese Ä Punkte — es brauchen diese Ebenen übrigens nicht durchweg verschieden zu sein — die sämmtlichen, zur Begrenzung von Q^ wesentlichen Stützebenen an Qi (vgl. 15.), so gehen alle diese Ebenen nicht durch den Null- punkt, und giebt es in jeder Richtung vom Nullpunkte mindestens einen Punkt und immer nur eine endliche Anzahl von Punkten in allen diesen Ebenen und darunter dann jedesmal einen ganz bestimm- ten Punkt mit kleinster Spanne vom Nullpunkte. Die Menge aller in dieser Art bestimmten Punkte in allen möglichen Richtungen vom Nullpunkte aus besitzt dann unter den sämmtlichen in Rede stehen- den Ebenen mindestens eine Stützebene durch jeden ihrer Punkte, und es stellt so diese Menge von Punkten wieder eine solche nirgends concave Fläche um den Nullpunkt vor, die vollständig in einer end- lichen Anzahl ihrer Stützebenen enthalten ist. Ihrer Entstehung aus Qi und K entsprechend hat diese Fläche auch wieder den Nullpunkt als Mittelpunkt. Es liegt ferner kein Punkt dieser Fläche im Innern von K, und kein Punkt von ihr ist ein äusserer Punkt von Q^', die a^ a Ä Punkte Y > ' ' ' Y ^^®^ liegen auf dieser Fläche selbst. Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 89 Der von dieser Fläche nunmehr umscblossene nirgends concave Körper (vgl. 17.) werde mit K^ bezeichnet. Dann ist also die Be- grenzung von K^ vollständig in einer endlichen Anzahl von Stötzebenen an K^ enthalten; es enthält der Körper K^ die Stufe K und ist selbst ganz in Q^ enthalten; endlich liegt kein Punkt mit Coordinaten Y»*** Y> wenn darin ?i, ... Z„ ganze, aber nicht sämmtlich ver- schwindende Zahlen sind, im Innern von K^, Der Körper K^ ist danach wieder zu einer Stufe um den Nullpunkt geeignet; und repro- ducirt man um alle einzelnen Gitterpunkte den Körper K^ um den Nullpunkt (s. 7.), so geht ein System von Stufen im Zahlengitter her- vor, das in der That die oben angegebenen Bedingungen erfüllt, näm- lich jede dieser neuen Stufen hat ihre Begrenzung ganz in einer end- lichen Anzahl von Stützebenen liegen und enthält immer die alte Stufe um denselben Gitterpunkt in sich. Es sei ferner |) ein solcher Punkt mit einer Spanne ^ ~ vom Nullpunkte, für den die kleinste Strahl- distanz von den Gitterpunkten = — ausfällt, ein Punkt, wie er nach dem oben Ausgeführten gewiss existirt. Da wegen der Bedingung y (l H ö) *^ Y ^i® Punkte in den neuen Stufen immer eine Strahl- M distanz < — vom Gitterpunkte der Stufe haben, wird dann ein solcher Punkt p auch noch ausserhalb jeder der neuen Stufen liegen, werden diese also ebenfalls nicht jeden Punkt in sich aufnehmen. Auf Grund der Priucipien aus 12. kann jetzt nachgewiesen werden, dass auf den Begrenzungen der neuen Stufen Punkte existiren, die nur einer einzigen solchen Stufe angehören. Es sollte der Punkt p eine Spanne ^ — vom Nullpunkte o haben; p liegt ausserhalb jeder der neuen Stufen; o hingegen liegt im Innern einer solchen Stufe, und das Gleiche wird von allen möglichen Punkten q mit einer Spanne < ryf von 0 gelten, indem diese Punkte sicher eine Strahldistanz < Y von 0 haben und g — , also ist hier in der That R > il[f . Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 91 34. Ebene Begrenzting bei den Stufen grössten Volumens. Es soll jetzt Dachgewiesen werden, was durch die letzten Be- trachtungen bereits nahegelegt ist, dass Stufen grössten Volumens immer ihre Begrenzung vollständig in einer endlichen Anzahl von Stützebenen liegen haben. I. Man denke sich zunächst irgend welche, einhellige und wechsel- seitige Strahldistauzen S(a\)). Es bedeute wie vorhin M die kleinste Strahldistanz im Zahlengitter, Ä die Anzahl der Gitterpunkte mit der Strahldistanz ikf vom Nullpunkte, a^, ... a„ nach Belieben einen dieser Ä Punkte, ferner K den Korper der Strahldistanzen < — vom Null- punkte, endlich M{\ + 0-) die nach M nächstgrössere Strahldistanz im Zahlengitter, sodass also d- eine bestimmte positive Grösse vorstellt. aj a Wie in 33. werde an K durch jeden der Ä Punkte v > * ' * ir auf der Begrenzung von K je eine Stützebene construirt, und zwar wieder so, dass für je zwei von diesen Punkten, die zu einander sym^ metrisch in Bezug auf den Nullpunkt sind, diese Stützebenen sich ebenfalls zu einander symmetrisch in Bezug auf den Nullpunkt dar- stellen. Solchen Ä Ebenen (die nicht durchweg verschieden zu sein brauchen) werde jetzt die Fläche der Strahldistanz y (^ + '^) ^^^ Nullpunkt zugesellt; diese Fläche ist nirgends concav und lässt also durch jeden ihrer Punkte mindestens eine Stützebene zu, in der dann M alle Punkte eine Strahldistanz ^ v (^ + '^) ^^m Nullpunkte haben. Alle Stützebenen dieser Fläche und ebenso die vorhin construirten A Ebenen enthalten den Nullpunkt nicht. In jeder Richtung vom Nullpunkte aus giebt es dann immer einen Punkt in der zuletzt ge- nannten Fläche und niemals mehr als einen Punkt in einer einzelnen von jenen Ä Ebenen, und danach immer einen ganz bestimmten Punkt, welcher der Vereinigung aus jener Fläche und jenen Ä Ebenen an- gehört und dessen Spanne vom Nullpunkte für diesen Umstand die kleinstmögliche ist. Die Menge aller in dieser Art bestimmten Punkte in allen möglichen Richtungen vom Nullpunkte besitzt dann in den sämmtlichen Stützebenen jener Fläche und in jenen Ä besonderen Ebenen mindestens eine Stützebene durch jeden ihrer Punkte, und es stellt so diese Punktmenge nach 17. wieder eine nirgends concave 92 Drittes Kapitel. Fläche vor und offenbar wieder mit dem Nullpunkte als Mittelpunkt. Der von dieser Fläche umschlossene nirgends concave Körper möge L heissen. Die Punkte der Begrenzung von L haben nun sämmtlich eine M Strahldistanz > — vom Nullpunkte, sodass der Körper L die Stufe K ganz enthält. Die A Punkte -«"'*** T ^^^ ^^^ Begrenzung von K gehören auch zur Begrenzung von X; indem ferner alle Punkte auf M der Begrenzung von L eine Strahldistanz ^ y(^ +'^) vom Nullpunkte haben, liegt kein Punkt mit Coordinaten — , • • • -^ , worin Z^ , ... ?„ ganze Zahlen sind, ausser dem Nullpunkte im Innern von X, und trägt auf solche Art der Körper L, ebenso wie iC, den Charakter einer Stufe um den Nullpunkt und muss daher ebenfalls noch ein Volumen ^ 1 besitzen. Nun kann gezeigt werden, dass das Volumen von L wesentlich grösser als das von K sein muss, wofern L und K sich nicht als iden- tisch erweisen. Für jeden Punkt 5 auf der Begrenzung von L hat man ^(o j) ^ y "^^ ^■ö'(^'^"'^) = "~' "^^^ stellt die Begrenzung von L eine abgeschlossene Punktmenge vor (vgl. 11.), und sie ist ganz in dem Würfel mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und von der 2G Kante — enthalten; dazu ist /S'(oj) eine stetige Function der Coor- dinaten on 5. Also existirt nach 22. auf der Begrenzung von L mindestens ein solcher Punkt 1^, für welchen die Strahldistanz vom Nullpunkte nicht kleiner ausfällt als für jeden anderen Punkt auf M dieser Begrenzung, und es sei dann — - (1 + A) der Werth von ä'(o'^), sodass 0 -^X ^d' sein wird. Es leuchtet nun ein, dass K und L identisch oder nicht identisch sein werden, je nachdem sich A = 0 oder > 0 herausstellt. Im letzteren Falle A> 0 wird die Strecke olj mit der Begrenzung von K einen, von f| verschiedenen Punkt c gemein haben. Für einen Augenblick mögen mit T(ab) diejenigen Strahldistanzen bezeichnet M werden, für welche L den Körper der Strahldistanzen ^ - vom Null- punkte darstellt. Für den Punkt e hat man dann S(oe) = f, r(oe) = ^-^-^-,^, und es wird, indem diese Strahldistanzen T{ah) einhellig sind, noch Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 93 der Körper ^(^?) ^ gTTT"^ vollständig in dem Körper ^(oj)^^» d. i. in Lj enthalten sein. Nun kann durch e eine Stützebene an den M Körper' ^(oj)^-^, d.i. an K^ gelegt werden. Eine solche Ebene lässt aus dem Körper T{ti) ^ , . zwei abgeschlossene, zu ein- ander in Bezug auf e symmetrische Bereiche entstehen, von denen dann jeder ein Volumen gleich dem halben Volumen dieses Körpers besitzt. Es geht letzteres aus den Betrachtungen in 26. I, II, III mit Benutzung des leicht zu erweisenden ümstandes hervor, dass eine, ganz in einer Ebene gelegene und dazu ganz in einem Würfel von endlicher Kante enthaltene Punktmenge immer ein Volumen gleich Null besitzt. Die durch e an JS" gelegte Stützebene trennt nun o von Punkten in einem der zwei in Rede stehenden Bereiche, und dieser Bereich ist dann in öeinen inneren Punkten durchweg von K ver- schieden; dasselbe gilt dann noch von dem, zu diesem Bereiche in Bezug auf o symmetrischen Bereiche, der ebenfalls ganz in L ent- halten und zugleich von dem ersteren Bereiche völlig verschieden sein wird. Danach enthält L den Körper K und dazu zwei Bereiche je MX vom halben Volumen des Körpers T{ti) ^ » /^ t iw ^^^ ^H® diese drei Bereiche sind in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Wegen 26. IL muss danach das Volumen von L mindestens um den (— T— t) -ten Theil seiner selbst das Volumen von K übersteigen. II. Soll nun K eine Stufe von grösstem Volumen, also vom Vo- lumen 1, vorstellen, so kann das Volumen von i, da es ebenfalls noch < 1 ist, nicht grösser als das Volumen von K sein , also muss dann A = 0 und müssen also L und K identisch sein. Dann trägt aber, indem -9^ > 0 ist, zur Begrenzung von L keinen Punkt die Fläche S{pi) = —{1 -\- d) bei, muss also diese Begrenzung, und das ist jetzt zugleich diejenige von K selbst, immer vollständig aufgenommen werden Ol a^ von beliebigen solchen Stützebenen an K durch die A Punkte y, • • • -- , welche eine Configuration von Ebenen mit dem Nullpunkte als Mittel- punkt bilden, jedenfalls also von höchstens A verschiedenen Ebenen. Unter solchen Ebenen sollen nunmehr die für die Begrenzung von K unumgänglich nothwendigen Ebenen herausgesucht werden, d. h. diejenigen, welche in jedem Falle auftreten müssen, wenn Stützebenen an K durch sämmtliche Punkte der Begrenzung von K gefordert werden. Es wird sich dann herausstellen, dass diese zur Begrenzung 94 Drittes Kapitel. von K unentbehrlichen Ebenen schon für sich allein Stützebenen durch sämmtliche Punkte dieser Begrenzung darstellen. Es mögen die Gleichungen der wesentlich verschiedenen unter den in I. zunächst construirt gedachten A Ebenen 1^ = 0, Ig = ^? • • • geschrieben werden, und zwar in solcher Form, dass die linken Seiten dieser Gleichungen für den Nullpunkt sämmtlich positiv ausfallen und ferner für je zwei, in Bezug auf den Nullpunkt symmetrische der Ebenen immer gleiche constante Terme enthalten, also dann in einander durch Verwandlung von x^j , . , Xn in — rr^ , . . . — Xn übergehen. Bewiesen ist im Vorhergehenden, dass der Körper K identisch sein muss mit dem durch die Ungleichungen i, ^ 0, I2 ^ 0, . . . definirten Bereiche. Es wird gefragt, wenn man K nun auf irgend eine andere Weise durch derartige Ungleichungen in endlicher Anzahl definirt, welche von den letzten Ungleichungen müssen dabei immer wieder auftreten. Man betrachte der Reihe nach jeden einzelnen der A Punkte y, • • Y auf der Begrenzung von K, für welche a^, ... a„ lauter ganze Zahlen sind. Es sei zunächst b unter diesen Punkten ein solcher, für den nur ein einziger von den Ausdrücken l^ , I2 > • • • Null ist, die übrigen also sämmtlich > 0 sind; der betreffende Ausdruck heisse Ä*. Dann ist die Ebene S = 0 die einzige Stützebene an K durch den Punkt b und kann infolge dessen bei einer Bestimmung von K in der angegebenen Weise niemals entbehrt werden; denn bedeutet s das Minimum unter den kleinsten Spannen von b nach den von /^ = 0 verschiedenen der Ebenen J^ = 0, ^^ = 0, . . ., so gehören noch alle Punkte mit einer Spanne <^ e von b in der Ebene S = 0 zu Z, und die Menge dieser Punkte würde durch jede, von S = 0 verschiedene Ebene durchschnitten werden. Zweitens sei b unter jenen A Punkten ein solcher, falls unter ihnen derartige Punkte überhaupt auftreten, für den mehrere der Aus- drücke Ji, J2, ••• Null seien; die betreffenden Ausdrücke mögen J', g", ... heissen. Dann wird jedesmal r=r + r + --v gleichfalls ein Ausdruck sein, der für alle Punkte von K sich ^ 0 und für den Punkt b sich =0 erweist, und wird also T == 0 eben- falls eine Stützebene durch b slu K vorstellen. Wird nun so für jeden unter jenen A Punkten -^ > ' ' ' y , der Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 95 von der zuerst genannten Art ist, der Ausdruck ^, und für jeden unter jenen Punkten, der von der zweiten Art ist, der Ausdruck T bestimmt, so stellen die sämmtlichen, dadurch in Betracht kommenden Gleichungen Ä* = 0 und T* = 0 (die durch Indices unterschieden werden mögen), wieder Stützebenen an K durch alle jene Ä Punkte dar, und zwar wird nach der Bestimmung, die am Anfange über die Ausdrücke 5i? ^2? • • • getroffen ist, die Configuration aller dieser Ebenen wieder, wie die jener Ä Punkte, den Nullpunkt als Mittelpunkt haben. Dem oben Bewiesenen zufolge muss dann durch (1) S.^O, Sä^O, ...; n^O, Tj^O,... wieder der Körper K dargestellt sein. Es lässt sich nun zeigen, dass der in dieser Weise definirte Bereich identisch sein muss mit dem durch (2) Sx^O, S,>0,... bestimmten Bereiche, womit zugleich gesagt ist, dass es Punkte b von der zuerst genannten Art, also die auf Formen ^ führen, immer geben muss, indem anderenfalls unter letzterem Bereiche die Menge aller möglichen Punkte zu verstehen wäre. Zunächst enthält sicherlich der Bereich (2) den Bereich (1). Nun sei p irgend ein nicht zum Bereiche (1) gehörender Punkt. Der Nullpunkt 0 ist ein innerer Punkt des Bereichs (1), d. i. von K-^ nach 12. 11 wird man dann in diesem Bereiche auch einen solchen inneren Punkt q finden können, dass auf der Strecke pq, vom Punkte p abgesehen, in keinem Punkte zwei der Ausdrücke Sj, Ig? • • • gleich- zeitig verschwinden. Wird dann auf dieser Strecke, die von einem äusseren Punkte des Bereichs (1) nach einem inneren Punkte dieses Bereichs, eines nirgends concaven Körpers, führt, derjenige Punkt r aufgesucht, welcher der Begrenzung dieses Körpers angehört, so kann in r keine der Gleichungen T = 0 gelten, indem für r alle Ausdrücke Si, ^2, •• • ^0 sein müssen und nicht zwei dieser Ausdrücke zugleich Null sein können. Also muss für r nothwendig eine Gleichung Ä' = 0 gelten; für q als inneren Punkt von (1) ist dann aber das betreffende ^>0, und muss also für p die Ungleichung ^<0 gelten, also ge- hört p auch nicht zum Bereiche (2). Danach ist umgekehrt auch der Bereich (2) im Bereiche (1) enthalten, und sind also diese Bereiche in der That identisch. Zur Begrenzung der Stufe K von grösstem Volumen sind hiernach nothwendig und auch für sich allein schon hinreichend die Stützebenen an K durch diejenigen von den A Punkten y > • * • ^ auf der Be- grenzung von Z, durch welche nur je eine Stützebene an K möglich 96 Drittes Kapitel. ist. Nun wurde am Schlüsse von 31. bemerkt, dass, wenn «j, ... a« einen solchen Gitterpunkt mit der kleinstmöglichen Strahldistanz M vom Nullpunkte vorstellt, durch welchen nur eine Stützebene an den Körper der Strahldistanzen ^ Jf vom Nullpunkte möglich ist, dann ausser diesem Punkte und dem Gitterpunkte — %, ... — a„ kein weiterer Gitterpunkt auf der Begrenzung dieses Körpers Coordi- naten ^ a^, ... «„ (mod 2) haben kann. Danach sind auf der Be- a^ a grenzung von K höchstens 2'*+^ — 2 Punkte y, • •• ~ mit ganz- zahligen Werthen %, ... a„ denkbar, durch welche sich nur je eine Stützebene an K construiren lässt, und eine Stufe grössten Volumens hat so ihre Begrenzung immer vpllständig in nicht mehr als 2"+^ — 2 Ebenen liegen. Dieser Satz kann auch folgendermassen ausgesprochen werden : Hat ein nirgends concaver Körper mit einem Mittelpunkt in einem Punkte des Zahlengit^ters und ohne weitere Gitter- punkte im Inneren ein Volumen = 2", so ist die Begrenzung des Körpers immer vollständig in nicht mehr als 2"+^ — 2 Stützebenen enthalten. Eine specielle Folgerung hieraus ist, dass ein Körper mit überall convexer Begrenzung und einem Mittelpunkt in einem Gitterpunkt bei einem Volumen = 2" stets noch weitere Gitterpunkte im Innern enthalten muss. 35. Aneinanderfügung der Wände in Stufen grössten Volumens. I. Es seien Stufen im Zahlen gitter vom Volumen 1 gegeben, und K bedeute die Stufe um den Nullpunkt. Nach 34. giebt es dann be- stimmte Stützebenen an K in endlicher Anzahl, welche die Begrenzung von K vollständig aufnehmen, und von welchen eine jede mindestens einen Punkt "ö"? ' * * Y ™^^ ganzzahligen Werthen a^, ...an enthält, der in keiner anderen dieser Ebenen vorkommt. Die Menge aller Punkte von K in einer dieser Ebenen möge, wie in 14., eine Wand von K genannt werden. Dafür, dass K thatsächlich ein Volumen = 1 be* sitzt, ist nach 33. nothwendig und hinreichend, dass jeder Punkt in den Wänden von K immer noch mindestens einer der mit K benach- barten Stufen angehört. Der besondere Charakter, den hiernach die Wände von K tragen müssen, lässt sich anschaulich beschreiben. Es seien = 0, Ä. = 0. . . . Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 97 die Gleichungen der Ebenen der verschiedenen Wände von Z, und zwar mögen diese Gleichungen in solcher Form vorausgesetzt werden, dass die constanten Glieder der linken Seiten durchweg den Werth — haben. Es wird K dann durch 2 (1) S.^0, Ä,^0,... dargestellt sein, und von diesen Ungleichungen kann keine zur Be- stimmung von K entbehrt werden; es giebt, wenn ^ einen beliebigen der Ausdrücke Ä^, Ä'2, . • • vorstellt, immer solche Punkte von K^ für welche von diesen Ausdrücken ganz allein IS Null ist und die übrigen alle positiv ausfallen. Dass K den Nullpunkt als Mittelpunkt hat, bewirkt, dass unter diesen Ausdrücken mit einem Ausdrucke ^ immer auch der Ausdruck — \S — Y/~^'Y'^ — <^+l auftritt, sodass also in K ein jeder Ausdruck S sowohl ^ 0 wie 2 ist, bemerkenswerthe Beziehungen unter den Ausdrücken ^j, Ä'g,..., welche die Wände von K bestimmen. Diese Ausdrücke waren so an- genommen, dass das constante Glied in ihnen immer = -r- ist. Es bedeute S einen beliebigen dieser Ausdrücke, so ergeben die in 12. t und 36. entwickelten Principien über lineare Ungleichungen, dass zu der Wand von K in der Ebene Ä = 0 unter den übrigen Wänden von K solche da sind, welche mit dieser Wand gewisse Punkte ge- mein haben, die keiner dritten Wand von K angehören. Von allen Wänden von K sind dann die hiermit bezeichneten allein wesentlich zur Bestimmung des Randes der Wand in S = 0; es seien H^jH.,,... diejenigen von den Ausdrücken ;^,,^o,..., welche diesen Wänden hier entsprechen; die Wand von ^ in ^ == 0 wird dann vollkommen definirt sein durch die Bedingungen (2) £/ = 0; if,-Ä>^0, i4-^>0,... Die Ausdrücke H^ — S, H^ — ^ hier sind homogen in .tj, . , . x^, und es können nicht zwei dieser Ausdrücke Vielfache von einander sein; denn bedeutet H einen beliebigen der Ausdrücke Hy, H.^, . . ., so giobt Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 99 es immer Punkte von K, für \^(elche Ä" und H, aber keiner sonst von den letzten Ausdrücken verschwindet. Für jeden solchen Punkt stellt die Ebene H — ,^ = 0 dann die einzige Ebene durch den Punkt und gleichzeitig durch den Nullpunkt vor, welche die Menge aller Punkte von K, für die Ä* = 0 und H = 0 ist, nicht durchschneidet. Man wird deshalb jedesmal, wenn man die Wand von K in a == 0 auf irgend eine Weise durch ein System von Bedingungen ^ = 0; n^o, r^^o, ... definirt findet, worin Tj, 2\, . . . eine endliche Anzahl von ganzen homogenen linearen Ausdrücken in x^y ... Xn sind, unter diesen Aus- drücken ein positives Vielfaches von jeder der Formen ifj — a, H.^ — 5*,... antreffen müssen. Nun soll gezeigt werden, dass zu jedem Ausdrucke H aus der .Reihe H^, H^, . . . immer ein ganz bestimmter zweiter Ausdruck aus dieser Reihe, Z, vorhanden ist, für welchen eine Beziehung (3) a{s-^) = ß{H-l) + r{z-l) besteht, worin a, ft y nicht sämmtlich Null sind. Zunächst leuchtet ein, dass zu einem gegebenen H jedenfalls nur ein anderer Ausdruck Z jener Reihe in einer derartigen Beziehung stehen kann. Denn zunächst wird dabei y von Null verschieden sein müssen, indem anderenfalls wegen der Punkte, für die man ^ = 0, if = 0 hat, aus (3) zuerst « = /i, und, da «, /3, y nicht sämmtlich Null sein sollen, weiter ^ = H folgen würde, was nicht sein kann. Desgleichen wird in einer solchen Beziehung (3) ß von Null verschie- den sein müssen; weiter wird ^ J^ ^> 0 sein müssen, da man der Bedeutung von i/^, H^y . . . zufolge Punkte von K haben wird, für die ^ = 0, H = 0, aber Z ^ 0 und also •> 0 ist, und desgleichen wird It~~ > ^ sein müssen; also werden ferner ß und y dasselbe Vor- zeichen haben müssen, und setzt man dann (3) in die Form so zeigt sich, dass - /g~ ^ ii^i^ ^em grössten Werthe identisch wird, den II in der Wand von Km ^S^ = 0 annimmt, und danach wird diese Grösse durch ^, H und den Körper K vollständig bestimmt sein. Aus der letzten Formel geht dann, indem nicht zwei der Aus- drücke //j — Ay H^ — ^y . . . Vielfache von einander sein können, in der That hervor, dass zu einem gegebenen H der Ausdruck Z nur 100 Drittes Kapitel. ein einziger sein kann. Weil der Körper K den Nullpunkt als Mittel- punkt hat, müssen noch, wie oben bemerkt, H und Z in K stets ^ 1 sein, danach wird in (3) noch o^/" " < 1 und ferner 7 ~ " < 1 sein müssen, woraus schliesslich noch, weil ß und y dasselbe Vorzeichen haben sollen, — ^ 0 heryorgeht. Dass nun wirklich zu jedem Ausdrucke H aus der Reihe H^^H^,,.. ein anderer Ausdruck Z dieser Reihe vorhanden ist, welcher zu H die angegebene Beziehung hat, schliesst man folgendermassen. Es durchlaufe b alle vorhandenen inwendigen Punkte der Wand von K in S= 0, für welche 2\> — 0 einen Gitterpunkt vorstellt. Die Werthe von ifj, Jög, . . . für b mögen jedesmal -^y ^^ ' ' ' Geissen; Tj, r2, . . . sind immer sämmtlich > 0. Die Deckung der Wand von jK" in S = 0 in Bezug auf einen Punkt b wird dann durch -> Hl + Ti + S - 2r, S ^ 0, - if, + r^ + S — 2x^S ^ 0, . . . dargestellt sein. Jede Ungleichung hier ist wieder so eihgerichtet, dass durch das Eintreten des Gleichheitszeichens in ihr eine Ebene durch den Nullpunkt angezeigt wird. Von diesen sämmtlichen Ebenen ist dann zur Festlegung des hier zunächst durch sie alle definirten Bereichs wieder nur jede solche wesentlich, welche Punkte dieses Be- reichs enthält, die in keiner zweiten der Ebenen vorkommen. Nach I. soll nun die Wand von Km S ==» 0 aus den sämmtlichen Bereichen dieser Art in Bezug auf die verschiedenen, für sie in Betracht kommen- den Punkte b vollständig hervorgehen. Die Anzahl dieser Bereiche ist eine endliche. Es wird nun in der Wand von ^ in S == 0 ein solcher Punkt ^ bestimmt werden können, für den H — S = 0 ist, für den aber kein anderer von den Ausdrücken H^ — S, H^ — S, . » - verschwindet und auch kein solcher von den Ausdrücken (4) - H, + r, + S ~ 2r,Ä, ^H, + x^ + S- 2r,S, . . . in Bezug auf die verschiedenen, hier in Betracht kommenden Punkte b, der nicht ein Vielfaches von H — S ist. Indem in jener Wand über- all H — S ^ 0 ist und ihre Deckungen in Bezug auf verschiedene Punkte b immer unter einander in ihren inwendigen Punkten durchweg verschieden sind, wird der Punkt 5 nur einer einzigen dieser Deckungen angehören; es heisse t) der dieser Deckung entsprechende Punkt b und Y dir Werth von if in t>; zur Definition dieser Deckung ist dann Körper, die infolge ihres Volumens mehr als einen Punkt m. g. C. enthalten. 101 die Ungleichung H — S^O wesentlich, und wird daher, indem die Deckung den Punkt ö als Mittelpunkt hat, auch die Ungleichung — fZ + T + ^ — 2rÄ ^ 0 wesentlich sein. Nun sind zwei Fälle denkbar. Entweder ist die linke Seite der letzten Ungleichung ein Vielfaches eines der Ausdrucke H^ — S, H^ — ^> • • •*, der betreffende Ausdruck kann dann nicht H — S sein, da es Punkte giebt, för die n^an ^ = 0, if = 0 hat, und die Grosse t von Null verschieden ist. Also wird es in diesem Falle unter den Ausdrücken f/j, ifg, . . . einen von H verschiedenen Ausdruck Z und eine Grosse x geben, so dass ist, woraus die Relation (3) hervorgeht, wenn man .^ '* ' a : /3 : y = 1 — 2r + X : 1 : X ' : setzt. Tritt jedoch nicht der hier bezeichnete Fall ein, so kann in jener Deckung in Bezug auf t» jedenfalls ein solcher Punkt t)* bestimmt werden, für den — if + t + ^ — 2r^= 0 ist, für den aber keiner der Ausdrücke H^ — S) H^ — Sj » - - verschwindet und auch kein solcher von den Ausdrücken (4) für die verschiedenen hier in Betracht kommenden Punkte b, der nicht ein Vielfaches jenes ersten Ausdrucks ist. Indem dieser Punkt ^* dann «inen inwendigen Punkt der Wand von K in S '==^0 vorstellt, wird er noch einer weiteren von jenen Deckungen angehören, und zwar nur einer solchen, wegen des Um- standes, dass verschiedene der Deckungen in ihren inwendigen Punkten stets verschieden sind; zur Definition dieser Deckung ist dann die Ungleichung — if + r + ^ — 2tS ^ 0 wesentlich. Es sei t* der dieser Deckung entsprechende Punkt b, so wird — if + r + ,^ — 2x^ ein negatives Vielfaches eines der Ausdrücke (4) in Bezug auf ö* sein müssen. Es kann dies nicht der zur Form H gehörige Ausdruck sein, weil es Punkte giebt, für die man 5 = 0, ü == 0 hat, und alle Grössen t^, r^, . . . positiv sind. Also giebt es in diesem Falle einen von H verschiedenen Ausdruck Z in der Reihe i/i, üj, . . . und zwei Grössen t* und x*, so dass _ H + r + Ä - 2 r Ä = — X* ( -^. Z + IT* + 3' - 2 r * 3" ) ist, woraus die Relation (3) hervorgeht, wenn man a : /3 : y = 1 — 2r + X* — 2x*i:* : 1 : x* setzt Viertes Kapitel. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. ij 36. Lineare Formen mit ganzzahligen Unbestimmten und mit beliebigen reellen Coefficienten. Es sollen nunmehr die Sätze des letzten Kapitels Anwendungen auf specielle Probleme finden. Zunächst sei an die Definition eines nirgends concaveu Körpers mit Mittelpunkt erinnert. Es bedeute /(^r^, . . . x^ irgend eine Func- tion, welche folgende Bedingungen erfüllt: ifix^j . . . Xt) > 0, wenn nicht ic^ = 0, . . . ^^i = 0 ist, (A) m ... 0) = 0, '/"(^^'i» • • • ^^n) = tf{^'ij • • • ^rt), wenn if > 0 ist; (B) f{^^ + 2/i, . • . ^n + Vnj^ /K ,...Xn^+f{y,,... y,)] (C) f{— X^,.,, — Xn)^f{X^j...X,). Stellt c irgeud einen Punkt vor, und versteht man unter s^^ . . . Sn die relativen Coordinaten eines variablen Punktes j in Bezug auf c, so ist es eine Menge von allen solchen Punkten j, welche eine bestimmte Bedingung /"(^i, . . . ^«) ^ 1 erfüllen,, die als ein nirgends concaver liörper mit c als Mittelpunkt bezeichnet wird. Es seien li,...^,. eine endliche Anzahl von linearen Formen in x^^ , . . Xn^ also Ausdrücke von der Gestalt ^l"^l "T" • • • -f- CiyiXny und zwar durchweg mit lauter reellen Coefficienten; es sei v > n, und es mögen sich unter diesen Formen irgend n unabhängige finden, also irgend n Formen mit einer von Null verschiedenen Determinante. Dem Systeme von Gleichungen ^^ = 0, . . . |v = 0 wird alsdann nur durch das eine System ^^ => 0, . . . ^« = 0 genügt. Es bedeute g)(Xiy . . . Xn) den grbssten Werth, der unter den absoluten Beträgen von ?i, . . . g,, bei Einsetzen von festen Werthen für x^. . . . Xn vor- handen ist. Diese Function cp genügt ofi'enbar den Bedingungen (A) Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung, 103 und (C) für eine Function f. Zugleich bedeutet dann cp{x^j...Xr) (He kleinste Grösse, welche sämmtlichen v Ungleichungen abs lb{x^i"-Xn)^(p{x^y...Xa) {h=l,...v) genügt; indem nun für jede Form |/, immer abs f/i(^i + 2/n • • • ^n + Vn) < abs ^^(a;, , . . . a:„) + abs |/,(i/i, . . . y„) ist, wird danach diese Function cp auch der Bedingung (B) für eine Function f genügen (vgl. die Betrachtung auf S. "2). Der Satz aus 30.; auf diese Function (p angewandt, besagt nun: Stellen gi,...|, eine endliche Anzahl von linearen Formen in Xi,...Xu mit beliebigen reellen Coefficienten vor, finden sich darunter irgend w unabhängige Formen, und ist J der Werth des «-fachen Integrdils fdx^ . . . dXm mit lauter posi- tiven Integrationsrichtungen über den Bereich erstreckt, so giebt es immer mindestens ein System von ganzen Zahlen x^, . . . Xnj welche nicht sämmtlich Null sind und die Ungleichungen (1) abs S,^;;?-,.-.. abs 1.^-^ Vj Yj befriedigen. Das Ergebni'ss des Abschnitts 15. schliesst den Satz in sich: Ist f irgend eine Function, die den Bedingungen (A), (B), (C) genügt, und wird eine positive Grösse 8 beliebig angenommen, so kann man immer Functionen cp finden, welche in der soeben erörterten Weise aus einer endlichen Anzahl von linearen Formen entspringen (und welche ebenfalls jene Bedingungen (A), (B), (C) erfüllen), der- gestalt, dass man für alle möglichen Werthsysteme von x^, ,..Xn (vom Systeme 0, ... 0 abgesehen): hat. Dieser Satz ist deshalb besonders bemerkenswertb, weil er offen- bar die Functionen f vollständig charakterisirt; mit Rücksicht auf ihn Hesse sich der allgemeine Satz des Abschnitts 30. über die Functionen f ^n-^ als eine Folge des soeben entwickelten specielleren Satzes über die Functionen (p darstellen. Von den Formenpaaren +Su---i5'; welche irgend eine Func- tion 9?, als das Maximum ihrer Werthe, liefern, sind umgekehrt aus dieser Function (p nur diejenigen Paare mit Sicherheit zu erschliessen, 104 Viertes Kapitel. bei welchen es eintritt, dass sie für geeignete Werthe der Coor- dinaten gleich + 1 werden, während gleichzeitig alle anderen von den Paaren dem absoluten Betrage nach < 1 ausfallen; und die durch diesen Umstand gekennzeichneten Formenpaare bestimmen schon für sich allein als das Maximum ihrer Werthe die Function g? (vgl. nament- lich 19. und 34. IL). Es mögen nun alle jene v Paare in diesem Sinne wesentlich zur Festlegung von

««-la ist, als Determinante abs J ^^' Es seien schon |i,...|, selbst von einer Determinante +1; es sind dann zwei Fälle denkbar: entweder giebt es auch solche, vom Systeme 0, ...0 verschiedene ganzzahlige Werthe Xi,...Xn, wofür abs li, ... abs |, sämmtlich < 1 ausfallen, oder aber, so oft für ein von 0, ... 0 verschiedenes ganzzahliges System x^y ... a;» die Beträge ; abs li, ... abs |„ sämmtlich ^ 1 ausfallen, stellt sich jedesmal min- i >^ destens ein Betrag darunter = 1 heraus. Es ist evident, dass der ■ zweite Fall immer eintreten muss, wenn eine lineare Substitution Xk=-hiyi + .. • + hnyn (h= l,...n)| mit ganzzahligen Coefficienten l^k und einer Determinante = + 1 vorhanden ist, durch deren Anwendung die Formen |i, ... |«, abge- sehen von der Reihenfolge, Ausdrücke erlangen (2) yi +^2^2 H h ^l«2/n, ^2 H 1- hnVnj • • • 2/«, * worin noch die Grössen bhk (Ä < Ä) beliebig sein können; denn einem jeden von 0, ... 0 verschiedenen ganzzahligen Systeme x^^ . . , Xn ent- spricht dann vermöge dieser Substitution ein ebensolches ganzzahliges System t/i, . . . t/«; ist in letzterem Systeme dann i/k die letzte, von Null verschiedene Zahl, s 1 ist, immer > n. Sollen z. B. für zwei Formen 1^, Ig mit einer Determinante + 1 keine von 0, 0 verschiedenen ganzzahligen Werthe der Variabeiu x^, x^ möglich sein, für die man abs ^^ < 1, abs Sg < 1 1^^*? so müssen mindestens drei Paare entgegengesetzter ganzzahliger Systeme x^^ x^ von den Beträgen abs Ji, abs ^^ den einen = 1, den anderen < 1 machen; zugleich kann es nach 31. überhaupt nicht mehr als vier Paare von Systemen x^^ x^ mit dieser Wirkung geben. Es gilt nun andererseits der Satz: Haben zwei Formen eine"*von Null verschiedene Determinante, und enthält der Bereich (3) -Kii^l, -1^12^1 erstens kein ganzzahliges System x^^ x^ ausser dem Systeme 0, 0 im Inneren, und zweitens drei oder vier Paare entgegengesetzter ganz- zahliger Systeme x^^ x^ auf der Begrenzung, so ist die Determinante von ?i, lo noth wendig + 1, und tragen J,, Ja den bei (2) bezeichneten Charakter. Denn nach dem Satze am Anfange dieses Abschnitts ist wegen des ersteren Umstandes zunächst gewiss abs («11^^22 — 0^12^21)^^' Es können ferner nicht für alle jene sechs oder acht Systeme x^^ x.^ in, den vorausgesetzten Paaren immer sowohl Ij, wie I2 von Null verschieden ausfallen, denn sonst würde man, indem die Anzahl dieser Systeme jedenfalls > 4 ist, unter ihnen sicher irgend zwei verschie- dene Systeme a;/, o;/ und x" , x^' finden können, bei welchen g^, Jg beidemal dasselbe System von Vorzeichen lieferten, und würde dann Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 107 Xi = x^" — x^\ X2 = X2" — X2 ein von 0, 0 verschiedenes System sein, wofür Ji, Jo beide dem absoluten Betrage nach < 1 ausfielen. Also wird mindestens eine der Linien li = 0 und ^ = 0 die Begrenzung von (;3) in ganzzahligen Systemen x^, x^ trefien müssen; so erweise sich etwa Sj = 1, |^> = 0 als ein ganzzahliges System x^ = \^^ x.^ = l.^^. Es kann dann ausser diesem und dem dazu entgegengesetzten Systeme x^ , x^ kein weiteres ganzzahliges System ä, , u;, geben, für das man I, = + 1, abs I2 < 1 hätte, weil sonst wieder ein von 0, 0 verschie- denes ganzzahliges System x^^ X2 im Inneren von (3) folgen würde, und danach müssen dann die noch übrigen vier oder sechs von jenen Systemen sich auf die Linien ^2 = 1 ^^^ fe = — ^ vertheilen; es sei ^i = ^liä» ^'2 = ^22 ^^^ System unter ihnen auf der ersteren Linie. Durch die Substitution ^1 = ^11 2/1 + ^12^2» ^2 == ^21^1 + ^222/2 transformiren sich jetzt l^, |o in zwei Formen y^ + ^12^/2» 2/27 ""^^ ^^^~ bei wird nach dem Multiplicationssatze der Determinanten (flu a^'j — ^12 «21) (^11 ^22 — ^12 ^21) = 1 werden. Daraus folgt dann zunächst, dass Z^ Lg — 1^2 l-n von Null ver- schieden ist, und indem dieser Ausdruck als ganze Zahl dann einen absoluten Betrag ^ 1 hat und, wie oben bemerkt, auch abs («11^22 — ^12 «21)^ 1 ist^ weiter ^11 ^22 — ^^12 ^21 "^ i I7 '11 '22 '12 4i "^ lii M und gewinnen damit J^, tz ^^ ^er That den bei (2) besprochenen Charakter. Die letzte Gleichung zeigt, dass Z^, Zgi keinen gemeinsamen Theiler haben; für Xj^ = /,i, x^ == I21 war ^j = 1, I2 = 0, und es ergab sich ferner i, gleich 2/2 = ± (— ^21 ^1 + hi ^2)- ^s ist nun schon ein vollständiges Kennzeichen für den Charakter, den J^, J2 liier tragen, dass sie eine Determinante = Hi ^ haben und es zwei ganze Zahlen ^1 = ^11? 3^2 = ^21 0^°® gemeinsamen Theiler giebt, welche |i, tj ab- gesehen von der Ordnung gleich i 1; 0 machen. Denn existirte unter solchen Umständen noch ein von 0, 0 verschiedenes ganzzahliges System x^ = l^^, x^ = I22 '^^ Inneren von (1), so würde, weil l^^, I21 ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt sind, /^ I02 — ^12 ^21 jedenfalls von Null verschieden sein müssen, und eine entsprechende Anwendung des Multiplicationssatzes der Determinanten wie soeben wüi*de dann zur Ungleichung abs («11 «22 — <*i2 0^21) (Ja ^22 — ^12 ^21) < 1 108 Viertes Kapitel. führen; diese aber wäre unmöglich, weil beide Factoren links absolute Beträge ^ 1 hätten. Ebenso ist der für die Formen Ij, I2 ^lier gefundene Charakter schon dadurch ganz bezeichnet, dass l^, I2 eine Determinante = + 1 haben und mindestens eine dieser Formen als Coefficienten von ic^iCa zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler hat. Denn sind etwa a^if ^22 zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, so hat man dann in a?i == «22» ^2 '^ — ^21 2^®^ ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, durch welche |i, Ig gleich + 1; ^ werden. 38. Annäherung an reelle Grössen durch rationale Zahlen. I. Es seien a^, ... «n—i irgend w — 1 reelle Grössen und t eine beliebige Grösse ^ l, so giebt es nach dem Satze in 37. und den weiteren Bemerkungen daselbst immer solche ganze Zahlen a?i, ... o?»— 1, a?„, die nicht sämmtlich Null sind, und welche von den Ausdrücken X (1) Xi a^Xn, ... ^n-1 — an-lXnf "^ t den w — 1 ersten durchweg absolute Beträge < -j und dem n*^ einen absoluten Betrag ^ -j verschaffen. Unter n solchen Zahlen ist dann nothwendig Xn von Null verschieden; denn < y bedeutet nach Vor- aussetzung gewiss < 1, und würden daher für ein a?» = 0 die Beträge der w — 1 ersten Ausdrücke (1) nur dann sämmtlich < -j gerathen, wenn man dazu oJi «= 0, . . . x„-i «=» 0 hätte. Ferner können n Zahlen Xif ... Xn—i, Xn der in Rede stehenden Art stets von einem für sie etwa vorhandenen gemeinsamen Theiler befreit und auch sämmtlich durch — 1 dividirt werden, und die Quotienten werden noch dasselbe in Bezug auf die Formen (1) leisten. So gelangt man zum Satze: (A) Sind ai, ... a„_i irgend w -— 1 reelle Grössen und ist t eine beliebige Grösse ^ 1, so giebt es immer mindestens ein System von ganzen Zahlen x^y ... ic«— 1, a?« ohne gemein- samen Theiler, für das man 0n vor- ausgesetzt, dann kann unter solchen Zahlen niemals .i;„ = 0 sein. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. Hl Was nun das Zeichen ^ in der Aussage hier anbelangt, so darf man es daselbst in den Fällen n^ 2 durch das blosse Zeichen < er- setzen, indem alsdann dem in 35. IL entwickelten Kriterium zufolge die unter den Körpern 9)^const. vorhandene Stufe um den Nullpunkt (vgl. 31.) sicher nicht ein Volumen = 2'' hat. Denn der hier betrach- tete Körper fp^l besitzt als seine wesentlichen Stützebenen die 4n — 4 Ebenen (5) ± «1 ± «*n = 1 , • • • ± «rt-l ± «« = 1. Bei der Bestimmung der Wand dieses Körpers in der Ebene Kn — i + ifn = 1 beispielsweise ist dann die Ebene w„_i — «„ = 1 wesentlich, die Ebene — Un—i + w„ = 1 aber, wenn n — 1 > 1 ist, nicht wesentlich, indem diese Ebene mit jener Wand nur einen ein- zigen Punkt gemein hat, wie aus den Ungleichungen (4) einleuchtet; und unter den übrigen Gleichungen (5) giebt es keine, wie sie nun- mehr nach 35. IL bei Eintreten des fraglichen Grenzfalles darunter vorhanden sein müsste, deren linke Seite eine lineare Combination von Un—i + ^tn und Un—i — Un mit einem von Null verschiedenen Coefficienten der zweiten Form wäre. Im Falle n — 1 = 1 hingegen entspringt die hier betrachtete Function (p aus zwei Formen u^, u^y ist identisch mit abs «(j + abs w^ und kann unter besonderen Umständen zwar =, aber nicht < \-^\ für ganzzahlige, von 0,0 verschiedene Systeme x^, x^ werden. Diese Umstände sind nach 37., dass es vier ganze Zahlen Z^, Zgj; l^^y hi giebt, welche die Bedingungen (6) ' ^11 /22 — In ^21 = ± 1 ? (7) (^y absft,-a.U = CD'T = ¥' 1 l_ (8) l^ ;^_ 0, (4) ' abs {l,, - a, /,,) + (i^ ' i| = 1 erfüllen. Sollte sich dabei (4) ' *^^ ^^'^ — ^' ^22) = \y) t (T\ 2 -j , mit Rücksicht auf (7) also U = /,! , aus (6) sodann ?2i = "l; aus (7) endlich T= 2, a, == /n + ^ fol2:en. Die oben gemachte Voraussetzung T > n schliesst mithin auch 112 Viertes Kapitel. diesen Umstand aus, erfordert also eine Ungleichheit der zwei Terme auf der linken Seite der Gleichung in (8). Indem nun T>2 noch I22 > 0 zur Folge hat, erhält man dann aus (8) mit Hülfe des Satzes, dass das geometrische Mittel zweier ungleicher, nicht pegativer Grössen immer kleiner als ihr arithmetisches Mittel ist, (9) »'>«(fc-«.)<4- Sieht man von dem hier berührten Grenzfalle zunächst ab, so giebt es alao, T> n vorausgesetzt, immer n ganze Zahlen sTi, . . . ic„_i, ic„, unter welchen Xn von Null verschieden ist und welche die n — 1 Un- gleichungen (10) ^h8(xH-a,Xn) + ^^<{^Y Qi^l, ... w- 1) befriedigen. Es kann dabei Xn positiv und es können diese Zahlen ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden. Nun hat man, weil das geometrische Mittel von n absoluten Beträgen niemals grösser als ihr arithmetisches Mittel ist*): abs X / (n-l)ab8X\^ {n-l)a,hs{x^-a,^x„) + in--l)—^ {^hs(x,^auXnY-^- '^ -") ^— ^, und daraus ergiebt sich mit Benutzung von (10) und indem man noch beachtet, dass zufolge von (10) mit wachsendem T die Ausdrücke abs ( -- — tth) unter jede positive Grösse sinken, der Satz: (B) Sind «1, . . . a„«_i irgend n — 1 reelle Grössen, so kann man immer ganze Zahlen x^j , . . Xn—i, Xn finden, welche ohne gemeinsamen Theiler sind, unter welchen Xn positiv ist, und für welche die Beträge "^K| - 4 • • • "^^ fe' - ''-0 sämmtlich unter einer beliebig angenommenen positiven Grösse liegen und gleichzeitig sämmtlich <^ sind. Wie Gleichung (9) sehen lässt, besteht für diesen Satz kein Ausnahmefall. ") Ein Beweis dieses Hülfssatzes winl sich in 40. IL darbieten. ,——,...---, -^^^ a^y—i) Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 113 39. Lineare Formen mit oomplexen Coeffioienten. Es seien v^, . . . v« n lineare Formen mit den Variabein x^, ...Xn und einer von Null verschiedenen Determinante z/. Diese Formen sollen bestehen aus r Formen |i , ... |r mit reellen Coefficienten und aus s Paaren von Formen mit conjugirt imaginären Coefficienten, sodass r -\- 2s = n ist und ?i, ... Vs) t» ^^s n lineare Formen mit reellen Coefficienten (und mit demselben absoluten Betrag der Determinante wie Vj, ... v«) erscheinen. Um nicht auf den schon in 37. behandelten Fall zurück- zukommen, werde angenommen, dass unter den Formen v^, ... v„ mindestens ein Paar mit imaginären Coefficienten wirklich da sei, also s > 0 ist; dagegen soll r auch == 0 sein dürfen, so dass vielleicht keine Form mit reellen Coefficienten darunter da ist. Indem man für jede Form va bei beliebigen Werthen x^, . , . Xn und yj , . . . y« immer abs Va (a^i + «/i, ... Xn + y») < abä v* (x^j . . . a;„) + abs v* (t/j, . . . y„) hat, erkennt man, dass das Maximum unter den absoluten Beträgen der n Formen v* (a?! , . . . ic„) (Ä = 1 , . . . w) wieder eine den Be- dingungen (A), (B), (C) in 36. genügende Function f(xiy ... Xn) vor- stellt. Der Bereich f^l ist für sie durch abs Vi ^ 1, ... abs Vn ^ 1, d. i. durch (^) i?üi 0 ist, nicht von einer endlichen Anzahl von Stützebenen vollständig aufgenommen, sodass hier ausser dem Satze in 30. noch der Zusatz aus 34. zur Anwendung kommen wird. Denn es sei 1], g eines der Paare rji> ti, * " V»7 5»> ^^® dann ja mindestens in der Anzahl 1 vertreten sind. Sollte nun der Bereich (1) durch eine endliche Anzahl von Ungleichungen d,x, + "- + dnX„ + d^O Minkowski, Geometrie der Zahlen. 8 114 Viertes Kapitel. mit reellen d^, ... dn, d definirt werden können, so würde daraus, wenn statt x^j . . . Xn als neue Variabein die Formen l^, ... i^,, J, ein- geführt und hernach alle von diesen neuen Variabein bis auf i]^ t, gleich Null gesetzt würden, eine entsprechende Definition für den Bereich in r^j 5 hervorgehen; solches aber ist nicht möglich, weil die Begrenzung dieses Bereichs in i^, ^ überall convex ist. Aus 30. und 34. entnimmt man nunmehr: Stellen v,, . . . v„ w lineare Formen in x^y ... Xn mit einer von Null verschiedenen Determinante /J vor, und bestehen diese Formen aus s Paaren mit conjugirt imaginären Coeffi- cienten, wobei s>0 ist, und, wenn 2s<^n ist, im üebrigen aus Formen mit reellen Coefficienten, so giebt es immer ganze Zahlen x^^ ... ic„, die nicht sämratlich Null sind und für welche die absoluten Beträge von v^, ... Vn sämmtlich — 1 <( — j abs ^" ausfallen. Es seien h -\- iChQi = 1, ... m — 1) irgend m — 1 complexe Grössen und t eine beliebige reelle positive Grösse, so wird es danach z. B. immer 2m ganze Zahlen t/A, ^h (h = l, ... w — 1, m) geben, die nicht sämmtlich Null sind und für welche die Beträge von y -f- iz Vh + iZh — (h + iCh) {y,n + i^m), Qi = Ij . . . m — 1), '-^^-^^^t-^ 2 1 sämmtlich < —^ — sind. Das Analogon zum Satze (B) in 38. erhält man durch Betrachtung des Bereichs (\ ab8(«/^^ "f"*-^;«) yh + i^h — ih-i- icn){ym+i^m))-\ j. 1 ist, zudem überall convex. Dass diese Function f den Bedingungen (A) und (C) in 36. ge- nügt, liegt auf der Hand. Es besteht nun ferner bei beliebigen reellen Werthen a,, . . . a«; 6,, ... 6„ für ein p^l immer die Ungleichung (1) /■(«> + &„...«„ + h,.) < f{a„ ... o.) + /■(*„.. . ft,), und tritt darin im Falle eines j) > 1 das Gleichheitszeichen nur dann ein , wenn entweder h^, . . . h„ sämmtlich Null sind oder aber Be- ziehungen (2) a, = (r - 1)^1, . . . a„ = (r — 1)&„, r - 1 ^0 gelten. Denn bezeichnet man die absoluten Beträge von v,, ... lu für x^ = üi, . . . x„ ^= On mit or, , ... a„ und für rc, = 6, , . . . Xn = K 116 yiertee Kapitel. mit ft, ... /3„, so fallen die entsprechenden Beträge für das System ^1 == «1 + ^1 » • . . aJn = «„ + 6* beziehlich ^ «i + /^^ , . . . ^ «„ + /3„ aus, und es treten hier nur dann sämmtliche n Gleichheitszeichen ein und sind zweitens zu gleicher Zeit entweder ß^, ... ß„ sämmtlich Null oder haben Beziehungen (3) «, +A==T/3l, ... «« + ^« = ^/3n, T^l statt, wenn entweder 6^ , ... &„ sämmtlich Null sind oder aber die Beziehungen (2) statthaben. Daraus ersieht man nun, dass die soeben bei (1) gemachte Behauptung und damit auch die Behauptungen über die Fläche /"= 1 vollständig erwiesen sein werden, sowie man nur zeigt, dass man für ein j? > 1 und bei beliebigen 2n Grössen «j, ... a„; ßif ... ßnj die ^0 sind, immer (4) w^t^' =(«/ + ••• + ««^)^ + (a^ + • • • + ßn^)^ - ((«1 + ^i)^ + ••• + («» + « ')^ ^ 0 hat und der hier definirte Ausdruck ^ nur dann gleich 0 ist, wenn entweder ß^j ... ßn sämmtlich Null sind oder aber die Bedingungen bei (3) statthaben. Im Falle jp «» 1 ist dieser Ausdruck ^ offenbar identisch = 0. Es sei also jetzt jp > 1. Es mögen a^, . . . a« festgehalten werden, und s sei irgend eine positive Grosse; die Function ^ = ^ (/^j, . . . j8„) ist dann im Bereiche (5) O^ft^e, ... O^ßn^s in jedem Punkte stetig. Also muss es nach 22. in diesem Bereiche mindestens ein solches System ß^, ... ßn geben, wofür die Function i/ gleich der grössten unteren Grenze ihrer sämmtlichen Werthe in dipsem Bereiche wird. Ein derartiges System ß^ . . . ßn muss dann durchaus so beschaffen sein, dass in ihm entweder ßj^y ... ßn sämmt- lich Null oder aber die Bedingungen bei (3) erfüllt, also «i + A» .•• «»+/3n proportional mit A, . . . ßn sind. Denn hat der erste Fall nicht statt, so ist von den Grössen ß^, ... ßn mindestens eine positiv; es sind dann Gi^ + • • • + ßn^)^ « H, (k + ßiy+'-' + {On + ßny)^ ^ Z ebenfalls > 0 und hat man, so oft ein /?* > 0 ist: .7|i_(|)'-_C4i,) Oft Sind nun auch nicht «i + A, ... «« + A proportional mit ß^, ... ßn, so bestehen, wenn man Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 117 h "a "^ ^A J» /7 . X H "" ^*' ~Z — "" ** (/i = 1 , . . . n) setzty jedenfalls nicht sämmtliche n Gleichungen yi = d„ ... y„ = d,. Indem man nun (y/ + • • • + yn^)^ = 1 = (d? + • • • + d„p)^ findet und, so oft ein ß^ = 0 ist, immer 0 = n ^ ^A hat, muss dann also mindestens ein Index Je vorhanden sein, fiir welchen man sowohl ßk>0 wie y* > d* und damit, indem jp > 1 vorausgesetzt ist, weiter hat; und dann würde durch eine geeignete Verringerung der betreffen- den Grösse ßk sich ein neues System im Bereiche (5) mit kleinerem Werthe von ^ erzielen lassen. Danach kann das Minimum von ^ im Bereiche (5) sicher nur eintreten, wenn entweder ß^, . . . ß„ sammtlich Null oder überhaupt «i + ft> • • • f^n + ßn mit ß^, ... . ß^ proportional sind; dann aber hat ^ stets den Werth Null Nunmehr muss för jedes System /3^, ... /3„, das nicht diesen Bedingungen entspricht, immer ^ > 0 sein, indem sich stets ein Bereich (5), der das betreffende System enthält, angeben lässt*). Bezüglich der Function f im Falle 2? = 1 ergiebt ferner dieselbe üeberlegung wie in 39., dass, wenn die Formen v^ ... v« nicht sammt- lich reell sind, also s > 0 ist, die Fläche f = l jedenfalls nicht in einer endlichen Anzahl ihrer Stützebenen ganz enthalten sein kann. Wenn man weiter p =6l hat und auch s = 0, also die Formen Vj , . . . Vn sammtlich reell sind, dabei jedoch w > 2 ist, findet sich für die unter den Körpern f ^ const. vorhandene Stufe um den Nullpunkt nicht das Kriterium aus 35. II erfüllt. Denn es besitzt, wenn p = 1, 5 s= 0 ist, von diesen Körpern z. B. der Körper f"^— als für ihn we- sentliche Stützebenen die 2" Ebenen 1 *) Es convergirt [ ^ ' ' ' ' '^-— j für ein nach Null abnehmendes po- n sitives p gegen Ya^ • • * «» 5 ^^^ den Relationen im Texte entnimmt man mit Rücksicht darauf auch den später zu verwendenden Satz: Sind «j , ... a^; ß^, ... ß^ n n ^ « _ . positive Grössen, so ist stets Va^ ■ ■ - a^^ + ^j^i • • • ^„ S_ ^^(«1 + ^i) ••(«,, + ß^) und tritt hier das Gleichheitszeichen nur ein, wenn «i , . . «^ proportional mit §i,...ß„ sind. 118 Viertes Kapitel. (6) ±3±--'±^« = l-, für jedes der n Zeichen + hat hier unabhängig von den anderen so- wohl + wie — einzutreten. Zur Bestimmung der Wand dieses Körpers etwa in der Ebene (7) t^i + • • • + ^«-. +v^=\ ist dann die Ebene (8) !;, + ..+ Vn-, — 1^« = l wesentlich, aber, wenn w — l > 1 ist, die Ebene nicht wesentlich, indem diese mit jener Wand, wie leicht zu sehen ist, nur einen einzigen Punkt gemein hat; und unter den übrigen Ebenen (6) findet sich keine, deren linke Seite eine lineare Combination der linken Seiten von (7) und (8) mit einem von Null verschiedenen Coefficienten des Ausdrucks in (8) wäre. IL Die hier betrachtete Function f zeigt noch einen bemerkens- werthen Charakter, wenn man in ihr p variabel sein lässt. Man halte ein, von 0, ... 0 verschiedenes System x^y . . . Xn fest; es sei für das- selbe abs va = «/, (/i = 1, ... w); man findet dann dif__ _ ^ r^/ + ---f^/\ -ii< + • • • -f c.//«/ d V wenn man + • • • + %^ -== cj,, (h= l, . . . n) «.^ + • • • + «. setzt-, dabei wird (10) ^^-^ > 0, ... 6n Z 0, 0, + h 0 beschränken und hat für jede Grösse «/, == 0 immer 6h"h in (9) durch 1 zu ersetzen. Die hier auftretende Function ^1*^' . . . 0^^n nun ist, wenn man für ein 6h = 0 in ihr unter ö//'a immer 1 versteht, im ganzen Bereiche 0 ^(?i^l, ... 0 ^ön ^1 und also auch gewiss in (10) für jedes System 6^, ... ön stetig, und muss es deshalb nach 22. in (10) mindestens ein System o'^, ...(?„ geben, wofür diese Function möglichst klein für den Bereich (10) ausfällt. Es kann dies nur das eine System „ = — sein, wofür diese Function = — wird. Denn ofi'enbar trifft solches für w = 1 zu, und ist dieser Umstand bereits bis zu einem gewissen Werthe von n ausschliesslich Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 119 erwiesen, so erkennt man für diesen Werth n zunächst, dass jedes solche System in (10), für das n — m von den Grössen a^, . . . a^ Null sind und n — m>0 ist, die Function ö.*^' ...(?«'*«>—, also > — — m n macht und somit sicher nicht das Minimum dieser Function in (10) ergiebt. Hat man sodann ein System in (10), für das keine von den Grössen 6^, . . . 6„ Null ist, so findet man als vollständiges Differential der betrachteten Function für dieses System a,^^ . . . 6n'- ((1 + Jo,)dö, H + (1 -h lön)d0,\ und wird es hiernach, sowie nicht a^ = ■ = 6^ ist, immer möglich sein, da^, ... dön so zu wählen, dass dafür dö^ + •• + dön = 0, das vorstehende Differential aber < 0 ausfällt, und auf solche Weise zu einem neuen Systeme in (10) mit noch kleinerem Werthe von 6^"*...Gn'^n. fortzuschreiten. Danach muss in der That für jedes System in (10) ausser 6^ = . . . = (t„ = — immer na^"^ . . . ^/« > 1 sein. Wenn man «^ = • • = «;, hat, wird die Function /" von p unab- hängig; in jedem anderen Falle ist auch nicht 6^= ■■ =0n, und erhält man daher nach dem soeben Bewiesenen immer ^>^, nimmt d — V also f mit zunehmendem p beständig zu, entweder für alle Werthe von p oder, wenn von den Grössen «i, ... a« mindestens eine gleich Null ist, doch gewiss für alle Werthe p>0*). Sowie nun für einen Werth p > 0 die Ungleichung 1 /(absQ^H- •• + (ab8 0n^ \ n / Sr -'^ besteht, wird diese Ungleichang daher umsomehr auch für alle kleineren positiven Werthe p gelten. Durch diese Ungleichung wird, für ein festes p > 0, jedesmal ein Strahlenkörper vom Nullpunkte aus (s. 24.) definirt; dieser Körper heisse Kp und sein Volumen J^; jeder Körper Kp enthält dann jeden zweiten solchen Körper mit grösserem Werthe des p in sich und weist dabei immer in denjenigen Richtungen vom Nullpunkte aus , in welchen nicht abs Vj = • = abs Vn ist , noch innere Punkte ausserhalb des zweiten Körpers auf, sodass hiernach Jp mit zunehmendem p beständig abnimmt für alle Werthe p> 0. Bedeutet a den unter den Beträgen abs v^, . . . abs v„ vorkom- *) Für die Werthe p, für welche p oder — eine positive ganze Zahl vor- stellt, ist dieser Satz auf einem anderen Wege von Schlö milch (Zeitschrift für Math, und Physik, Bd. 3. S. 301) abgeleitet worden. 120 Viertes Kapitel. menden grössten Betrag, so hat man für ein |) > 0 offenbar /"> — ^ a n p und ^ a. Danach wird aus /" f ür jp = + oo die Grösse a, d. i. die in 39. untersuchte Function /*, und der Körper Kp geht dann in den Bereich abs Vi ^ 1, ... abs v„ ^ 1 über, von dem unmittelbar einleuchtet, dass er in jedem Körper Kp mit endlichem positivem p enthalten ist. Das Volumen von -Kl|.oo ist aus 39. zu ersehen, und man hat danach für jedes endliche j? > 0: (11) 'fM^)^- Sind «1 , ... a„ sämmtlich > 0, so kann man für Ä = 1 , ... n immer a^^ = 1 + jpZa* + • • * entwickeln, hat dann f=(i+P«K--«-)^ + ■••)' und ersieht daraus, dass für ein nach Null abnehmendes positives p der Werth von f in das geometrische Mittel ya^ . . . «n übergeht; ist von den Grössen «^ , ... a„ mindestens eine gleich Null, so ist einer- seits das letztere Mittel gleich Null, und sieht man andererseits direct ein, dass für ein unendlich abnehmendes positives p auch f nach Null convergirt. In dem allgemeinen, soeben über f abgeleiteten Satze ist nunmehr, wenn man die Werthe p = 1 und j} = 0 in Anwendung bringt, speciell die Ungleichung enthalten, dass das arithmetische Mittel aus irgend w, nicht durchweg einander gleichen Beträgen ^ 0 immer grösser als deren geometrisches Mittel ist. Es mögen die reellen unter den Formen Vj , ... Vn mit ^j , . . . |^ bezeichnet und die imaginären Paare darunter geschrieben werden, so dass 1^, ... i/,, 5, sich als n reelle Formen mit demselben absoluten Betrag der Determinante wie v^, . . . i;„ dar- stellen; ferner werde y2 1/2 gesetzt. Nach 28. ist Jp gleich -.r— , multiplicirt in das Volumei von Kp in Ji, . . . i^,, J,. Letzteres Volumen, welches mit 2''Np be- zeichnet werden möge, findet man Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 121 = 2'7i'n7jd^, ■ ■ ■ dlxi dXi-- X.AX. n wobei die r + s-fachen Integrale über den Bereich ?. > 0, . . . I, > 0, x,^Q, . . . i,>Q, li' + • • • + i" + 2z,^ + • • • + 2x,p<\ zu erstrecken sind. Für das hier an zweiter Stelle geschriebene Integral besteht bekanntlich folgender Ausdruck durch f-Functionen und so findet man: Jp abs ^ = 2» iVp = 2-(-^)' !^-^ ^^4 ^-^ ^ • p 0 + ^) Dass der Werth von Np mit abnehmendem p für alle Werthe |9 > 0 beständig zunimmt, kann auch leicht aus diesem Ausdrucke für Np geschlossen werden. Man hat, wenn man — = g setzt: dq dq & i d{2q) , , dlog r(l + nq) mit Hülfe der Beziehungen 0 Ü Aw = 1, 2, n\ \ q>0 )' und indem r + 2s = w ist, erhält man sodann d log iV^^ _ /*e-»g« (re^"-^)^^ + 236^^-^^^' - n) (g' - 1 - g) ^ —Tq J Jü^'i) "^'^ d log Nj^ ^' dq um so grosser, je grösser q, je kleiner also p ist d log iv;„ und ist danach, g > 0 vorausgesetzt, — ^ — ^ immer positiv, also ^ 122 Viertes Kapitel. III. Nach den Ausführungen in I. hat mau nun Geleg^heit, auf die hier untersuchte Function /", wenn p>\ ist, die Ergebnisse aus 30., 34., 35., 37. in Anwendung zu bringen, und man gelaugt so zu folgendem Satze*): Es sei w > 1, und es seien v,, . . . v„ n lineare Formen in iCj, ... Xn mit einer von Null verschiedenen Determinante ^, und sie sollen bestehen aus r Formen mit reellen Coeffi- cienten und s Paaren von Formen mit conjugirt imaginären Coefficienten, so dass r -\- 2s = n ist, wobei eine der Zahlen r, s auch gleich Null sein darf; ferner sei p irgend eine reelle Grösse ^1 (die keine ganze Zahl zu sein braucht); dann giebt es, bis auf einen Ausnahmefall, immer solche ganze Zahlen x^ ... Xn, die nicht sämmtlich Null sind und für welche man 02) &ifct^J^'_< /(iy_4±i±IL_.w^ P (r(, + i))V;(.(.+9y hat. Der Ausnahmefall tritt ein, wenn p = \, s = 0, n = 2 ist und dazu mindestens eine der zwei Formen — ^-= — ~ als Coef- (2 abs d)^ ficienten von x^ und x^ zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler hat; dann giebt es wohl ganze Zahlen x^y x^, die nicht beide Null sind und für welche die Summe links in (12) der dort rechts stehenden Grösse gleich wird, aber keine ganzen Zahlen x^, x.^ ausser 0, 0, für welche jene Summe kleiner als diese Grösse ausfällt. Für p == 2 besagt dieser Satz : Man kann in einer wesentlich positiven quadratischen Form mit n Variabein und einer Determinante D den Variabein immer solche ganzzahlige Werthe, die nicht sämmt- lieh Null sind, beilegen, dass der Werth der Form für sie < y„ Z)" ausfällt, wobei y„ eine gewisse, nur von n abhängende Constante vor- stellt. Dieses specielle Theorem, in dieser Weise ausgesprochen (mit dem Werthe (— j für y„, wobei im Falle w = 2 noch das Zeichen < hier durch ^ zu ersetzen ist), rührt von Herrn Hermite**) her *) Diesen Satz habe ich zuerst in einem Briefe an Herrn Hermite (Comptes rendus der Pariser Akademie, 1891, I) ausgesprochen. **) Crelle's Journal Bd. 40, S. 263. Anwendimgeu der vorhergeheuden Untersucbimg. 123 und hat die erste Anregung zu den Untersuchungen dieses Buches ge- geben; die Formel (12) liefert als Constante y„ den Werth 2'» r (•+fh^ (-m ^-(n—i) der bei grossem n beträchtlich kleiner als {—j" ist. Nach der Ungleichung (11) ist die Grösse rechts in (12) immer (f^^abs jf < 41. Die kritischen Primzahlen zu einer algebraischen Zahl. Die Sätze der letzten Abschnitte ermöglichen es, eine fundamen- tale Eigenschaft der algebraischen Zahlen festzustellen, zu deren Nach- weis die bisherigen Methoden nicht ausreichten. Bekanntlich versteht man in weiterem Sinne unter einer ganzen Zahl (einer ganzen algebraischen Zahl) jede solche Grösse 0, für welche in der Reihe der Potenzen 9^, 0^, 0^, ... irgend einmal eine Potenz, nach 6^, sich darstellen lässt als ganze lineare Function der vorangehenden Potenzen mit Coefficienten, die ganze Zahlen im ge- wöhnlichen Sinne (rationale ganze Zahlen) sind. Eine rationale Zahl, die auf irgend eine Weise als ganze Zahl erscheint, ist noth- wendig immer eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne. Die Summe, die Differenz, das Product zweier ganzer Zahlen sind immer wieder ganze Zahlen*). Es sei 0 irgend eine irrationale ganze Zahl, und es bestehe für sie die Darstellung (1) Qn^^i^Qu-l _f. [_ ^j^ mit rationalen ganzen Zahlen a,, ... a„; die Zahl n ist dann jeden- falls > 1. Wird tn -a,t--' an=f[t) *) Zu den im Texte nun folgenden Elementen der Theorie der algebraischen Zahlen vgl.: Supplement XI von Dedekind zu den Vorlesungen über Zahlen- theorie von Dirichlet (III. Aufl. Braunschweig, 1880), femer: Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Crelle's Journal Bd. 92. 124 Viertes Kapitel. gesetzt, und sind ^ == Oj, ... 9» die n Wurzeln von f{t) = 0, so dass also 0 darunter vorkommt, so erweisen sich durch diese Gleichung offenbar 8^, ... 6» sämmtlich als ganze Zahlen; dabei hat man m = (< - e,) . . . (< - 9,). Die Theorie des grössten gemeinsamen Theilers zweier ganzer Func- tionen lehrt nun, dass, wenn eine Gleichung in t von niedrigerem als dem n*®^ Grade mit rationalen Coefficienten und mit ^ = 0 als Wurzel existirt, es immer auch ein Product aus einem Theile der n Factoren t — 0j, ... t — 0„, darunter t — 0 enthalten, geben muss, welches als Function von t mit lauter rationalen Coefficienten erscheint. In jedem der nur in endlicher Anzahl möglichen solchen Producte nun stellen sich, wie die Entwicklung nach den Potenzen von t zeigt, immer alle Coefficienten als ganze algebraische Zahlen dar, und leitet man zugleich für deren absolute Beträge sehr einfach obere Grenzen aus irgend welchen oberen Grenzen für die Beträge von 0i , ... 0„ ab. Sollen nun einmal die Coefficienten in einem dieser Producte sämmtlich rational ausfallen, so müssen sie dabei also rationale ganze Zahlen werden; indem aber zugleich obere Grenzen für ihre Beträge da sind, kommen so als Divisoren von f(t) von vornherein nur eine endliche Anzahl ganzer Functionen mit rationalen Coefficienten in Frage. Man wird hiernach im Stande sein, zu entscheiden, ob bereits eine niedrigere Potenz mit positivem Exponenten von 0 als die w*® sich als ganze lineare Function mit rationalen Coefficienten der ihr vorangehenden Potenzen von der nullten an darstellen lässt, und zu- gleich ist ersichtlich, dass bei der niedrigsten Potenz, für welche eine solche Darstellung besteht, die betreffenden rationalen Coefficienten jedenfalls, wie in (1) nach Voraussetzung, ganze Zahlen sein werden. Es sei bereits 0" selbst die niedrigste Potenz, mittels deren 0 sich als ganze Zahl erweist; es sind dann die rationalen Zahlen a,, . .. ün in (1) noth wendig nur eines Systems von Werthen fähig, und weiter sind, nach der Theorie des grössten gemeinsamen Theilers zweier ganzer Functionen, für eine beliebige ganze Function von t mit rationalen Coefficienten, F(t)f immer nur diese zwei Fälle denkbar: Entweder ist F{t) theilbar durch f{t)y oder es ist die Bildung zweier ganzer Functionen von t mit rationalen Coefficienten, q)(t) und 0{t\ möglich, für die man (2) i(n — 1) (3) gleich (—1) ^ Nmf (0), multiplicirt in das Quadrat der De- terminante I &A* I ; es ist danach diese Discriminante dann und nur dann von Null verschieden, wenn es die Determinante \b,,i\ ist Letzteres 126 Viertes Kapitel. nun vorausgesetzt, findet man aus (4) zuerst für B""^, ... 1 und damit weiter für jede Zahl B(ß) eine Darstellung in der Form (5) B(Q) = 2,, 2?, (e) + • • • + y,. 2?„(e) mittelst rationaler Zahlen t/,, .... «/„; man sieht auch ein, dass für diese Zahlen 2/i> • • • 2/« hierbei jedesmal nur ein System von Werthen möglich ist. So wird man für jede Zahl B(ß) durch Betrachtung der Producte 2?* (6) /i(6) insbesondere n Gleichungen (6) B,(e) B{Q) = luB,(Q) + • • . + InkBnie) (Z: = 1, . . . n) mit rationalen Zahlen l^k finden; diese ziehen dann weiter -ß,(0,O B{Qn) = likBAO,) + "■ + InkBnÜd,) (Jh Ä: = 1, . . . ^0 nach sich, woraus man durch Hinzufügen von — tBf;(Qf^ auf beiden Seiten, unter t irgend eine Grösse verstanden, noch Ä(e,) (^(0,) - 0 = ^1* ^1 (ö/O H \-^nk J5„(e,,) — tB,{Q,) {h, Je = l, ... n) ableitet. Nach dem Muitiplicationssatze der Determinanten entnimmt man aus den vorstehenden Gleichungen: i?,(e,), ... i?„(e,) ■ßi(e«), /. /^l(0n), • • • Bnißn) ^ hil j • • • Kn t und indem die Determinante | Bk{Qh) | hier von Null verschieden ist, il) {Biß,) -t) ... (i?(0„) - 0 = nl, .. L Danach sind nun B(Q^), . . . jB(0„) die n Wurzeln der Gleichung w**'" Grades in t, welche durch Nullsetzen der Determinante rechts in (7) entsteht. In dieser Gleichung stellen sich alle Coefficienten als ratio- nale Zahlen dar; sowie B(Q) eine ganze Zahl ist, erscheinen sie ferner durch die vorstehende Identität sämmtlich als ganze algebraische Zahlen und sind dann also sämmtlich ganze rationale Zahlen. Für ^ = 0 erhält man aus (7): (8) NmJ?(e) = |4*|. Danach ist jede Norm eine rationale Zahl und die Norm einer ganzen Zahl i>(0), indem sie sich von vorn herein gleichfalls als ganze Zahl Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 127 darstellt, immer eine ganze rationale Zahl; insbesondere wird des- halb, wenn B{B) eine von Null verschiedene ganze Zahl ist, Nml?(0) immer einen absoluten Betrag ^1 haben. Weiter ist dann jede Discriminante als Product aus Nm/^(9) in eine rationale Zahl gleichfalls eine rationale Zahl. Sind ^1(6), .. . An(Q) irgend n ganze Zahlen, so stellt (0) X,Ä,{Q) + ^-^ + XnAn{Q) für rationale ganze Zahlen ic, , ... Xn gleichfalls immer eine ganze Zahl vor. Man kann nun in dem durch 8 Charakter isirten Gattungs- bereiche immer n solche ganze Zahlen -4i(6), ... ^„(6) finden, dass durch diese Form (9) für rationale ganze Zahlen x^, . . . Xn alle ganzen Zahlen dieses Bereichs ausnahmslos dargestellt werden. Denn zunächst kann man in diesem Gattungsbereiche gewiss n ganze Zahlen Z»j(0), .. .. Z»„(G) mit einer von Null verschiedenen Discriminante finden, z. B. stellen 1, 9, ... 8"""* solche n Zahlen vor. Dann ist jede Zahl ^(8) dieses Bereichs auf eine Weise durch (5) mittelst rationaler Werthe y^^ ... «/„ darstellbar; nennt man die grössten in diesen Werthen y^, ... y» enthaltenen ganzen Zahlen Tj, ... Y«, so kann man jedesmal J5(0) = Y,B,{^) + • . • + YnBn(Q) + n^) setzen, wobei dann ^**(8) durch (5) mittelst solcher rationaler Werthe 2/, , ... yn dargestellt sein wird, die den Bedingungen (10) 0£y, 1, so kann keine der Zahlen ^(8), 2^(8), . . . (l — 1)^(8) in Bezug auf den Modul i?i(8), . . . 5„(8) Null als Rest ergeben und mit Rücksicht auf diesen Umstand können dann weiter auch nicht zwei dieser Zahlen denselben Rest in Bezug auf diesen Modul ergeben, giebt es dann also (die Zahl 0 eingerechnet) sicher mindestens l verschiedene ganze Zahlen W{Q). Nun ist die Anzahl aller vorhandenen ganzen Zahlen W(Q) endlich, denn man kann für sie leicht eine obere Grenze angeben, nämlich für jede Zahl ^(8) hat man wegen (10): abs ^(8,,) < abs 2?i(8/,) H h abs ^„(8,0 (A = 1, . . . n), 128 Viertes Kapitel. und daraus entnimmt man weiter für die Beträge aller Coefficienten in der Gleichung (t - ip-Oi)) . . . (^ - ^(e„)) « 0, der diese Zahl zu genügen hat, obere Grenzen. Bei einer ganzen Zahl ^(6) nun müssen nach dem bei (7) Bemerkten die Coefficienten dieser Gleichung sämmtlich ganze rationale Zahlen sein, und dann kommen, weil obere Grenzen für ihre Beträge da sind, für sie nur eine endliche Anzahl von Werthen, für die ganzen Zahlen ^(8) mit- hin nur die Wurzeln einer endlichen Anzahl von Gleichungen w*®° Gra- des in Frage. Indem damit dem Obigen zufolge zugleich für die Generalnenner Z der Systeme ^i, . . • «/«; ^^^ ^^^ ganze Zahlen ^(0) führen, eine obere Grenze entspringt, wird man nun im Stande sein, eine endliche Anzahl von Zahlen ?P'(6) anzugeben, unter welchen alle von diesen Zahlen, die ganz sind, vorkommen müssen, und dann wird man mit Hülfe der Gleichungen (7) für diese Zahlen sämmtliche ganzen unter ihnen aussondern können. Man stelle sich nun die sämmtlichen, offenbar ebenfalls nur in endlicher Anzahl vorhandenen ganzen Zahlen ^(6) vor, welche durch (5) mittelst solcher rationaler yj , ... y« dargestellt werden, die den Bedingungen 0. Es ist so die rationale ganze Zahl D durch 8 vollkommen bestimmt als die dem absoluten Betrage nach kleinstmögliche, von Null verschiedene Discriminante, die bei n ganzen Zahlen B{^) vorkommen kann; es wird D die Grundzahl von 8 (des durch 8 charakterisirten Gattungs- bereichs) genannt. — Man erkennt noch, dass, sowie n ganze Zahlen ^j(8), ... Bn(h) als Discriminante die. Zahl B ergeben, in den für sie geltenden Darstellungen (12) die Determinante der ganzen Zahlen Xkk stets gleich + 1 ist, und man durch Auflösung dieser Gleichungen daher immer -4i(8), ... ^«(8) und damit weiter eine jede ganze Zahl 5(8) auch in der Form üy^ Bk{Q) mittelst rationaler ganzer Werthe y^ dargestellt findet. Bei einem tieferen Eingehen in das Wesen der ganzen algebrai- schen Zahlen zeigt es sich, dass die Beziehungen eines Gattungsbereichs B (8) zu irgend einer gegebenen natürlichen Primzahl einen wesentlich verschiedenen Charakter tragen, je nachdem die Primzahl in der Grund- zahl D des Gattungsbereichs aufgeht oder nicht, so dass es deshalb berechtigt erscheint, die in D enthaltenen Primzahlen als die kriti- schen Primzahlen für 8 zu bezeichnen. Die kritischen Primzahlen Minko\s'ski, Geometrie der Zalileu " 130 Viertes Kapitel. für eine irrationale algebraische Zahl spielen eine in gewissem Sinne ähnliche Rolle wie die Verzweigungspunkte für eine irrationale alge- braische Function einer Variablen. Von der grössten Bedeutung für die Theorie der algebraischen Zahlen ist nun der Satz: Für jede irrationale algebraische Zahl ist mindestens eine kritische Primzahl vorhanden, ein Satz, der sich offenbar auch so aussprechen lässt: Die Grundzahl D einer irrationalen alge- braischen Zahl G ist immer verschieden von + 1. Dieser Satz kann in verschiedener Weise aus den Ergebnissen der letzten Abschnitte gefolgert werden. I. Es seien von den n Wurzeln G^ , . . . 9„ im Ganzen r reell und 2s imaginär, sodass r-\-2s^='n ist und eine der Zahlen r, s auch gleich Null sein kann; es mögen G^, . . . 9„ in dieser Reihe so geordnet vorausgesetzt werden, dass darin zuerst die etwa vorhandenen reellen Wurzeln auftreten, dann je eine Wurzel von jedem irgend vor- handenen Paare conjugirt imaginärer Wurzeln und endlich die zweiten Wurzeln der Paare in der entsprechenden Folge, sodass also Ga für /i = 1, ... r reell ist und ferner für /^ = r + 1, • • • ^ + s immer 0Ä und Ga4-4 conjugirt imaginär sind. Es mögen sodann n positive Grössen q, ... c„ irgendwie so gewählt werden, dass man für Ä = r + 1, ... r -\- s immer C/, == Cu^s und überdies noch (13) Cj . . . C„ = Ci . . . CriCr^l . . . CrJ^.f = 1 hat. Man genügt diesen Bedingungen z. B. durch die Annahme Ci = 1, ... c„ = 1, und auch nur durch diese, wenn w = 2, s = 1 ist; in jedem anderen Falle (n immer > 1 vorausgesetzt) ist r + s = ^ + ^>l und können von den r -\- s positiven Grössen Cj, ... Cr^s immer r -f- 6' — 1 nach Belieben festgesetzt werden. Nun sei Ai(Q)j . . . An(0) irgend ein System von n ganzen Zahlen im Gattungsbereich von G mit der Grundzahl D von G als Discrimi- nante, und es werde ^1 A(e/0 + • ■ • + XnAn(e„) == 4(Ga), ~-=- Vn Ql = 1, . . . «) gesetzt. Es sind dann i>, , ... i;„ n lineare Formen in x^, . , . x,i mit 1 einer Determinante = -|- Z)^ ; man kann sie der Reihe nach Anwendungen der Torhergehenden Untersuchung. 131 Si,... So 1/2 ' * " V2 ' V 2 ' * * * V'i schreiben^ und dann sind ^^^^ . . . rjs, ^ n lineare Formen in iCi, . . . ir„ j_ mit lauter reellen Coefficienten und einer Determinante = + abs2)^ Nach 37. kann man nun immer rationale ganzzahlige Werthe für x^, ... Xn finden, welche nicht sämmtlich Null sind und dabei die 1 Beträge von |i, ... rj,, g, sämmtlich ^ abs 2)^'» machen, und für solche Werthe wird man dann auch (14) abs Vi ^ abs D^" , ... abs r« ^ abs D*» haben, während zugleich -4(0) für sie eine von Null verschiedene ganze Zahl und Nm Ä (0) deshalb dem absoluten Betrage nach mindestens gleich 1 sein wird. Nun hat man mit Rücksicht auf (13) V, ... Vn = A{Q,) . . . ^(e„) = Nm ^(e), und wird mithin auch v^ . . . Vn für jene Werthe einen absoluten Be- trag ^ 1 annehmen} es muss dann von den Beträgen abs fj, . . . abs t;„ entweder mindestens einer > 1 oder sie müssen alle = 1 werden. Im ersteren Falle folgt aus (14) : 1 < abs D. Im letzteren Falle müssten Cj , ... c„ den absoluten Beträgen der ganzen algebraischen Zahlen ^(Oi), ... Ä(Qn) gleich sein und damit auch selbst ganze algebraische Zahlen sein. Ein solcher Um- stand aber lässt sich, weni^ nicht gerade w = 2, s = 1 ist, immer durch geeignete Festsetzung von q, . . . c^ vermeiden, denn nach dem Obigen kann, von diesem Ausnahmefalle abgesehen, immer über einen Theil jener Grössen willkürlich verfügt werden, und nimmt man darunter beispielsweise eine ==-Y' ®^ ^^^ ®^® sicher keine ganze al- gebraische Zahl. Also ist damit, bis auf den Fall n = 2, 5=1, erwiesen, dass immer absZ)>l, also D von 4:1 verschieden ist. In diesem hier noch nicht erledigten Falle könnte leicht durch directe Aufstellung aller möglichen Grundzahlen D gezeigt werden, dass darunter — 1 nicht vorkommt*); doch wird die Ungleichung D^±l sofort noch auf anderem Wege für alle Fälle ohne Ausnahme er- halten werden. ') Dedekind, a. a. 0. Seite 499. 132 Viertes Kapitel. II. Wird zunächst s > 0 vorausgesetzt, so kann auf die Formen Uj, . . . v„ der Satz aus 39. in Anwendung gebracht werden: Es giebt dann immer ganze Zahlen x^j ... rc«, die nicht sämmtlich Null sind und für welche abs .... abs sämmtlich (15) <(|)"absD2» werden. Diese Ungleichungen haben mit Rücksicht auf (13) abs Nm*^ (9) < ( -)" abs D^ zur Folge, und indem gleichzeitig abs Nm A (8) eine positive rationale ganze Zahl und deshalb ^ 1 wird, entnimmt man daraus (I)" < abs D, umsomehr also, da y > 1 ist, 1 < abs D, Es ist noch bemerkens- werth, dass diese Folgerung i) ^ + ^ ^^^ dem Satze bei (15), unter der hier gemachten Annahme s > 0 , sogar zu entnehmen gewesen wäre, wenn dort an Stelle des Zeichens < vielmehr, wie es der Satz aus 30. zunächst ergiebt, das Zeichen ^ figurirte. Der Satz bei (15) gilt nun mit genau denselben Ausdrücken (mit dem Zeichen <) auch noch im Falle s = 0 und führt dann hier ebenso zur Ungleichung abs D > 1. Es ist dieser Umstand dem be- sonderen Charakter zu danken, den hier Vj, ... Vn zufolge ihrer Ent- stehung aus der algebraischen Zahl 9 tragen. Nämlich wenn s = 0 ist, sind die Formen v^, . . . Vn sämmtlich reell; bedeutet dann Jlf den kleinsten Werth der Function, welche durch das Maximum unter den Beträgen abs v^j ... abs v„ dargestellt wird, für rationale ganze, von 0, . . . 0 verschiedene Zahlen x^, ... a;„, so ist (16) abs v, ^M, . . . abs Vn^M ein Parallelepipedum, welches im Inneren ausser dem Nullpunkte keinen Punkt mit ganzzahligen Coordinaten, aber solche Gitterpunkte auf der Begrenzung enthält. Nun stellt eine Form CaVa = ^(0a); unter h jedesmal eine feste der Zahlen 1, ... n verstanden, für ver- schiedene ganzzahlige Systeme ic^, ... Xn lauter verschiedene alge- braische Zahlen dar, und kann also in einer Ebene Vh = const. niemals Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 133 mehr als ein Gitterpimkt liegen; es befinden sich danach auf der Be- grenzung des in Rede stehenden Parallelepipedum höchstens 2n Gitter- punkte. Indem wegen w > 1 immer 2n < 2" + ^ — 2 ist, vermag aus diesem Grunde dem Satze in 32. zufolge das Volumen dieses Parallel- epipedum nicht = 2* zu sein, sondern muss < 2" sein; diese Un- 1 gleichung lauft nun auf -3f 1 für s = 0 bereits aus dem leichter zu veri- ficirenden Umstände erschliessen, dass ein solches Parallelepipedum ein Volumen kleiner als 2'» haben muss. 42. Untere Grenze für den absoluten Betrag einer Disoriminante. Es mögen Vj, ... t>„ dieselbe Bedeutung wie in 41. haben; es soll jetzt auf diese Formen der Satz aus 40. in Anwendung gebracht werden, der das Minimum von . __ /(abB T,,f -}-... -f (aba t>jP\ ' V n ' für rationale ganze Zahlen x^, . . . Xn, die nicht sämmtlich Null sind, betrifft, wobei für p eine beliebige reelle Grosse > 1 eintreten kann. Zunächst ist hervorzuheben, dass der in 40. bemerkte Ausnahme- fall hier durch die besondere Natur der in Betracht kommenden Formen u^, . . . Vn ausgeschlossen erscheint. Jene Ausnahme für ^ = 1 würde eintreten, wenn man « = 2, s == 0 hat (die Disoriminante würde dann einen positiven Werth haben und dürfte nicht das Quadrat einer rationalen Zahl sein), und wenn zugleich eine Substitution mit rationalen ganzen Coefficienten Ikk und einer Determinante + 1 134 Viertes Kapitel. existirte, durch welche die zwei Formen ^' — ^'^ in y^ + A22/2) V^ 'iber- gingen. Erlangten durch diese Substitution dann v^ und Vg die Ausdrücke «n^/i + ^nV^y "21^1 + ^^-iV^y ^^ müsste also i_ _£ _i_ abs a^i = abs «21 =" ^ ^ J^^ > «n «22 — "12 ^^21 =ji: -^^ > mithin ^22 1^ __ I o of*i a,, — sein. Es würden aber -^ und -^ als zwei conjugirte Zahlen in den Formen ^ + *e )/!D und t — u yS mit rationalen Werthen t, u er- scheinen, und müsste also w]/I) = + l werden; solches aber wäre unmöglich, da YD irrational wäre. Der Satz aus 40. III nun mit der letzten Bemerkung, weiter der Umstand, dass man (vgl. 40. II) immer n abs V, ... Vn£\ ^ (p > 0) hat, endlich, dass für ganze Zahlen x^y ... :c„, die nicht sämmtlich Null sind, immer abs Vj ... y« == abs Nm J. (9) ^ 1 ist, führen zur Ungleichung abs /; > iV^^ (i> ^ 1), wobei unter Np die in dieser Weise in 40. IL bezeichnete Grösse zu verstehen ist. Wie dort gezeigt wurde, nimmt die Grösse Np mit abnehmendem p continuirlich zu, und danach fällt die vorstehende Bedingung für D am schärfsten bei der Annahme p = 1 aus. Man gelangt so zu dem Satze: " Die Grundzahl D für eine irrationale algebraische Zahl 0, welche einer Gleichung mit rationalen Coefficienten vom j^ten Grade mit 2s imaginären Wurzeln, und keiner Gleichung von niedrigerem Grade mit rationalen Coefficienten, genügt, hat immer einen absoluten Betrag >((T)'r^)' Letztere Grösse ist dem bekannten asymptotischen Ausdrucke für n! zufolge sicher grösser als 1 (fr- 2n— - 6n 2nn Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. I35 Danach muss z. B. für w = 2 eine Grundzahl 2), wenn sie nega- tiv (s = 1) ist, < — Y j ^Is ganze Zahl also ^ — 3, wenn sie posi- tiv (s = 0) ist, > 4, also ^ 5 sein. Die Wurzeln von 9^ + 6 -|- 1 = 0 und e'^ + 6 — 1=0 besitzen als Grundzahl — 3 beziehlich 5. Für w = 3 muss D > 20, . . . oder < — 12, ... sein. Indem die hier für den absoluten Betrag einer Grundzahl ermit- telten unteren Grenzen, die von n und s abhängen, mit der Zahl n über jede Grenze wachsen, erkennt man beiläufig: Eine gegebene Zahl D kommt immer nur bei einer endlichen Anzahl von Ordnungea n als Grundzahl algebraischer Zahlen in Betracht. 43. Einheitswurzeln in einem Gattnngsbereich algebraischer Zahlen. Es möge noch immer an den in 41. eingeführten Bezeichnungen festgehalten werden. Ist ^(ö^ eine beliebige von Null verschiedene ganze Zahl in dem durch 0 charakterisirten Gattungsbereiche, so hat, wie schon mehrfach benutzt wurde, das Product Ä{Q^) ••• J(6») jedesmal einen absoluten Betrag > 1, und giebt es infolgedessen unter den conjugirten Zahlen ^(Bj), . .•• ^(0„) entweder mindestens eine mit einem absoluten Betrag > 1 oder haben diese Zahlen alle einen absoluten Betrag =1. Es soll hier untersucht werden, an welche Umstände der letztere Fall geknüpft ist. Es sei ^i(O), ... ^„(0) ein System von n ganzen Zahlen im Gattungsbereich von 0 mit der Grundzahl von 0 als Discrimiuante, sodass jede ganze Zahl Ä (0) dieses Bereichs durch (1) :^i^,(e)H + x„Än{Q) mittelst rationaler ganzer Zahlen x^, ... x>t darstellbar ist. Es gehe aus dieser Form mittelst der rationalen ganzen Werthe 2', =2hr ' ■ ' ^n = Pn eine Zahl P(0) hervor, für welche ^(01), ... P(0n) sämmtlich einen absoluten Betrag = 1 haben; die Zahl — P(0\ welche durch diese Form mittelst x^ = — p^, ... Xn = — Pn dargestellt wird, trägt als- dann gleichfalls den hier in Frage kommenden Charakter. Es können dabei nicht i\, . . . Pn sämmtlich gerade sein, denn sonst würde auch — P(0) eine ganze und von Null verschiedene Zahl vorstellen, und für sie würden die« conjugirten Zahlen ~P{Oh) sämmtlich abso- lute Beträge < 1 haben. 136 Viertes Kapitel. Giebt es nun ausser P(0) und ~ P(0) im Gattungsbereich von 6 noch eine weitere ganze Zahl ö(ö), für welche ö(öi)? ••• Ö(ön) sämmtlich einen absoluten Betrag = 1 haben, so können, wenn Q(ß) durch (1) mittelst der rationalen ganzen Werthe iCi = g*! , . . . a?» == g'n dargestellt wird, nicht alle n Congruenzen qx^-Px, ... g'n^i5»(mod2) auf einmal bestehen. Denn sonst würde offenbar ^ — ^— ebenfalls durch (1) mittelst rationaler ganzer Zahlen x^y ... Xn dargestellt sein, erwiese sich diese Zahl also als ganze Zahl; sie wäre ferner von Null verschieden; und man würde schliesslich, indem jeder Quotient ^, > einen absoluten • Betrag = 1 hätte, aber von — 1 verschieden, also jedenfalls nicht ireell und dabei ^0 wäre, für jeden Werth Ä = 1, ... n die Ungleichung abs — — <— abs Q(ßf;) i- — abs P{d^), also abs — — - < l haben. Dieser letzte Umstand aber würde dem Obigen zufolge den zwei zuvor genannten widersprechen. Aus dieser Betrachtung ist nun ersichtlich, dass ganze Zahlen yl(0), für welche A{Qi), ... -4(6») sämmtlich einen absoluten Betrag = 1 haben, höchstens in der Anzahl 2"+^ — 2 möglich sind (vgl. auch 31.). Da nun dieser Charakter, sowie er einer Zahl Ä{Q) zu- kommt, offenbar auch allen ihren Potenzen {Ä (0))°, ^(0), {Ä (0))^, . . . eigenthümlich ist, können dann in einer solchen Reihe von Potenzen auch niemals mehr als 2"+^ — 2 verschiedene Zahlen auftreten, und entnimmt man daraus weiter, dass für eine Zahl ^(0) von jenem Charakter immer eine Gleichung -{Ä (0))"* = 1 mit einer Zahl m aus der Reihe 1, ... 2" + ^ ~ 2 als Exponenten bestehen, somit Ä(ß) immer eine Wurzel der Einheit sein muss. Besteht umgekehrt für eine Zahl -4(0) eine solche Gleichung, so müssen alle n Werthe Ä(ßx)) ••• -4.(0«) diese Gleichung befriedigen, und haben sie dann in der Tbat sämmtlich absolute Beträge = 1. Kommt unter den Wurzeln 0^, ... 0„ mindestens ein reeller Werth vor, ist also r > 0, so ist von je n conjugirten Zahlen Ä (0*) auch immer mindestens eine reell, und giebt es dann ausser 1 und — 1 gewiss keine Zahl ^(0), welche eine Einheitswurzel wäre. Auwundungen der vorhergehenden Untersuchung. 137 44. Theorem von Dirichlet über die complexen Einheiten. Es sei 9 eine irrationale ganze Zahl, sie genüge einer algebrai- schen Gleichung mit rationalen Coefficienten vom n^^ Grade, und keiner solclien Gleichung von niedrigerem Grade; n ist dabei sicher > 1; es seien G^, ... 9« die sämmtlichen Wurzeln jener Gleichung, und es seien von ihnen r reell und 2s imaginär. Eine Einheit im Gattungsbereiche von 9 wird jede ganze Zahl ^(9) daselbst genannt, für welche Nm^(9), d. i. das Product A{Q^ ••• ^(9„), gleich J:; 1 ist. Wenn n === 2 ist und Gj, 92 beide imaginär sind, haben conjugirte Zahlen ^ (9i), ^(Oj,) immer gleichen absoluten Betrag und müssen also, wenn ihr Product = + 1 sein soll, beide einen absoluten Betrag = 1 haben. In diesem Falle, der durch r -{- s = 1, (r = 0, s = \) charakterisirt ist, sind dann nach 43. die Einheiten ^(9) nothweudig Einheitswurzeln und höchstens in der Anzahl sechs vorhanden. In allen anderen Fällen aber existiren im Gattungsbereiche von 9 immer unendlich viele Einheiten. Diese Thatsache und den Zusammenhang der verschiedenen in einem Gattungsbereiche vorhandenen Einheiten hat Dirichlet aufgedeckt; die Hülfsmittel, deren er sich dabei be- diente, sind von bewundernswürdiger Einfachheit. Wie die in 38. ^ ^^^. mitgetheilte Betrachtung von Kronecker besonders auffällig zeigt, sind ein Theil derjenigen Eigenschaften linearer Formen, welche das arithmetische Theorem über die nirgends concaven Körper mit Mittel- punkt in sich schliesst, bereits durch die einfache Bemerkung zugäng- lich, dass, wenn eine Anzahl von Werthsystemen in eine kleinere Anzahl von Bereichen fallen, mindestens zwei Systeme darunter in denselben Bereich zu liegen kommen müssen, und dieser so auf der Hand liegende Umstand erscheint bei Dirichlet als die eigentliche Quelle seiner Sätze über die complexen Einheiten. Wie interessant es nun auch ist, dass eine anscheinend triviale Wahrnehmung solch tiefe Folgerungen zulässt, so glaube ich doch, dass das Zustandekommen der Dirichlet'schen Sätze anschaulicher wird, wenn man das allge- meine hier entwickelte Theorem über die nirgends concaven Kr>rper voraussetzen darf. I. Unter einer Ordnung im Gattungsbereiche von 0 vorsteht man die Menge der durch eine Form (1) x^B,{Q) -{- - " + X,. ßn (d) = B(e) 138 Viertes Kapitel. mittelst rationaler ganzer Werthe x^j ... Xn darstellbaren Zahlen, wenn dabei die Coefficienten jBi(e), ... Bn{ 0 aus oder = 0, wenn insbesondere B{B) eine Ein- heit vorstellt. Von dem Falle w = 2, r = 0 soll jetzt abgesehen werden. In jedem anderen Falle (w > 1 vorausgesetzt) ist r + 5 = y -\ — ^ > 1, und lässt sich gewiss eine solche lineare Form in «^, , ... iVr^s- aufstellen, die nicht bloss ein Product aus fr-^s in eine Constante ist. Man kann dann in der betrachteten Ordnung (1) immer eine Einheit finden, für deren Functionen w^ ... Wr-\.s der Aus- druck f* nicht verschwindet. Wenn c^, ... Cr^, irgend welche positive Grössen vorstellen, für die man (3) Ci .. . Cr(Cr + l ... Cr^.y === 1 hat, so giebt es nach den üeberlegungen aus 41. IL in der Ordnung (1) immer mindestens eine von Null verschiedene ganze Zahl ^(6), für welche 140 Viertes Kapitel. abs jB(ei) abs B{%_^^) sämmtlich < f— j abs J^" sind; letztere Grösse möge als Exponential- grösse e^' geschrieben werden. Die Bemerkungen bei (2) zeigen, dass diesen Bedingungen immer nur eine endliche Anzahl von Zahlen der Ordnung genügen können und wie diese sich alle ermitteln lassen; ihre Normen werden immer absolute Beträge < e"^ haben. Es sei nun y,, ... yr+s ein beliebiges solches System von reellen Werthen, wofür (4) )'. + •• + y.- + 2yr+i + ■ • • + 2yr+, = 0, aber von Null verschieden ausfällt. Der Bedingung (3) geschieht dann durch c, = /'", . . . Cr+, = e''^+'" Genüge, unter u einen willkürlichen reellen Parameter verstanden. Man wird also bei jedem Werthe von u in der Ordnung (1) immer mindestens eine von Null verschiedene Zahl B(Q) finden können, deren Norm einen absoluten Betrag < e^^ hat und für deren Functionen Wij ... Wr^s die Ungleichungen bestehen: (5) • iv^ ~ y^u - (n - l)F für /^ == l, . . . r; > - (y - i)f für /* = r + 1, . . . r + s. Aus (5) und (G) erschliesst man nun sofort je eine Grösse ß> und /5", die kleiner, beziehlich grösser als ist, und man findet die Function f* für die betreffende Zahl i)*(e) alsdann > au -{- ß> und 0 ausfallen, und endlich wird NmM^(e) M*(!d) gleichfalls noch durch (1) mittelst rationaler ganzor Zahlen a;, , ... x^ darstellbar, also eine Zahl der Ordnung sein. Nach dem am Anfang Nm Mf (9) Bemerkten wird dann auch ^ ' M*(ß) eine Zahl der Ordnung sein, und da überdies in einer Ordnung immer die Zahl 1 vorkommt, erweist sich schliesslich auch als eine Zahl der Ordnung, vor Allem also auch als ganze Zahl. In Q{Q) hat man nun nach Allem diesem eine solche Einheit gewonnen, wie sie als existirend nachgewiesen werden sollte. IL Es sei nun, r + s > 1 vorausgesetzt, /i eine beliebige solche lineare Form in w^, ... Wr+sj welche nicht ein Prodüct aus fr+s in eine Constante ist, und öi(ö) eine Einheit in der Ordnung (1), für deren Functionen w^, ... tOr^s die Form /i > 0 ausfällt. Ist noch r + s > 2, so kann man dann zu dieser ersten Einheit nach folgendem Principe successive weitere Einheiten hinzufügen, immer bis man ein 142 Viertes Kapitel. System von r -\- s — 1 Einheiten öi(ö), ••• ör+5— i(ö) erlangt: Nachdem man für ein h — 1 <.r -\- s — 1 die Bedeutung der Ein- heiten Öl (8), ... Qh—i(Q) bereits festgelegt hat, kann man noch eine lineare Form f^ in w^^, . . . Wr-\.s so annehmen, dass sie für die diesen h — 1 Einheiten zugehörigen Systeme w^y ... Wr^s verschwindet und dabei doch nicht ein Product aus fr^s in eine Constante ist, und dann wähle man die Einheit Q^ (6) in der Ordnung so, dass für sie /i > 0 ausfallt. Zwischen den r -\- s Formen ^, . . . fr+s—ij fr-{-s, die man in solcher Art einführt, kann dann keine Beziehung ^ifl + • • • + ^r + Ä-l/'r + s-l + 8r^sfr-\-s = 0 mit Constanten d^, die nicht sämmtlich Null sind, bestehen; denn es könnte dabei nicht dr-f, allein von Null verschieden sein, und wäre ein früherer Coefficient d^ der erste von Null verschiedene, so würde die Betrachtung der Einheit Öa(9), für welche /i+i, ... /r+» Null sind, aber fh nicht verschwindet, zu einem Widerspruche führen. Es können infolgedessen umgekehrt w^, ... Wr^s durch /i, ... fr^s aus- gedrückt werden. Nun wird man in den folgenden Werthen für die Variabein Wk'. (7) w;A;==9)ilogabs(>i(ei)H [- g)^^_,_i log abs ör+,-i (8*) (Ä=l,...r + s) bei beliebigen Werthen von tp^j ... 9^+5—1 immer eine Lösung der Gleichung ^r+a = 0 haben, und es entsteht ferner durch Einsetzen dieser Ausdrücke für die Grössen Wh'. fh = £hh(Pb-i h £h,r+s-l 0 ergiebt; es können danach qjr+s—if • • • 9>i successive und immer nur auf eine Art so angenommen werden, dass durch die Ausdrücke (7) die Formen fr^a—iy - ' - fi beliebig vorgeschriebene Werthe erhalten, und stellen so die Ausdrücke (7) jede mögliche Lösung von fr^s =* 0 und jede nur auf eine Weise dar. Danach gehören nun auch zu jeder Einheit in der Ordnung ganz bestimmte Werthe ^j, ... q)r^s—i, mit welchen die Ausdrücke (7) den Functionen Wj, ... Wr+s der betreffenden Ein- heit gleich werden. Dabei können nur für eine endliche Anzahl von Einheiten — und zu diesen werden die Zahl 1 und die Einheiten 0i(8), ... Qr+,-i(Q) gehören — sich die sämmtlichen Ungleichungen *(8) 0^91^1, ... 0£cpr+s-i£i herausstellen. Denn sowie für eine Einheit Q{Q) diese Ungleichungen bestehen, entnimmt man aus (7): Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 143 log abs e(G,) ^ log abs Q^i^k) + •• + log abs ör+.-i (e*) {k = l,...r + s) und daraus weiter obere Grenzen für sämmtliche Beträge abs §(6*), ein Umstand, durch den, wie bei (2) ausgeführt wurde, die Zahl Q(Q) bereits unter eine nur endliche Anzahl von Zahlen der Ordnung ver- wiesen wird; aus diesen sind dann leicht durch Bildung der Normen (nach 41. (8)) die Einheiten herauszufinden. Insbesondere werden so in der Ordnung auch nur eine endliche Anzahl von solchen Einheiten 0(6) vorhanden sein, für welche y^, ... q)r^s—i sämmtlich gleich Null ausfallen, oder, was auf das Nämliche hinausläuft, von solchen ganzen Zahlen, für welche w^j ... Wr^s sämmtlich Null sind. Da nun mit einer ganzen Zahl 0(9) dieser Art immer auch alle ihre Potenzen (0(0))^, 0(0), (0(0))^, . . . eben diesen Charakter tragen, können dann in einer solchen Reihe von Potenzen jedesmal auch nur eine endliche Anzahl verschiedener Zahlen auftreten, d. h. die ganzen Zahlen 0(0), für welche w^^ ... Wr^s sämmtlich Null sind, müssen Einheitswurzeln vorstellen (vgl. 43.); umgekehrt leuchtet ein: wenn für eine Zahl 0(0) eine Gleichung (0(0))"» =1 mit positivem ratio- nalem ganzem Exponenten m besteht, genügen O(0i), ... 0{Qr+s) sämmtlich dieser Gleichung und sind somit die Functionen Wj^^ ...Wr+s für 0(0) immer sämmtlich Null. Man denke sich nun die endliche Anzahl von Systemen 9i, ... (fr-^s—i im Bereiche (8) aufgesucht, welche Einheiten der Ordnung entsprechen, sehe von dem Systeme 0, ... 0 darunter ab, und vertheile die übrigen dieser Systeme in r + 5 — 1 Gruppen so, dass die h^ Gruppe jedesmal diejenigen Systeme zugewiesen erhalte, in welchen 9^ von den Werthen (p^, ... 9)^4-5-1 der letzte von Null verschiedene ist. Insbesondere ist dabei immer das System, zu welchem Qh(ß) Veranlassung giebt, in die h^ Gruppe aufzunehmen, so dass also jede Gruppe wirklich mindestens ein System aufweisen wird. Man wähle dann in der h^^ Gruppe ein solches System aus, worin g)h mög- lichst klein ist; es sei Q/, der dabei eintretende Werth von (fh und es sei Pa(0) irgend eine Einheit in der Ordnung, welche auf das betreffende System qp^ , ... g)r-\.s— 1 führt. Es giebt dann kein System 9?i, ... (fr+s—i ausser dem Systeme 0, ... 0, für welches man (9) 0 ^(fr + s-l < ^r+.-i, . . . 0^(p, < 0, hat und welches dabei zu Einheiten in der Ordnung gehörte. Liegt nun eine beliebige Einheit §(0) der Ordnung vor, und be- trachtet man die Darstellung (7) für die Functionen Wi, ... Wr-{.s dieser Einheit, so wird man nach einander rationale ganze Zahlen 144 "Viertes Kapitel. nir^s—iy . . . m^ und offenbar nur auf eine Weise so bestimmen können, dass in der zu (7) analogen Darstellung für die Grössen Wk^ = log abs Q (Gjfc) — w,._|_,_i log abs Pr^,-.i{Qk) m^ log abs P^ (6*) Werthe g>r^.<,—ij ... (pi auftreten, welche die Bedingungen (9) erfüllen. Die hier geschriebenen Grössen stellen dann aber die Functionen w^j ... Wr+.l mit r reellen und 2s imaginären Wurzeln, und keiner Gleichung mit rationalen Coefficienten von niedrigerem Grade, so kann man, wenn r + s— 1>0 ist, in einer beliebigen Ordnung des durch 6 charakterisirten Gattungsbereichs immer r -\- s — 1 Ein- heiten Pi(6), ... Pr^s—i{Q) finden von solcher Art, dass durch wenn 0(0) alle in der Ordnung vorhandenen Einheits wurzeln und jeder der Exponenten Wj, ... tWr-f-«— i alle möglichen rationalen ganzen Zahlen durchläuft, jede Einheit der Ord- nung (und zwar jede nur auf eine W^eise) dargestellt wird; ist aber r -\- s — 1=0, d. i. w = 2, s = 1, so giebt es im Gattungsbereiche von 0 keine Einheit ausser Einheits- wurzeln. Z. B. hat man r + s — 1 = 1, wenn w == 2, r == 2, s == 0 oder n==3, r=l, s = 1 oder w ^ 4, r = 0, s = 2 ist; als Einheits- *) Diricblet, Monatsberichte der Berliner Akademie 1846 (auch Werke Bd. LS. 642). Vgl. dazu die Elntwickelung dieses Satzes bei Dedekind, Suppl. XI zu den Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet. — Verein- fachungen der Theorie der complexen Einheiten hat auch Krön eck er in zwei Aufsätzen, Comptes reridus der Pariser Akademie 1883, T und 1884, l zu geben gesucht. Anwendungen der vorhergehenden ünterauchang. 145 wurzeln 0 (6) treten in den beiden ersten Fällen, wo r > 0 ist, sicher nur + 1, in dem dritten Falle eventuell noch dritte, vierte, fünfte, achte Einheitswurzeln auf. In diesen drei Fällen kann man immer eine Einheit P(6) von solcher Art finden, dass alle Einheiten der be- trachteten Ordnung in der Form 0(0) (P(e))'" für alle rationalen ganzen Zahlen m geliefert werden. Der absolute Betrag einer in dieser Form dargestellten Einheit ist dann (abs PCG))™, so dass unter allen diesen Einheiten die Einheiten 0(6) P(e) und 0(0)-^ den grössten Betrag < 1 beziehlich den kleinsten Betrag > 1 haben wer- den, und man sieht leicht, dass von den letzteren Einheiten, unter welchen sich P(6) selbst findet, auch eine jede die Stelle von P(e) hier übernehmen kann. — Die in Rede stehenden Fälle haben z. B. statt, wenn 6 durch 9^ = D, 6^ = + A 6* = ■— D definirt ist und D eine beliebige positive rationale ganze Zahl, dabei aber im ersten Falle nicht das Quadrat, im zweiten nicht der Kubus einer rationalen Zahl ist. Die Aufsuchung der Einheiten in der Ordnung mit der Basis 1, 0, . . . 6"-^ läuft unter diesen Umständen auf die Lösung der Diophantischen Gleichungen a^ - Dy^==±\, a^ + Dy^ + D^z^ — 3Dxyz = ± 1, (x'- Dz' + 2Dyty \ + I){2xz - y^ + Dt'?] — ^ hinaus. III. Es werde unter ^(6) wieder die in x^j . . . Xn lineare Form (1) verstanden, und man greife in der durch B(Q) bestimmten Ordnung irgend eine von Null verschiedene Zahl Z(Q) heraus. Der durch (10) abs B(Q,)S abs Z(Qi), ... abs 5(6^4-,)^ abs ^(0,+,) definirte Körper in x^j ... Xn enthält dann jedesmal nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten, d. h. von ganzzahligen Systemen ü?,, ... x^. Findet man noch ausser dem Nullpunkte Gitterpunkte im Inneren dieses Körpers, so sei Z'(0) der Werth von B (Q) für irgend einen solchen Gitterpunkt darunter; es enthält dann der in entsprechender Weise aus Z (e) abgeleitete Körper, wie durch (10) aus Z(ß) ein ge- wisser Körper abgeleitet ist, jedenfalls weniger ganzzahlige Systeme ajj , ... Xn als der ^stere Körper. Es leuchtet daraus sofort ein, wie man von der Zahl Z{Q) aus durch eine endliche Anzahl von Opera- tionen zu mindestens einer von Null verschiedenen ganzen Zahl M(Q) in der Ordnung wird gelangen können von solcher Art, dass den Be- dingungen abs B (0i) < abs M(Q^), ... abs P(0,-+,) < abs itf (0r+,) Minkowski, Geometrie der Zahlen. ^0 146 Viertes Kapitel. durch keine von Null verschiedene Zahl B{Q) der Ordnung mehr ge- J3^ \ nügt wird. Die Zahlen Jf(0) von dieser Natur mögen die niedrigsten Zahlen der Ordnung heissen. Nach dem Satze bei (3) ist für jede dieser Zahlen die Function fr^s = log abs Nm M(ß) immer 0; man wird danach zu einer gegebenen, von Null verschiedenen Zahl M{^) immer und nur auf eine Weise rationale ganze Zahlen mr^s—i^ . . . m^ so bestimmen können, dass die Functionen /*r+s— i, • . • /l für die Zahl M(e) (iVs-i(ö))"-+^-i--.(^iW)-. die Bedingungen erfüllen: Die Ermittlung aller vorhandenen niedrigsten Zahlen kommt so " auf die Aufsuchung derjenigen unter ihnen heraus, welche die vorstehenden Bedingungen befriedigen. Indem nun zu diesen Bedingungen für eine niedrigste Zahl noch die Bedingung 0l. (B) In einem freien {A, ft) ist immer A^ Z, ft < m. Ein {A, fi) hat in x, y den Inhalt 4Aft. Die Grundlage für die folgende Untersuchung nun bilden die Ergebnisse aus 37., deren wichtigstes sich so aussprechen lässt: (C) Für ein freies (A, fi} ist immer Afi^ 1. Es wurde in 37. weiter gefragt, wann sich für ein freies {A, ft} insbesondere A/ii = 1 herausstellt. Es zeigte sich, dass U, -?-} und 1^ — , m } — bei endlichem i, beziehlich endlichem w, von diesen Pa- rallelogrammen soll nur unter diesen stillschweigenden Voraussetzungen gehandelt werden — freie {A, ft} vorstellen, und dass man für jedes audere freie {A, ft) immer Aja < 1 hat. — Nach (B) und infolge Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 149 der Existenz dieser zwei freien Parallelogramme wird in jedem äusser- sten {A, f*) ferner A^ — , f* ^ T sein. Wenn Im = 1 ist, hat man in {/, y) und (— , m} nur ein Pa- rallelogramm; dieses enthält dann zwei Paare von Gitterpunkten in den Mitten der Seiten und zwei Paare in den Ecken, im Ganzen also vier Paare, und ist zufolge (A) und (B) dann das einzig existirende äusserste {A, ^}. Ist Z endlich und Zm>l, so enthält {?, yl nach den Ausein- andersetzungen in 37. ein Paar Gitterpunkte in den Mitten der J-Seiten, im Ganzen also drei Gitterpunkte auf der Linie rj=0 (für |=s~/,0,/), sodann zwei Gitterpunkte auf der Seite i^ == — , einen für einen Werth ^ = — l*f der > — l und <0 ist und den anderen dann für J =« ^ — 2»^ endlich die zu diesen in Bezug auf o symmetrischen Gitterpunkte, im Ganzen ausser o drei Paarfe, keinen Punkt darunter in einer Ecke. Nach der hier auseinandergesetzten Beschaffenheit ist W, -i-f ininier ein äusserstes ( A, |tt ) . — Entsprechendes gilt von { — , m [ Ein freies [X, fi] endlich, in welchem Afi < 1 ist, enthält nach 37. niemals mehr als zwei Paare von Gitterpunkten. Danach wird nun ein jedes äusserste { A, ft } , für das man A < /, /i < w hat und für welches dann durchaus A/* < 1 sein muss, genau zwei Paare von Gitterpunkten enthalten, auf jeder Seite je einen Gitterpunkt und zwar niemals in einer Ecke, noch in der Mitte der Seite. Theilt man dann ein solches {A, |[*} durch die Linien | = 0 und ?; a= 0 in vier Qua- dranten, so liegt also keinef jener vier Gitterpunkte auf der Grenze zweier dieser Quadranten, und es können auch niemals zwei der vier Gitterpunkte in denselben Quadranten fallen, also gleiche Vor- zeichen sowohl von S wie von rj ergeben, denn wären x = py y ^^ q] X = Vj y ^= s zwei Punkte unter ihnen in demselben Quadranten, so würde x ^^ r — p, y =^ s — q sich als ein Gitterpunkt im Inneren von { A, u] erweisen, dabei aber von o verschieden sein. III. {Die Existenz mitidestens eines äussersten {X, fi}) Es sei /ü irgend ein positiver Werth < m, und es enthalte ein {A, fi) mit diesem Werthe (i abgesehen von den | -Seiten noch irgend welche Gitterpunkte ausser 0, also mit Beträgen abs J, die < A sind, wie dies nach IL sicher bei einem Werthe A > -- immer der Fall sein wird. Die betreffenden Gitterpunkte werden dabei jedesmal in endlicher An- 150 Viertes Kapitel. zahl vorhanden und wird wegen ft < m für sie durchweg abs | > 0 sein. Es sei A' der kleinste bei ihnen vorkommende Werth von abs J; dann ist {A', ^) in {A, ^} enthalten und hat mindestens ein Paar von Gitterpunkten auf seinen |- Seiten, aber kein Paar ausserhalb der- selben liegen, ist somit ein specielles freies Parallelogramm. Diese Herleitung von [X\ ftj aus {A, /it) möge das Senken der |- Seiten heissen. Enthält ein freies {A, ^] kein Paar Gitterpunkte, für das abs J < A ist, so hat man nach II. gewiss ^ < -r und ist also {A, ftj in {a, -y-f enthalten; letzteres Parallelogramm aber enthält nach IL sicher von 0 verschiedene Gitterpunkte auch noch ausserhalb seiner ^-Seiten, und für alle diese Gitterpunkte in ihm ist dann nothwendig abs rj > (i und es sei fi^ der kleinste bei diesen Punkten anzutreffende Werth von ahs rj. Dann ist {A, ftj also in {A, /iti} enthalten, und letzteres Parallelogramm ebenfalls noch frei, aber mit Gitterpunkten auf. seinen ly-Seiten, und ausserhalb der Ecken, versehen. Dieser üeber- gang von {A, ^) zu { A, fti } heisse das Heben der t^-Seiten. Entsprechend mögen die Operationen des Senkens der -»^-Seiten und des Hebens der ^-Seiten defiuirt werden. Ist jetzt A ein beliebiger positiver Werth < /, so kann man mit {A, -T-j das Senken der ?^-Seiten vornehmen, es entstehe {A, ^); dieses stellt sich dann als ein freies Parallelogramm dar und enthält ausser in 0 noch Gitterpunkte auf den ij- Seiten. Enthält es diese Gitter- punkte ausschliesslich in Ecken, so entsteht weiter aus {A, /Lt} durch Heben der ?^-Seiten ein { A, fi^ ) , das offenbar ein äusserstes sein wird. Enthält aber { A, f* ) auch Gitterpunkte, für die abs | < A, abs r} ^= fi ist, so ist jedes { A^, ^q] , wofür A^ ^ A, ^q> [i ist, sicher kein freies Parallelogramm; dann entsteht aus {A, ftj durch Heben der S-Seiten ein {A^, /«.), das sich als ein äusserstes darstellt, und kann es der eben gemachten Bemerkung zufolge kein äusserstes (Aq, ^q] geben, wofür Aj > A^ ^ A wäre, indem für ein solches dann nach (A) ^0 > JA sein müsste. Beachtet man noch das Parallelogramm 1^, -rj , so ist nun bewiesen: (D) Ist A irgend ein positiver Werth ^ ?, so giebt es immer ein bestimmtes äusserstes {Aj, fi^ j , worin Aj > A und dabei möglichst klein ist. Ist Im > 1, so kann man A gleichzeitig > — und ^l annehmen. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 151 und giebt es dann also noch mindestens ein von |— , m\ verschiedenes äusserstes Parallelogramm. IV. (Die Kette der äiissersten Parallelogramme.) Es möge /m > 1 vorausgesetzt werden. Ist dann {A, ^it) ein solches äusserstes Pa- rallelogramm, worin A>— (also ^l'j i^o> ^ ist, gewiss kein freies Parallelogramm. Aus {A', ^] entsteht dann weiter durch Heben der »^-Seiten ein { A', |it, j, das wieder ein äusserstes ist, und giebt es kein äusserstes { A", /Hq } , worin A > A^ > A' (oder ^ < fi-o < fij wäre. Denn hätte man dabei ^^ ^ fi. (oder bei der anderen Annahme A^ ^ A'), so wäre {A^, ^q] in {A, ft} (oder aber in {A'j /LtJ) enthalten im Widerspruche mit (A), und anderenfalls wäre jA^, ^q] nicht einmal ein freies Parallelogramm. Damit ist nun gezeigt: (E) Zu jedem äussersten | A, /*} , worin A > - ist, giebt es in ein bestimmtes anderes äusserstes {A', jUiJ, worin A' < A und dabei möglichst gross ist. So wird im Falle eines endlichen l zu { A, /it } = u, -=- } , wenn T den kleinsten Werth unter den in IL erwähnten Grössen Z*, l — l* bedeutet, A' = T gehören und somit jedenfalls l' ^— sein. Entweder ist nun Z* = ? — Z* = y? = T; in diesem Falle enthält {^'> -jl ^" allen vier Ecken Gitterpunkte, und kann daraus durch Heben der /^-Seiten nach den Bemerkungen in II. nur |— , ml hervorgehen, ist dann also T = — , Im = 2. Oder es ist V < -r- l und um so mehr dann Im > 2. — Indem aus einem freien {A, f*}, welches Gitterpunkte in Ecken und nur in solchen enthält, durch Heben der ^-Seiten immer ein äusserstes Parallelogramm entsteht, leuchtet nach diesen Umständen ein, dass ein derartiges freies {A, ft), wenn lm>2 ist, immer nur in zwei Ecken Gitterpunkte enthalten kann, ijvährend im Falle Im = 2 das Parallelogramm \-^l, y ^} ^^s einzige mit Gitterpunkten in Ecken und zwar in allen vier Ecken sein wird. (F) Sind w und W irgend zwei positive Werthe und ist w ist, und für Z == oo, m == oo ist sie nach beiden Enden un- begrenzt. Von zwei in der Kette benachbarten Parallelogrammen möge das mit grösserem X als das vorangehende, das mit kleinerem X als das folgende bezeichnet werden. V. (Analytischer Charakter der Kettenglieder und der Kette?) Die Fälle Zm = 1 und Im = 2 sind durch bisherige Bemerkungen bereits im Wesentlichen erledigt, und es werde von nun an Im > 2 voraus- gesetzt. Ist l endlich, so befindet sich in {^;-r) ein bestimmter Gitter- punkt X ^^ py 2/ = Ö' in 0 l 2 und < — l ist. Durch die Substitution x==pX-{-rY, y^^^qX-j- sY, es soll dafür auch kurz „durch ( j gesagt werden, erhält man dann S = /x-f trr, i?=-| Y (, = 4: 1, o 0), so wird für jenen, indem p, q und tr, es nicht in demselben der durch die Linien 5 = 0, rj = 0 gebildeten vier Quadranten von {A, ^) liegen, rj = — L^' (^' > 0) sein müssen. Indem ferner die Punkte nicht in Ecken liegen, hat man A' < A, ^' < fi. Nun ergiebt sich a,ß p,r q,s A, tA' tft, ft ps — qr = Ifi -\- X'ii. Danach ist zunächst ps — qr positiv. Aus A'ft' < A/ii und A/it < 1 (vgl. II) folgt sodann ps — qT<2Xn,<2 und daraus, indem ps — qr eine positive ganze Zahl vorstellt, jps — qr= 1, und nebenbei noch A^ > — • Es ist so in bestimmter Weise jedem äussersten Parallelogramm je eine ganzzahlige Substitution mit der Determinante 1 zugeordnet. Es besteht nun der wichtige Satz: (G) Erlangen |, ri durch eine ganzzahlige Substitution ( ) mit der Determinante 1 Ausdrücke \q,sJ l = AX+a'r, ri t/^'x + ^y, in welchen i == -j- 1^ A > 0 und ferner entweder /Lt' = 0, 0<-^< y oder 0 <-^ < 1, 0 < -^- < 1 oder A' = 0, 0 < -^ <\ ist, so ist zunächst wegen l = Aft (l + y^) auch ft>0 und ist sodann immer {A, ft} ein äusserstes Parallelogramm und (' J die dazu ge- hörige Substitution. Man sieht sofort, dass und wie a? =|), y^q und x = r, y = s auf den Seiten dieses {A, /[*} liegen, und braucht bloss noch gezeigt zu werden, dass kein Gitterpunkt ausser 0 in's Innere dieses {A, ^} fällt Nun entsprechen vermöge der vorausgesetzten Substitution den 154 Viertes Kapitel. von 0, 0 verschiedenen ganzzahligen Systemen Xj y ebensolche Systeme Xj r, und dass man für letztere niemals gleichzeitig abs {XX + a'3r) < A, abs (— l^X -\- iiY)<^ haben kann, folgt zunächst, wenn /*' = 0 oder A' ^= 0 oder X = 0 oder !F=0 ist, allein aus dem Umstände, dass eine von Null ver- schiedene ganze Zahl immer einen absoluten Betrag ]> 1 hat, und wenn alle diese Grössen von Null verschieden sind, unter weiterer Berücksichtigung des ümstandes, dass dann entweder y^- oder aber positiv ist. Die in diesen Substitutionen auftretenden Zahlenpaare r, s für sich sind vollständig durch ihre Eigenschaften charakterisirt, dass für sie erstens ty > 0 ist und es zweitens zu einem solchen Zahlenpaare Yy s niemals ein, von 0, 0, von r, s und — r, — s verschiedenes Zahlen- paar Xy y giebt, für das sowohl abs |, wie abs ri nicht grösser aus- fielen als für r, s. Denn kommen irgend zwei Zahlen r, s diese Eigen- schaften zu, so hat man, wenn für sie | =5 0 ausfällt, indem der zweiten Eigenschaft wegen r, s sicher ohne gemeinsamen Theiler sind, in ihnen offenbar die Werthe r, s aus der letzten Substitution der Kette; und anderenfalls sei für diese Zahlen | = tA' (t = + 1, A' > 0) und f} == fi^ so bedeutet die zweite Eigenschaft, dass [X\ fi) ausser in 0 nur in den Ecken r, s und — r, — s Gitterpunkte enthält, und entsteht daraus dann durch Heben der ^-Seiten ein äusserstes {A, ^), in dessen Substitution r, s als die zweite Verticalreihe eingehen. Die Uebertragung der Sätze aus II. auf solche Parallelogramme, welche die Linien ^ = 0 und rj ^^ 0 zu Diagonalen haben, führt mittelst der in 38. IL bezeichneten Schlüsse dazu, dass man immer ganze Zahlen r, s ohne gemeinsamen Theiler finden kann, für welche ri> Oj abs |i? ^ -5- ist (und zwar so, dass noch abs | unter einer be- liebig gegebenen positiven Grösse liegt). Ein Zahlenpaar r, s solcher Art nun trägt regelmässig auch den zuletzt besprochenen Charakter. Es ist das evident, wenn man | = 0 für diese Zahlen x = r^ y = s hat; anderenfalls sei für sie J = tA' (i = + 1, A' > 0), ^ == ft, so kann {A', ^} ausser in 0 und in seinen zwei Ecken r, s und — r, — s wegen der Voraussetzung lm'>2 nicht bloss noch in seinen zwei anderen Ecken Gitterpunkte enthalten, und enthielte {A' fi) sonst wo ein Paar Gitterpunkte p, ^; — p, — q, so wäre dies, da r, s ohne ge- meinsamen Theiler vorausgesetzt sind, sicher nicht auf der Diagonale durch r, s und — r, — s der Fall, und fände sich deshalb der Inhalt Anwendungen der vorhergejbenden Untersuchung. 155 + 2Qjs — q7') des Parallelogramms mit r, s; — r, — s; p, q\, — p, — q als Ecken von Null verschieden, also mindestens = 2, andererseits aber wäre dieser Inhalt kleiner als der Inhalt von JA', fi), also <4/L'fi, während doch 4A'/[t^ 2 sein sollte. — Nun seien ( ),(//) zwei Substitutionen zu irgend zwei \qj s/^ \q, s/ ^ aufeinander folgenden Gliedern der Kette, und durch die erste erhalte man: 1 = AX+ tk'Y, n = - i^'X + liY, so ist, weil {A, {i\ nicht das letzte Glied der Kette vorstellt, gewiss A' > 0. Auf {A, f*} folgt dann in der Kette ein {A', iLt^), und zwar so, dass der Punkt p\ q mit r, s oder mit — r, — s identisch ist; da man ^ > 0 für p\ q haben muss, so wird danach p = Lr, q = is sein, und die zweite Substitution deshalb für |, ri Ausdrücke 5 = A'X' — ik" Y' , 7] = tftX' -f ff-jY' hervorbringen. Es geht so zunächst das aus den Grössen tX' und — L^' abgeleitete Vorzeichen c in der Kette von Glied zu Glied in den entgegengesetzten Werth über. Die Transformation der zuerst hingeschriebenen Ausdrücke für ^^ rj in diese anderen geschieht nun durch / x,^ a'\-' /r, - a-\ _ /p, a-' /p\ r\ \ — fc/Lt', /u, / Vt^u, ^j / \q, sJ \qj s'/ ^ — Q} V^ ^^^; ^''/ ^h — qr' -\- ps'/ ^ mau setze die ganze Zahl — qr + ps == g. Aus / K', - iX"\ _ / l,^ U'\ /O, - t\ Vta, ft, / V— i^\ fi/ Vt, gy folgt sodann A' = A — l'g, ^Uj = ^i' + ug\ und die Bedingung 0 ^ A" < A' zeigt, dass g sich vollkommen bestimmt als die grösste in -TT enthaltene ganze Zahl. Man merke noch die Beziehung an. War {A, ft} erstes Glied der Kette, so folgt aus A' < y A und, wenn {A', ^^ } letztes Glied der Kette wird, aus A" = 0, A' < A, dass dann g >2 sein muss, endlich, wenn die ganze Kette nur aus { A, /i ) und {A', fij besteht, aus A" = 0, A' < yA (der Voraussetzung lm>2 entsprechend) noch g ^ 3. Der Fortgang in der Kette von irgend 156 Viertes Kapitel. einem Gliede aus nach dem |-Ende hin, das soll heissen, nach dem Ende der Kette hin, wo l abnimmt, hängt so von der Gleichung 5 = 0 und von der zu dem Gliede gehörigen Substitution ( ' j ab, weiter aber kommen |, rj dabei nicht in Betracht. Zu bemerken ist noch, dass, wenn sich ?, rj oder ( ' ^!) durch (P, r\ .^ / A a'\ t,^„3fo,^i,t ( «, - A ^,„^^j, C P, - n in ( ,^ ) übergeht: es geschieht danach in der zu den Formen ^* = ax — ßy , i^*= — yoc -\- öy gehörigen Kette der Fortgang durch genau dieselbe Reihe von ganzen Zahlen y'y aber mit den ent- gegengesetzten Werthen von i wie in der Kette zu J, ly. VI. {Der Hauptsatz über Ketten^ Wenn die zu |, i^ gehörige Kette ein bestimmtes letztes Glied hat, so ergeben die Zahlen r, s aus der letzten Substitution | == tA' = 0, und ist dann durch das |-Eüde der Kette die Linie ? == 0 vollkommen bestimmt. Nun ver- laufe diese Kette unbegrenzt nach dem |-Ende hin, es sollen also « und ß nicht in rationalem Verhältnisse zu einander stehen. Dann gilt der folgende Satz (welcher weiterhin eine nicht unbedeutende Vereinfachung der bisherigen Darstellung der Theorie der Kettenbrüche ermöglichen wird): (J) Ist 5 == 0 die Gleichung irgend einer von | = 0 und ^ = 0 verschiedenen geraden Linie durch den Nullpunkt — die Determinante von | und J sei wieder gleich 1 — , so kann man in den zu |, ri und zu |, f gehörigen Ketten immer irgend zwei Glieder finden, welchen dieselbe Substitution entspricht. Indem der Fortgang von diesen Gliedern nach dem |-Ende hin für jede Kette nur von der betreffenden Substitution und von 6 abhängt, stimmen dann von zwei solchen Gliedern an die Ketten in ihren auf- einanderfolgenden Substitutionen nach dem |-Ende hin vollständig überein. Man wird nämlich g = i^ + 0 oder < 0 ist, wird man entweder in diesem Dreiecke i? ^ 0, S ^. 0 und in dem dazu in Bezug auf o symmetrischen Dreiecke ^ > 0, 5^0 oder das Um- gekehrte haben. Diese Dreiecke enthalten nun ausser 0 sicher nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten; es werde dann, wenn über- Anwendungen der vorhergehenden UnterBuchung. 157 haupt solche Punkte darin anzutreffen sind, p gleich dem kleinsten bei diesen Punkten vorkommenden Werthe von abs 5 gesetzt, anderen- falls aber setze man Q == Q. Dann sind bei jedem von o verschiedenen Gitterp"unkte , für welchen abs S < p ist, nothwendig immer sowohl i^ wie ^ von Null verschieden und beide von gleichem Vorzeichen. Nun nimmt in der zu 5? V gehörigen Kette von äussersten {A, fi) nach dem |-Ende hin der Parameter A beständig ab und sinkt, wah- rend diese Kette unbegrenzt verläuft, dem Satze (F) zufolge, von welchem Gliede man auch ausgeht, unter eine gegebene positive Grösse immer schon nach einer endlichen Anzahl von Gliedern. Mau wird daher unter den Substitutionen dieser Kette nach (F) immer leicht eine solche, ( ), ermitteln können, welche Ausdrücke i = kX + Li' Y, 7? = — i^'X + iiY hervorbringt, wobei A + A' < () ist. Schreibt man alsdann den durch diese Substitution aus t, hervorgehenden Ausdruck i^-Lv'X + vY, so hat man für X = — t, Y= 0; X = t, Y == 1 : I = — t A, 12 = f^', S = v'; S = ^A + A'), ri = iL — ^\ l=.v — V', danach ist wegen 1 0 und jt — |li' > 0 ist, folgt wegen l + k' < q weiter v >i) und V — v' > 0, und damit erweist sich nach dem Satze (G) endlich P' ) auch als Substitution der zu % t, gehörigen Kette. Zufolge der über l hier gemachten Voraussetzung {m = oo) ist sicher a von Null verschieden, und man wird nun z. B., wenn t] nicht selbst = 1^ , also y = 0 ist, ^ = >2 — ^ S = "^ nehmen können. Der letzte Satz ergiebt dann, indem man noch die Ungleichung X'v < 1 (vgl. IT.) hinzunimmt, dass in den Substitutionen r' J der zu J , y gehörigen Kette nach dem |-Ende hin von einem geeignet gewählten Gliede an - immer > 0 ist und beständig zunimmt und ferner " r ß ± rar + ßs\ absolut genommen, beständig < 1, also— +— , absolut genommen, < -^ ist. Danach bestimmt sich durch den Verlauf der Kette nach dem g-Ende hin das Verhältniss ^, also die Linie | = 0, mit immer Vielehe ^ = 0 in | = 0 trans- formirt. Umgekehrt, giebt es eine Substitution von letzterer Art, so seien, falls ihre Determinante — 1 ist, ^*, — //* die Formen, in die Ä*, H durch f ' j übergehen; man erlangt dann, nöthigenfalls noch durch Zusammensetzung mit ( ^ .), immer auch eine ganz- zahlige Substitution von der Determinante 1, welche S oder S* in r| transformirt, sodass dabei t > 0 ist. Durch dieselbe Substitution gehe H beziehlich ü* in — J = — (^ + ^1) über; die Substitutionen der zu S, H oder zu S*, H* gehörigen Kette sind alsdann die Pro- duete aus dieser Substitution in die Substitutionen der zu |, J ge- hörigen Kette, und nun geht mit Rücksicht auf den Satz (J) und noch auf die letzte Bemerkung in V. hervor, dass in den zu S, H und zu I, 7^ gehörigen Ketten immer sich Glieder bezeichnen lassen, von welchen an in beiden Ketten der Fortgang nach dem Ä-, be- ziehlich |-Ende durch dieselbe Reihe g\ g"y . . . erfolgt. Der Fortgang in einer Kette von einem Gliede zu den voran- gehenden wird ähnlich durch eine zweite Reihe von positiven ganzen Zahlen ^j, g^, ... vermittelt; es leuchtet nun ein, dass dann und nur dann für zwei Ketten, zu zwei Linienpaaren Ä = 0, H= 0 und | = 0, 1^ = 0 gehörig, die ganzen Reihen ... g2, <7i , g\ g\ ..., von ge- eigneten Stellen betrachtet, identisch sein werden, wenn mindestens eine ganzzahlige Substitution von der Determinante + 1 existirt, Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 159 welche gleichzeitig ^ = 0 in S = 0 und H = 0 in ^ = 0 trans- formirt. VII. (Die normalen KeitenbruchentwicJcelungen.) Es werde unter 9 zunächst nur eine reelle Grösse von solcher Art verstanden, dass der üeberschuss von 9 über die grösste in 9 enthaltene ganze Zahl, welche ff heissen möge, > 0 und < v ^^^) ^^^ ^^" betrachte die zu den Formen ^ = x — Qy j rj = y gehörige Kette. Man hat für sie 1=1, m'>2j und gehört zu ihrem ersten Gliede U, -rj ^^^ ^"^" stitution offenbar G:i)-L>.;)(r> es gehen |, ri hierdurch in X — (9 — 9)^y i^ über und erhält man l 9 =^+ -^; die Substitution zum (/^ + 1)**° Gliede wird sich in der Form A/*), r(*'\ _ / 0, 1\ /(), - 1\ / 0, 1\ / 0, - (- iy\ Vr/*), .<*)/ ~ V- 1, O) \1, ^M- 1, ^7 ■ • ^ V(- \)\ g^'V ~ \q^^^\ s-(*-iV \(- 1)*, yW/ darstellen; dabei bedeuten dann g, ... g^^^ positive ganze Zahlen, und wird speciell />.2 sein. Die wiederholte Anwendung von (H) führt jedesmal zu einer Relation ^ ^^^'+. /o<' '=^ 7!*) l(A-+l) \ ^ ^ n.^ 1 ^ *+l) Entweder ist nun 9 rational {m endlich), dann hat man für irgend einen Werth l = h einmal P+^^ = 0 und dabei zuletzt jeden- falls g^^^ > 2, und man gelangt zu einer endlichen Entwicklung 1 ^ ' ^ 4- . -?> Es soll für einen solchen Kettenbruch bequemer {g, g\ ... .9^^0 ge- schrieben werden. Oder 9 ist irrational, dann wird ein unendlicher Kettenbruch (^, <;', . . .) zu betrachten sein. Die einzelnen Brüche 160 Viertes Kapitel. {g), {g, g)f . . ., soweit sie jedesmal zu bilden sind, heissen erster, zweiter, ... Näherungsbruch dieser Entwicklungen. Ein Schluss von Je — 1 auf k, durch die Relation {9, -ff''') vermittelt, führt dazu, dass man hat, wobei r^^K .4^^ das in der Formel /_^w, + .9(^)\ / 0, =F i\ / o,_± i\ / 0, =F(-iy\ V+y*), r'*)/ V+l, gJ^\~\-\, ^7'*A±(— 1)*, r/*) / liegende Bildungsgesetz befolgen 5 es ist darin von den doppelten Vor- zeichen durchweg das obere oder durchweg das untere zu gebrauchen, welches ist gleichgültig. Danach sind nun die in der (Je + 1)*®° Sub- stitution der obigen Kette y<*>, s^*> genannten Zahlen (welche theiler- fremd sind und von denen 5^*) > 0 ist), identisch mit Zähler und Nenner des aus 6 abgeleiteten Bruches ((7, /, ... ^^*^); man hat so- dann für die Zahlen p^^\ g^*> in jener Substitution jp<*> == (— 1)* r^*— d^ q(k) ,^ ^ — ly §(*— 1) ; es entspricht ferner der absolute Betrag von — — 0 derjenigen Grösse für diese Substitution, welche nach den oben gebrauchten Bezeichnungen — zu schreiben wäre, und sinkt nun zufolge VI. der Betrag dieser Differenz mit wachsendem Je unter jede positive Grösse, convergiren mithin auch im Falle, dass 6 irrational ist, die Brüche — gegen den Werth von 6. Ein normaler Kettenbruch soll jeder Kettenbruch (^, g\ g\ . . .) iieisseu, in welchem g eine beliebige ganze Zahl, g' , g\ . . . (die so- genannten T heil nenn er) positive ganze Zahlen sind und, wenn eine letzte unter ihnen da ist, diese ^2 ist. Aus dem Umstände, dass ein Quotient zweier positiver Grössen mit wachsendem Nenner ab- nimmt, mit abnehmenden zunimmt, erkennt man, das die Näherungs- brüche -^ eines normalen Kettenbruchs immer folgende Grössenan- orduung y(0) «." ,,(4) J3) ' 1- <_<_<...< I_ <— zeigen, und dass sie jedenfalls vom Qe + 3)*®° an, und wenn d^r {k + 2)*® der letzte (weil dann ^(*+*> > 2) ist, gewiss schon von diesem an. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 161 stets zwischen (g, g'j... 9^^~^\ 9^^^) uud (g^ g\ ' • - 9^^~^\ P^*^ + 1), die Grenzen ausgeschlossen, liegen; es ist daraus ersichtlich, dass jede reelle Grösse gewiss nur auf eine Weise sei es nun in einen end- lichen normalen Kettenbruch oder in einen unendlichen solchen, dessen Näherungsbrüche gegen die betreffende Grösse convergiren, entwickelt werden kann. Die Grösse — 8, wenn ci den eingangs angegebenen Charakter trägt, stellt eine beliebige solche reelle Grösse dar, für welche der Ueberschuss über die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl (die hier — g — 1 sein wird) > — ist. Infolge der Identität _l=_14.__i 14-^ e — 1 hat man dann für — 9 den normalen Kettenbruch bei welchem immer der {h + 1)*® Näherungsbruch, von Ä + 1 = 2 an, denselben Nenner und entgegengesetzten Zähler hat wie der Ic^ Näherungsbruch des normalen Kettenbruchs für G. — Die Entwicklung einer beliebigeij reellen Grösse 9 in einen nor- malen Kettenbruch bedeutet hiernach dasselbe, wie die Bildung der zu X — 9y, y gehörigen Kette, und man hat nun insbesondere den Satz: (K) Ist 9 eine beliebige reelle Grösse, jedoch weder eine ganze Zahl noch auch die Hälfte einer ganzen Zahl, so sind Zähler und Nenner in den Näherungsbrüchen des normalen Kettenbruchs, in welchen 9 sich verwandeln lässt (vom ersten Näherungsbruche abgesehen, falls der ueberschuss von 9 über die nächst kleinere ganze Zahl > — ist), solche Zahlen r, s, dass s>0 ist und es keine, von 0,0, von r, s und von — r, — s verschiedenen ganzen Zahlen ic, y giebt^ für welche abs {x — Qy) ^ abs (r — Qs) und O^y^s wäre, und sie sind zugleich die einzigen Zahlenpaare r, s von diesem Charakter. Diese schon von Lagrange*) abgeleitete, aber, wie mir scheint, noch nicht genug gewürdigte Eigenschaft der Näherungsbrüche eines *) Additions aux dl^ments d'Algebre d'Euler, Werke Bd. VII, S. 56. Minkowski, Geometrie der Zalüen. 11 162 Viertes Kapitel. normalen Kettenbruchs fasst den Begriff einer solchen Entwicklung unabhängig von dem damit verbundenen Algorithmus; und diese Aufgabe ist gewiss zuerst zu erledigen, bevor man eine Verall- gemeinerung*) der Ergebnisse der Theorie der Kettenbrüche mit Aussicht auf Erfolg wird unternehmen können. Indem aus einer Form X — QY durch eine Substitution ( ' 1 V— q, p/ sich (gQ -{- s)\x — ^^Q ~4_^ y) herausstellt, ersieht man aus den Ent- wicklungen in VI: (L) Die normalen Kettenbrüche für irgend zwei irratio- nale Grössen 0 und 0 weisen dann und nur dann von irgend welchen Theilnennern an genau den nämlichen Fortgang von Theilnennern auf, wenn zwischen 0 und 0 eine Be- ziehung mit ganzen Zuhlen p^ q, r, s und mit einer Determinante ps — ^^^ = + 1 möglich ist. Es ist im Vorstehenden bisher noch nicht dargethan, dass auch jeder normale Kettenbruch immer eine bestimmte Grösse repräsentirt. Von einem endlichen solchen Kettenbruche ist dies selbstverständlich. Es besteht nun bei einem beliebigen normalen Kettenbruche zwischen den Zählern und Nennern zweier aufeinanderfolgender Näherungsbrüche, z. B. des h^^ und des (k -f- 1)*®", nach ihrem oben angegebenen Bil- dungsgesetze immer die Beziehung und erweist sich dadurch die Differenz zwischen -rrr und „ ,. immer als ein aliquoter Theil von 1. Indem nun, nach der oben bereits festgestellten Anordnung der Näherungsbrüche nach der Grösse, diese Differenz mit wachsendem k jedenfalls beständig abnimmt, muss sie nach der hier für sie gefundenen Beschaffenheit nothwendig nach Null convergiren; ebenfalls aus jener Anordnung zeigt sich sodann, *) Ueber einige bisherige Versuche in dieser Richtung, die jedoch gerade den Algorithmus in den Kettenbrüchen als den Kernpunkt behandeln, s. Bach- mann, Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen, X. Vorl. — Eine geo- metrische Versinnlichung der normalen Kettenbrüche, welche mit der im Text gegebenen verwandt ist, aber das wahre Wesen der Näherungsbrüche weniger trifft, hat Herr Poincar^ im Journal de l'^ßcole Polytechnique, Cah. 47, 1880 und in den Compt. rend. 1884, 11 angedeutet. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 163 (lass die Näherungsbrüche selbst mit wachsendem Index immer gegen eine bestimmte Grösse convergiren. Ist nun ( \ ) ein Glied aus irgend einer Kette, doch weder erstes noch letztes Glied, so liefern die ganzen Zahlen "- g 0 und < 1 gleich werden, geht aus dem letzten Ergebnisse hervor, dass die Reihe der positiven ganzen Zahlen ... ^2. 9ii 9\ o'j • • • für eine Kette in der That keiner weiteren Beschränkung unterliegt, als dass sie weder mit einer Zahl = 1 anfängt noch mit einer Zahl == 1 schliesst. Der Begriff der Kette wäre nun im Grunde identisch mit der Zusammenfassung zweier normaler Kettenbrüche*); diese Zusammen- fassung aber wird nützlich besonders durch den Satz (J). VIII. (Periodische Ketten.) Es seien wieder |, 71 zwei lineare Formen mit einer Determinante = 1, und die Glieder der zu |, rj ge- hörigen Kette mögen durch die aus ihnen abgeleiteten Substitutionen repräsentirt werden; aus jeder Substitution entsteht die ihr nach dem J-Ende hin folgende durch Zusammensetzung mit einer Substitution welche allein von dem Verhältniss der Coefficienten in dem durch die erste hervorgebrachten Ausdruck für | abhängt. Es sbll deshalb die zu |, rj gehörige Kette periodisch auf dem |-Ende heissen, wenn es in ihr irgend zwei Substitutionen giebt, durch welche I bis auf einen Factor in denselben Ausdruck übergeht. Ist dann K die vom |-Ende entferntere, K' = KO die andere von derartigen zwei Substitutionen, so gestaltet sich immer der Fortgang in der Kette von K' aus genau so wie von K aus. Danach muss dann jedenfalls die Kette nach dem g-Ende hin unbegrenzt sein, müssen also die Coeffi- cienten a und ß aus J in irrationalem Verhältnisse stehen. /O, - A *) Diese Zusammenfassung zweier Kettenbrüche findet sich bereits in den Untersuchungen von Herrn Markoff „Sur les formes quadratiques binaires in- definies'S Math. Ann. Bd. 15, S. 381. 11* 164 Viertes Kapitel. Es gehe J durch K in ^ und durch KO in oÄ über, so wird dabei 0 < w < 1 sein, und wird ^ = ax -\- ßy durch KOK~^, welche Substitution mit ( j bezeichnet werden möge, in o(aX + /3Y) übergehen. Daraus folgt dann (1) (p - (o)a -\.qß = 0, ra + {s - io)ß = 0, p-(D, q n s — 03 = l_(p + s)a, + „i==0, -§ wegen 0 < co < 1 ist hier der Nenner . - ^)j' + äd- = 0, rY+{s-^)6 = 0, und indem die obige Gleichung für oj als zweite Wurzel - besitzt, werden nun — und — conjugirte Wurzeln einer quadratischen Gleichung u y mit ganzzahligen Coefficienten, und zwar einer mit reellen irrationalen Wurzeln, sein müssen. IX. (Theorie der indefiniten binären quadratischen Formen.) Die soeben gefundenen Bedingungen für periodische Ketten kennzeichnen diese Ketten auch vollständig. Denn es sei aQ^ + 260 + c==0 eine beliebige quadratische Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten a, hj c und mit reellen irrationalen Wurzeln. Es muss dazu die Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 165 Discriminante h^ — ac = D positiv sein und darf nicht das Quadrat einer rationalen Zahl sein; a und c sind dann jedenfalls von Null verschieden. Unter l/Z) werde etwa der positive Werth dieser Wurzel verstanden. Es mögen a, h, c als ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt werden, und es sei s der grösste gemeinsame Tfaeiler von a, 26, c, es ist dann s = 1 oder = 2, letzteres, wenn a, c gerade sind, was dann weiter & =^ 1 (mod 2), D = ¥ — ac^l (mod 4) mit sich bringt. Man setze nun b + VD dabei erlangen J, r] die Determinante 1. Die zu solchen zwei Formen J, rj gehörige Kette ist dann immer vollkommen periodisch. Man hat identisch und die binäre quadratische Form hier links, welche mit f bezeichnet werden möge, kann, wie ihr Ausdruck durch J, ^ zeigt, für reelle Xy y ebensowohl >0 wie <0 ausfallen, weshalb sie indefinit genannt wird; sie gilt als einer zweiten Form F=^ AX' + 2BXY ^- CY^ äquivalent, wenn es eine ganzzahlige Substitution ( ' 1 mit der Determinante 1 giebt, durch welche /' in F übergeht; dann hat man a, h 6, c r, s hy c (j, s\ B, Cr 1— r, p iBy C ^, ^, ^, und man ersieht durch Entwicklung der ersten Beziehungen, dass dann Ay B, C ganze Zahlen und B^ — AC^JDy also A und C von Null verschieden, ferner Ay 2B, C durch b theilbar sein müssen, und aus den letzten, dass A, B, C keinen gemeinsamen Theiler und A, 2By C keinen grösseren Theiler als 6 haben können. Setzt man sodann so folgt SLUs f= F zunächst ^rj == IS^H] man wird nun Ä ^ auch als 166 Viertes Kapitel. Formen in ic, y und weiter in |, r] ausdrücken können; maclit man letzteren Ansatz, so muss man infolge von SH = ^rj entweder (3) Ä=r5, if=^7? oder S=rr}, H = —^ mit irgend einem Coefficienten x haben; letztere Ausdrücke aber sind dann dadurch ausgeschlossen, dass S, H auch in |, ri die Determinante 1 besitzen. Weil nun sowohl in |, wie in rj die Coefficienten in irrationalem Verhältniss stehen, ist die zu J, rj gehörige Kette jedenfalls nach beiden Enden unbegrenzt. Für jede Substitution ( j dieser Kette ist ps — qr = 1, und hat man nach V. erstens A > 0, zweitens 0 <-^ < 1, 0 <-^ < 1, d. h. ist erstens und sind zweitens, wenn man mit Hülfe der Substitution in der soeben erörterten Weise 3", H] F bildet, — — J' ^ und ^^^^^ — "^ ^ beide dem absoluten Betrage nach < 1 und von entgegengesetzten Vorzeichen. Es werde nun eine jede indefinite Form Fy deren Coefficienten A, B, C und Discriminante D diese letzten Bedingungen erfüllen, reducirt ge- nannt*). Man sieht dann zunächst: es giebt zu der Form f immer äquivalente reducirte Formen. Ist ferner F irgend eine der Form / äquivalente Form und y^ j *) Es ist dies der von Gauss (Disqu. arith. art. 183) aufgestellte Begrifl" einer Teducirten indefiniten Form von nichtquadratischer Determinante. Dirichlet (Abhandl. d. Berliner Akad. Jahrg. 1854) hat die von Gauss gegebene Theorie dieser Formen kürzer entwickelt, wirkUch durchsichtig aber scheint mir diese Theorie erst vermöge der hier gefundenen einfachen geometrischen Bedeutung der Gaussischen reducirten Formen zu werden. Eine arithmetische Theorie der indefiniten binären quadratischen Formen lässt sich noch auf mannigfache andere Arten entwickeln; man kann sie z. B,, mit Rücksicht auf den Satz in 40., auf die Betrachtung aller Bereiche abs {--\ -j- ^bs ( — j ^ 1 gründen, welche den Nullpunkt als einzigen Gitterpunkt im Inneren enthalten, indem man für N irgend einen festen reellen Werth ^ 1 in Anwendung bringt. Für N = "i würde man so auf die Methode von Herrn Hermite (Crelle's Journal Bd. 41, S. 191) verfallen, welche auch die Anregung zu den Entwicklungen im Texte gegeben hat, die dem Falle N = cx) entsprechen. Zu bemerkenswerthen Folgerungen kommt man endlich noch bei der Annahme iV^ = 1. Anwendungen der vorhergehenden Untersuchung. 167 irgend eine gauzzahlige Substitution mit der Determinante 1, durch welche /" in F übergeht, so ist ( ^' ^) immer eine Substitution \— q, — sJ von derselben Wirkung; und indem man immer die Wahl zwischen zwei in diesem Sinne entgegengesetzten Substitutionen hat, möge angenommen werden, dass sei. Dann ist nach dem Satze (G) auch immer ( ^) eine Sub- \q, sf stitution der zu |, ri gehörigen Kette. Vergleicht man 2yDlri = 2^ mit J = AX + lX'Y, tj = — ^i X + ^Y und beachtet die Ungleichung A^ < 1, so erhält man B = l/5(A^ — AV) > 0 und < VD und findet ferner — A und C von dem gleichen Vorzeichen t; so- dann besagen -^ < 1 , — < 1 mit Rücksicht auf — AG = {VD + B) (Y'D - B) dasselbe wie Yd — B < diU A /5 - 5 < abs (7< V^ -f /?. Durch diese Ungleichungen sind By A, (7, wenn sie ganze Zahlen sein sollen, von vorn herein unter eine endliche Anzahl von Systemen ver- wiesen. Es gehören somit zu einer gegebenen positiven ganzzahligen und nichtquadratischen Discriminante D immer nur eine endliche Anzahl verschiedener reducirter Formen mit ganzzahligen Coefficienten und damit dann auch nur eine endliche Anzahl verschie- dener Klassen von ganzzahligen Formen, wenn man äquivaleute Formen als zu derselben Klasse, nicht äquivalente als zu verschiedenen Klassen gehörig betrachtet. Man transformire nun f durch die einander folgenden Substitu- tionen der zu J, fl gehörigen Kette, mit irgend einer dieser Substitu- tionen anfangend; jedesmal geht f in eine reducirte Form über; andererseits ist die Anzahl der dabei in Frage kommenden reducirten Formen endlich. Bei gehöriger Fortsetzung der Operation wird es daher einmal eintreten müssen, dass man eine bereits zuvor aus f gewonnene Form ein zweites Mal aus f erhält; es mögen so K und K' zwei Substitutionen der Kette, K die vom |-Ende entferntere, sein. 168 Viertes Kapitel. welche /' in eine und dieselbe reducirte Form überführen. Dann gehen nach Gleichung (3) sowohl J wie rj durch K und K' in je zwei nur bis auf Factoren verschiedene Ausdrücke über, und ist somit in der That die zu 5, rj gehörige Kette vollkommen periodisch. Indem mit jedem Gliede in der Kette das Vorzeichen t von — A und C in den entgegengesetzten Werth übergeht, werden K und K' in der Kette jedenfalls durch eine ungerade Anzahl von Gliedern ge- trennt sein; es darf verausgesetzt werden, dass von diesen Substitu- tionen zwischen K und K' keine f in F überführt; es werde K' = KO gesetzt, und es gehe ? durch KO in das »-fache des Ausdrucks über, in den | durch K übergeht. Die Grössen ^ und ^^^^ , die bei jedem Gliede ( / ] in der Kette für den Fortgang von da aus nach dem |-Ende beziehlich dem 9^ -Ende bestimmend sind, hängen hier einzig von der reducirten Form ab, in die f durch die dem Gliede entsprechende Substitution Obergeht; danach leuchtet nun ein, dass die Reihe von reducirten Formen, in welche f durch die gesammte Reihe der Substitutionen der Kette übergeht, sich nach beiden Enden hin als eine fortgesetzte Wiederholung der endlichen Folge der- jenigen von diesen Formen darstellen wird, in welche f durch K und die auf K bis zu K' ausschliesslich folgenden Substitutionen über- geführt wird; diese endliche Folge von Formen wird deshalb die zu f gehörige Periode von reducirten Formen genannt. Indem die Sub- stitutionen der Kette und die ihnen entgegengesetzten Substitutionen zusammen genau alle möglichen Substitutionen vorstellen, durch welche überhaupt f in reducirte Formen übergeht, leuchtet der bislang schwie- rigste Satz der Theorie der indefiniten Formen, dass zwei reducirte Formen, die nicht in einer Periode auftreten, niemals äquivalent sind, hier von selbst ein. Um zu entscheiden, ob zwei gegebene Formen äquivalent sind, hat man nach diesem Satze nur nöthig, für eine von ihnen die ganze Periode der ihr äquivalenten reducirten Formen, für die andere eine solche Form aufzusuchen und sodann nachzusehen, ob diese sich in jener Periode findet. Insbesondere werden nun ausser K genau die Substitutionen der Kette /' in F überführen, welche bei einer Zählung aller Substitutionen der Kette von K aus nach beiden Enden, wobei der Index 1 den K benachbarten Substitutionen zu ertheilen ist, Indices gleich ganzzahligen Vielfachen desjenigen von K' erlangen. Nun geschieht der üebergang in der Kette von K zu K' = KO in der Weise, dass sich K nach- einander mit gewissen Substitutionen ( ' ');••• zusammensetzt; Anwendungen der yorhergehenden Untersuchung. 169 die — 1**^° Potenzen dieser Substitutionen in umgekehrter Folge ver- mitteln dann den üebergang von K' zu K. Der weitere Fortgang nach dem |-Ende hin von K' aus vollzieht sich dann genau so wie von K aus, und andererseits vermitteln den Fortgang von K aus nach dem ly-Ende hin successive genau dieselben Substitutionen, die den Fortgang von K' nach dem ^y-Ende hin, also zunächst nach K hin, vermittelt haben. Danach leuchtet nun ein, dass alle Substitutionen, welche f m F überführen, genau sein werden: 1) die Substitutionen . . . iCO-i 0-\ K0-\ K, K' = KO, K'O = KOO, . . ., d. i. J^O* für jeden ganzzahligen Exponenten h, und 2) die aus diesen ersten durch Multiplication aller Coefficienten mit — 1 entstehenden Substitutionen; diese mögen durch — KO^ angedeutet werden. Aus den sämmtlichen hier aufgezählten Substitutionen gehen dann durch Zusammensetzung mit K~^, also in den Formen K(y'K~^ = (KOK~^y und — (KOK^^yy die sämmtlichen ganzzahligen Substitutionen mit der Determinante 1 hervor, welche f in sich selbst überführen; I, rj transformiren sich durch die letzteren Substitutionen offenbar in 03*5, -^7?, beziehlich — cö*J, j^tj. Ist nun ( j irgend eine ganzzahlige Substitution mit der De- terminante 1, durch welche /' in sich selbst und J, rj etwa in ü}|, _7i übergehen, so hat man nach VIII. (1) und (2): tu (4) also: (, _ ^) _ ,(^+ Z^) = 0, - r(^±^') + (« - e.) = 0, und wenn man die zwei Werthe hier gleich , — ^ setzt: au cu t — hu t -h f>n _ - 2bu . , a 2h c Die Ausdrücke für q, r, p — s hier zeigen, indem -j-y—,— g^^^ze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, dass u eine ganze Zahl wird, 170 Viertes Kapitel. und die Relation ^^ — Du^ = e^ sodaün, dass auch t eine ganze Zahl wird. Umgekehrt, sind t, ii irgend zwei, der letzten Gleichung ge- nügende ganze Zahlen, so sind die durch die vorstehenden Ausdrücke definirten p, q^ r,-s jedenfalls auch ganze Zahlen; für s = 2 leuchtet dieses unter Beachtung des Umstandes ein, dass modulo 2 dann a^O, c^O, weiter (t — hu)(t-\- hu) = — acu^ + £^ ^ 0 und wegen t —hii^t -\-hu schliesslich auch diese zwei Ausdrücke ^0 sind; es ist dann ferner die Determinante von ( ' j gleich 1, und bestehen, wenn man '^ = einführt, umgekehrt die Gleichungen (4), gehen also durch diese Substitution |, ri in Sr|, —ri und damit f immer in sich selbst über. Nach dem vorhin Bemerkten muss sich dabei jedesmal W = ^ co'' mit irgend einer ganzen Zahl h herausstellen. Es wird nun diejenige Lösung von f^ — Du^ = e^ auf oJ = o, also auf die Substitution KOK~^ führen, in welcher ö > 0 und < 1 und für diese Umstände W möglichst gross ist. Nach (5) ist to > 0 mit ^ > 0 und ET < 1 alsdann mit ii > 0 gleichbedeutend, und bei posi- tivem t und u fällt, je kleiner w ist, um so kleiner auch t und — aus. Danach ist der Werth W == 0 dadurch charakterisirt, dass in ihm für t und u die zwei kleinsten positiven Zahlen T, TJ einzutreten haben, für welche T^ — DU'^ = a^ ist; und zugleich hat sich ergeben, dass alle möglichen ganzzahligen Lösungen ^, u von f^ — Du^ == s^ dann durch t — ypu ^i(T- VnuV ^H- ynu ^ . (Tj±j/duY geliefert werden; für + ist dabei ein beliebiges, aber in beiden For- meln dasselbe Vorzeichen und für h eine jede rationale ganze Zahl zu nehmen. X. (Die reellen quadratischen Irrationalzahlen.) Es sollen |, rj dieselbe Bedeutung wie soeben haben, nur soll YD jetzt einen belie- bigen Werth dieser Wurzel vorstellen. Ist J irgend eine Form, für welche die Determinante von | und J gleich 1 ist, so lassen sich nach dem Satze (J) in den zu |, J und zu |, r^ gehörigen Ketten immer zwei übereinstimmende Substitutionen finden, und von solchen an kommen dann diese zwei Ketten nach ihrem ^-Ende hin vollständig in allen Substitutionen überein; danach erweist sich die zu |, J gehö- rige Kette immer, wie es die zu |, rj gehörige ist, als periodisch auf dem 5 -Ende. Speciell kann i = y genommen werden. Anweudungeu der vorhergehenden Untersuchung. 171 Ein unendlicher normaler Kettenbrach für eine Grösse 0 wird periodisch genannt, wenn in ihm von irgend einem Theilneuner an die ganze weitere Reihe der Theilnenner als beständige Wiederholung einer und derselben endlichen Folge von ganzen Zahlen sich darstellt. Besitzt diese Folge eine ungerade Anzahl von Gliedern, so entsteht, wenn man sie zweimal hinter einander nimmt, eine sich in gleichem Sinne wiederholende Folge von einer geraden Anzahl von Gliedern; eine solche aber besagt genau soviel, wie dass die zu ^ = x — 6t/, J == t/ gehörige Kette periodisch auf dem J-Ende ist. Aus dem soeben Bewiesenen und aus VIII. entnimmt man nun: Für einen reellen irrationalen Werth 9 erweist sich der ihm gleiche normale Kettenbruch dann und nur dann als periodisch, wenn 9 eine Wurzel einer Gleichung mit ganz- zahligen Coefficienten vom zweiten Grade ist*). Indem die Entwicklung von in einen normalen Ketteu- bruch, wie hier gezeigt ist, schliesslich auf Glieder der zu ^, rj ge- hörigen Kette führt, hat man darin zugleich ein praktisches Verfahren, um zu einer gegebenen Form f eine äquivalente reducirte Form zu finden. *) Lagrange, 1770 (Werke Bd. II. iS. 60ü). — Eine vereinfachte Ableitung dieses Satzes hat Herr Her mite (Bulletin des Sciences Math., t. IX, 1885, S. 11) angegeben. vt^i Iv |> 1-7^*^0 Fünftes Kapitel. Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 46. Reduction des Zahlengitters in Bezug auf gegebene Richtungen. In diesem Kapitel soll das in 30. aufgestellte arithmetische Theorem über die nirgends concaven Körper mit Mittelpunkt eine wesentliche Verallgemeinerung finden. Es sind dazu mehrere Hülfs- betrachtungen vorauszuschicken. Eine jede Richtung wird nach 3. durch einen Punkt des Bereichs 2Ö in der Spanne Eins vom Nullpunkte o repräsentirt; haben die n Coordinaten dieses Punktes sämmtlich rationale Werthe, so soll die Richtung eine rationale heissen. Von jedem Punkte des Zahlen- gitters aus liegen in den rationalen Richtungen und nur in diesen die übrigen Punkte des Zahlengitters. Es bedeute 0/, für h === 1, ... n jedesmal den Punkt, für welchen Xh == 1 ist und die übrigen Coordinaten gleich Null sind. Dass ein Punkt je die Coordinaten x^j ... Xn besitzt, werde durch die Formel (1) ? — 0 = a?i(Oi — o) -I h Xn(On — o) angedeutet; man wird alsdann, wenn \), p^, . .. prn irgend w+ 1 Punkte, Pij ... pn die Coordinaten von p und p/*^, . . . pj^^ diejenigen von pk (h = 1, ... m) sind, unter einer Formel (2) v,{p,-p) + - . + t;^(p,,-p) = 0 mit beliebigen Grössen v^, ... Vm das System der n Gleichungen ViiPk^'^ — JP/,) + • • • + v„,(p,("^) - p,) = 0 (Ä = 1, . . . w) zu verstehen haben. Sind a und b feste Punkte und durchlaufen c und b zwei Punktmengen so, dass fortwährend b — b == C — a ist, so soll gesagt werden, die Menge der Punkte b gehe aus der Menge der Punkte c durch Translation von a nach h (oder durch Addition von b — a) hervor. Die Menge aller Punkte j, für welche eine Formel £ = (1 ~ Vj — .. Vm) P + V^p^ H h Vmpm Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 173 mit irgend welchen Grössen Vj, . . . t>,„ besteht, soll die durch p, pj, ... p„j gelegte Mannigfaltigkeit heissen. Die durch o, Oj, ... o„ gelegte Mannigfaltigkeit ist die aller Punkte Xi^ ... x». Es seien p,, ... p;;, sämmtlich von p verschieden; die Möglichkeit einer Beziehung (2) mit Werthen Vj, ... Vmj die nicht sämmtlich Null sind, bedeutet dann eine Eigenschaft lediglich der Richtungen von p nach p,, . . . p„; existirt eine solche Beziehung, so heissen diese Richtungen abhängig, anderen- falls unabhängig. Nach der Bedeutung von (1) sind die Richtungen 00^, ... 0 0„ selbstverständlich unabhängig; ferner sind mit Rücksicht auf (1) unter den Richtungen in einer durch m -\- l Punkte gelegten Mannigfaltigkeit mehr als m Richtungen immer abhängig, desgleichen in jedem Falle mehr als w Richtungen. Hat mau w ^ w, so genügt der Formel (2), in Anbetracht von (1), dann und nur dann das System Vj = 0, . . . Vm = 0 ausschliesslich, wenn nicht jede aus der Matrix IPH^'^-päW (Ä=l, ... w; Ä;=l, ... m) zu bildende w-reihige Determinante Null ist. In solchem Falle sind also die Richtungen pp^, ... pp„, unabhängig und soll die Mannig- faltigkeit durch p, pi, ... pm alsdann von der m^'' Ordnung heissen. Nun seien p^, ... p„ irgend n Gitterpunkte in n unabhängigen Richtungen von 0 aus; es gehört dann zu jedem Punkte j eine be- stimmte Auflösung Vi, ... Vn der Formel J _ 0 = V,{p, -0)-\ h Vnipn - 0), d. i. des Systems der n Gleichungen (3) Xh = Ph^'^v, + . . . + pn^^^v, (/.= !,... n). Es werde mit ©* für Ä = 1, . . . n die durch o, pi, ... p* gelegte Mannigfaltigkeit bezeichnet; @„ wird dabei die Mannigfaltigkeit aller Punkte ; ferner erscheint ^m für w = 1, ... w — 1 immer durch v„i-^i = 0, ... Vn = 0 definirt und liängen für die Punkte daselbst v, , ... v„i allein von pj, ... p„, ab; es werde noch unter ß^, der Punkt 0 verstanden, für welchen man v^ = 0, ... i;„ = 0 hat. Nun möge von irgend zwei verschiedenen Punkten immer der- jenige als niedriger bezeichnet werden, bei welchem von den n Bestimmuugsstücken v„, ... v^ das erste, in dem die Punkte nicht übereinstimmen, den kleineren Werth hat. Im Bereiche (4) 0^v„ ... O^Vn ist dann o niedriger als jeder andere Punkt, sind die Punkte in @, niedriger als die ausserhalb ©j, die in @2 niedriger als die ausser- halb @2, u. s. f. Das Parallelepipedum 0< ui< 1, ... 0 1) an, indem man dabei h < h annimmt, so folgt aus der Bedeutung von r*, dass immer (6) 0 < ß,(') < ß,y^\ h > h sein muss; und setzt man g als einen beliebigen Gitterpunkt in @/, voraus, so muss sich für j:^'*) immer der Punkt o herausstellen, und findet man so einen jeden Gitterpunkt j in %^ durch ? - 0 == y,{x^ - o) + • • • + ynix, - o) mittelst bestimmter ganzer Zahlen 2/1, • . • yu dargestellt. Addirt man andererseits zu einem Punkte Xk (Ä = l, . . . w) einen beliebigen solchen Ausdruck j — 0, worin h eine Zahl der Reihe n, .,. 1, ferner y/,, ... y^ ganze Zahlen und yn ^ 0 sein mögen, so kommt man, wenn yu > 0 ist, offenbar jedesmal auf einen Punkt, gegen den r* niedriger ist, ferner, wenn li = h, yk = — 1 ist, auf einen Punkt in (£a_i, endlich in jedem anderen Falle, wo y^ < 0, also ^ — 1 ist, mit Rücksicht auf (5) und (6) immer auf einen Punkt ausserhalb des Bereichs (4). Man sieht daraus, dass durch die Beziehunger» (5) und (6) und durch den Umstand, dass man in der Form C^) 1-0 = ?/,(ri — 0) H f- ?/„(r„ ~ 0) Eine weitere analytisch-arithmetieche Ungleichung. 175 mittelst ganzer Zahlen i/u ••• V». einen jeden Gitterpunkt erhält, Vi, ... t„ vollständig charakterisirt sind, nämlich sieh dadurch immer r^t als der niedrigste Gitterpunkt in (4) ausserhalb ©*_! erweist. Es hänofen danach diese Punkte offenbar auch nur von den Richtunsen opi, ... opn ab. Zwischen den Coordinaten x^y ... x^ eines beliebigen Punktes j und den Werthen ?/, , ... yn, welche für diesen Punkt die Formel (7) erfüllen, folgen nun aus (1) und (7) die Beziehungen Xk = atyhj^ -\ f- an^^'^yny yk = W^^^i H h W'^a;, (h, k=l, ... n), wenn aj^^\ . . . a„^*^ die Coordinaten Xij ... Xn für r^- und bj^''\ ... &«^*> die Bestimmungsstücke y^, ... ?/„ für O/, vorstellen. Alle diese Coef- ficienten sind dann ganze Zahlen und aus , «//^"^ | \ 6^^*^ \ = 1 entnimmt man deshalb | «a^*^ I = i !• ^^^ Einführung dieser Variabein y^, ...y„ an Stelle von rCi, ... x„, wobei die ganzzahligen Systeme x^, ... Xn in die ganzzahligen Systeme 2/i; • • • y» übergehen, soll die Reduction des Zahlengitters in Bezug auf die Richtungen op^, ... op« heissen. Der Nutzen dieser Reduction beruht in der einfacheren Darstellung, die man dadurch für die Mannigfaltigkeiten (S,„ erzielt; es erscheint da- bei immer ^m (für Wi = 0, 1, ... 7^ — 1) durch y^+i = 0, . . . ?/« = 0 definirt. Aus (5) und den verschiedenen Ausdrücken für J — 0 entnimmt man noch die Auflösung dieser Gleichungen laute 2/i = ^i^'^^i + • • + ?i^"^Vn, . . . !/» = qn^^'^vn (2a^*> = 0, ä > A;); darin stellen dann ^i^*), . . . g„^*) die Werthe y^, ... «/« ^ör pi vor und sind also sämmtlich ganze Zahlen; man hat nun immer ßh^^^Qj^'^ = 1, und sind deshalb zufolge (5) die Zahlen $//*) sämmtlich > 0, und femer findet man, wenn h.(*) ! = 1 2//*M, I «A^*^ I I 2a^*^ 1 = li'//*) I, ist also gi(i> ... «r/"^ = ± il5//*M • ^^^ Rücksicht auf (5) und (6) kommen nach diesen Umständen nun, sowie einmal der Werth der Determinante | j)//*^ ! gegeben ist, für die Coefficienten /S^^*) in (5) bereits nur eine endliche Anzahl von Systemen in Frage. Aus (8) entnimmt man noch, dass für ein m < n die Zahl ^1^^^ . . . qu^"^ immer durch den grössten Theiler aller aus den m 176 Fünftes Kapitel. ersten Verticalreihen von |jPa^*^ | zu bildenden tw-reihigen ünterdeter- minanten aufgeht, andererseits selbst ein Theiler jeder dieser Unter- determinanten ist; somit deren grössten gemeinsamen Theiler darstellt. 47. Kleinstes System von Strahldistanzen im Zahlengitter. I. Es mögen zuvörderst beliebige Strahldistanzen S{ah) voraus- gesetzt woxden, und es soll nur angenommen werden, was bei ein- helligen Strahl dis tanzen immer zutrifft, dass eine positive untere Grenze q für alle Distanzcoefficienten -^, r^. existire. Es bedeute ferner ^ ü(ao) — den crrössten unter den Strahl distanzen n ^ vorkommenden Werth. Die Richtungen OOj, ... 0 0„ sind unabhängig, und giebt es also gewiss n Gitterpunkte in n unabhängigen Richtungen von 0 aus mit Strahldistanzen < — von o. Für Punkte in derartigen Strahldistanzen von o nun sind die Spannen von o immer < — , und ^ =-- ng ' in solchen Spannen, umsomehr also in jenen Strahldistanzen von o, befinden sich gewiss nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten. Es sei (Gl) die endliche Menge aus allen vorhandenen, von o verschie- denen Gitterpunkten mit Strahldistanzen <— von o; insbesondere wer- den zu ((ti) also die Punkte Oj, ... 0„ gehören. Die kleinste Grösse, die unter den Strahldistanzen von o nach den einzelnen Punkten in (G^) vorkommt, ist dann zugleich die kleinste Strahldistanz, in der überhaupt von 0 aus ein anderer Gitterpunkt zu finden ist. Diese Strahldistanz werde jetzt mit M^ bezeichnet. Es sei sodann (M^) die Menge aller der Punkte aus ((rj, welche die Strahl- distanz Ml von 0 darbieten, es sei p^ ein beliebiger erster Punkt daraus, sodann, wenn {Mj) noch mindestens einen Punkt ausserhalb der durch 0 und p^ gelegten geraden Linie enthält, ipg ®^^ beliebiger solcher Punkt aus (ilfj), weiter, wenn (Mj) noch mindestens einen Punkt ausserhalb der durch o, p^, ^g gelegten Mannigfaltigkeit ent- hält, ^8 ein beliebiger solcher Punkt aus (M^) u. s. f. Man wird, wenn die durch o und (M^) gelegte Mannigfaltigkeit von der Vj^^ Ordnung ist, in dieser Art irgend v^ Gitterpunkte p^, ... p^^ in (M^) in Vj unabhängigen Richtungen von 0 aus finden können und dann wird die durch 0 und p^, ... p,,^ gelegte Mannigfaltigkeit mit der durch o Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 177 und (M^) gelegten identisch sein; diese Mannigfaltigkeit möge o(ilf,) heissen. Ist dann v^ 1) immer die kleinste Strahldistanz von 0 nach allen Gitterpunkten ausserhalb o(Jlfi,...ilfx-i) zusammengenommen bedeuten. Endlich wird es dabei, auf eine oder mehrere Arten, mög- lich sein, n Gitterpunkte p^ , . . . p„ in n unabhängigen Richtungen von 0 aus zu wählen, so dass von den n Strahldistanzen die i^i ersten gleich M^j die v.^ folgenden gleich M2, . . ., die vx letzten gleich 3Ix sind. Miukowski, Cedinelrie der Zahlen. 12 178 Fünftes Kapitel. Stellen jetzt q^ , ... q„ beliebige n Gitterpunkte in n unabhängigen Richtungen von o aus vor, und ist q^^, ... q^^ eine solche Anordnung derselben, bei der man S (o €{/,,) ^' " ^ S{oC{h^) hat, so sind die Diffe- renzen S(0(\{) — S{0(\hX "' ^{^^n) — S{oc\hJ entweder sämmtlich Null, oder aber es ist die erste von Null verschiedene unter ihnen gewiss > 0. Nun sind zuvörderst q^^, ... qA„ sämmtlich von o ver- schieden, es können weiter, wenn v^ 0. Nach dieser Eigenschaft verdienen die Grössen S^^ ... Sn die Bezeichnung als kleinstes System von un- abhängig gerichteten Strahldistanzen im Zahlengitter. Man setze Vi = /i^i, ... Vi -\- '•--{■ Vy, == ^,.j und es werde noch unter fi^ die Zahl 0 verstanden. Nach 46. kann man immer an Stelle von Xif . . . x„ durch eine lineare Substitution mit ganzzahligen Coef- ficienten und mit einer Determinante + 1 solche Variabein y^ . . . Pn einführen, in denen eine jede Mannigfaltigkeit d^M^^ ,.. Mx-.i){ic = l, ... X) — für X =^ 1 hat man hierunter den Punkt 0 zu verstehen — durch y^,-i-hi = 0, . . . 2/n = 0 definirt erscheint. Dabei ist noch zu bemerken: stimmen zwei Gitter- punkte in den Resten ihrer Coordinaten x^, . . . Xn in Bezug auf eine ganze Zahl p als Modul überein, so überträgt sich diese Eigenschaft jedesmal auch auf die ihnen zugehörigen Werthe y^, ... y„. II. Von jetzt an sollen die Strahldistanzen S(ah) sowohl ein- hellig wie wechselseitig vorausgesetzt werden. Mit jedem Punkte a hat dann der zu ihm in Bezug auf 0 symmetrische Punkt 2 0 — a dieselbe Strahldistanz von 0. Ist ferner p irgend eine ganze Zahl ^ 2 und ergeben die Coordinaten von zwei Gitterpunkten a und b dasselbe System von Resten in Bezug auf p, so ist auch ^-g 4_ p =^ b-f(2o - Q)4-(j?- 2)0 ein Gitterpunkt und die Strahldistanz von 0 für ihn < — -^ • Wenn nun p> 2 und S(da) S'(dj)^ 1 z. B. den Bereich wobei t eine Grösse > 1 sein möge, so hat man S^= 1, S^ = t uujj pi unter den zwei Punkten ^i = + 1 , a^g = 0 und pg unter allen Punkten, für die —t-^x^-^t, x^== ^1 ist, zu wählen. Man sieht dar- aus, dass im Allgemeinen für die Anzahl der verschiedenen Arten, auf welche man n Gitterpunkte in n unabhängigen Richtungen von o aus mit möglichst kleinen Strahldistanzen von o wählen kann, nicht eine bloss von n abhängende obere Grenze angegeben werden kann. Dies wird jedoch möglich, sowie die Aichfläche der Strahldistanzen, die Fläche /^(ojc) = 1, überall convex oder doch wenigstens in allen rationalen Richtungen convex ist; unter letzterem Ausdrucke soll verstanden werden, dass keine Strecke ob mit rationaler Richtung ah dieser Fläche ganz angehört; diese Eigenschaft überträgt sich dann offenbar auf jede Fläche constanter Strahldistanz. Trifft nun diese Eigenschaft zu, und ist a ein Punkt aus der Menge (Ä), also für ihn jedenfalls 2/,"x-i+i' • • • 2/« iiicht sämmtlich Null, und b ein von a und von 2o — a verschiedener Gitterpunkt, für den man S{ph) ^My. hat, so können niemals a und b in den Resten ihrer Coordinateu mo- dulo 2 übereinstimmen. Denn es stimmt dann b gewiss nicht sowohl mit a wie mit 2o — a'" in den Werthen y,»^_i-j-i, ... 2/» überein; es seien diese Werthe etwa für b und Q verschieden; dann liegt der Punkt -T { ^ — <^) gewiss nicht in o(ilfi, ... Mx-i) und kann nun nicht ein Gitterpunkt sein, denn er müsste als ein Punkt der Strecke von 2o — a nach b, indem diese Punkte dem Körper S{qi) -^ My, an- gehören und diese Strecke eine rationale Richtung hat, eine Strahl- distanz < My, von 0 besitzen, was dann der Bedeutung von My. ent- gegen wäre. Beachtet man noch, dass für b hier insbesondere der Punkt 0 eintreten kann, so kommen danach für einen jeden Punkt p^ sicher nicht mehr als 2«+^ — 2 Gitterpunkte, für die Auswahl der n Punkte <3i, ... ^„ also gewiss nicht mehr als (2"+^ — 2)" Möglich- keiten in Betracht. 12' 180 Fünftes Kapitel. 48. Eine Anwendung auf die endlichen Gruppen gansszahliger linearer Substitutionen. Es möge eine einfache Anwendung des letzten Ergebnisses ein- geschaltet werden. Es seien B^j ... Bu, eine endliche Anzahl ver- schiedener Operationen von folgender Art: By (für y =. 1, . , . w) soll darin bestehen, dass man die n Variabein x^^ ... Xn durch bestimmte n Ausdrücke (1) &K^i + --- + &Ka:„ (^=l,...n) mit lauter ganzzahligen Coefficienten hhl ersetzt. Jede dieser ho- mogenen linearen ganzzahligen Substitutionen By soll ferner umkehr- bar sein, d. h. 'die Determinante in ihr, | h^l |, soll jedesmal von Null verschieden sein. Zu jedem Punkte a^ , ... a„ oder a giebt es dann immer einen bestimmten Punkt x^^j ... ic„, für welchen die vor- stehenden n Ausdrücke (1) gleich «j, ... a« werden; dieser Punkt werde mit a^^^ bezeichnet. Für n Punkte a^, ... a„, die in n unab- hängigen Richtungen von o aus liegen, werden a^y\ ... a^Y) immer ein System von n Punkten mit eben derselben Eigenschaft vorstellen, und wird dieses neue System, indem aus ihm umgekehrt die Sub- stitution By ganz zu ersehen ist, für die verschiedenen Werthe y==lj...w nothwendig immer verschieden ausfallen. Endlich sollen jene w Ope- rationen eine Gruppe bilden, d. h. wird nach einer ersten dieser Sub- stitutionen, JBy, von Neuem eine dieser Substitutionen, Bsj ausgeführt, so soll die resultirende Operation, welche man durch ByBö andeutet, immer wieder auf eine der w Substitutionen hinauslaufen. Für die Anzahl Wj die Ordnung einer solchen endlichen Gruppe, lässt sich dann, wie jetzt gezeigt werden soll, eine nur von der Variabeinzahl n abhängende obere Grenze angeben. Zunächst sieht man, dass die Determinante jeder Substitution By gleich + 1 sein muss. Denn die w Producte ByB^, ... ByB^j die je zu einem und demselben Index y gehören, sind immer durchweg verschieden und müssen daher, von der Reihenfolge abgesehen, genau die Substitutionen B^^ ... B^ ergeben. Betrachtet man nun unter den zweiten Factoren dieser Producte einmal einen solchen mit mög- lichst grossem und dann einen solchen mit möglichst kleinem absoluten Betrag der Determinante, so ergiebt sich, dass der absolute Betrag der Determinante von By weder > 1, noch < 1 sein kann, also viel- Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. XSl mehr = 1 sein muss. Für einen Gitterpunkt a erscheinen nun- mehr auch alle Punkte a^y^ als Gitterpunkte. Nun denke man sich irgend welche einhellige und wechselseitige Strahldistanzen T(ah) mit einer in allen rationalen Richtungen con- vexeu Aichfläche; z. B. giebt es bereits solche Flächen als Begren- zungen von Parallel epipeda. Die Eigenschaften, die dadurch dem Körper T(oi) < 1 zukommen, werden dann auch jedem der Körper T(oj(>'>) < 1 (y = 1, . . . m;) zu Theil. Man schreibe T(oj(>')) = Ty(di). Indem die w Producte ByB^, ... By By, immer, abgesehen von der Reihenfolge, mit B^, ... Bu, zusammenfallen, werden bei jedem Index y die w; Werthe ^^(oj^y)), ... Ty,{Qi^y^), abgesehen von der Reihenfolge, mit den Werthen ^^(oj), ... T^ipl) identisch sein. Der durch das gleichzeitige Bestehen der w Gleichungen definirte Bereich von Punkten, der K heisse, hat daher die Eigenschaft, dass mit irgend einem Punkte 5 ihm jedesmal alle w Punkte j^^^, ... j^"*) angehören. Nun hat K wie jeder der Körper Ty(oj)^l zunächst 0 als Mittelpunkt und auch inneren Punkt; weiter liegt jeder Punkt der Begrenzung von K auf mindestens einer der Flächen T.,(oj:) = 1, und ist eine Stützebene durch ihn an diese Fläche dann jedesmal auch eine Stützebene au K-^ endlich kann auch die Begrenzung von K keine Strecke von rationaler Richtung enthalten, denn von beliebigen 2tv + 1 Punkten einer solchen Strecke müssten gewiss irgend drei sich auf einer und derselben Fläche Ty(oj) = 1 befinden. Danach ist die Begrenzung von K wieder eine in allen rationalen Richtungen convexe Fläche mit 0 als Mittelpunkt. Bezeichnet man nun mit ^(ab) die Strahldistanzen, für welche K den Aichkörper vorstellt, so lässt sich ein System von n Gitterpunkten in n unabhängigen Richtungen von 0 aus und mit möglichst kleinen Strahldistanzen S{q^ nach 47. gewiss auf nicht mehr als (2"+^ — 2)" Arten angeben. Es besteht nun hier die Eigenschaft S{pi^''^) = S{qi) (y == 1, ... w)\ ist pj, ... p„ ein erstes System von n Gitterpunkten jener Art, so stellen daher p/>>, . . . p,/>'^ für y == 1, . . . w; jedesmal ein eben solches System vor, und da je w in dieser Weise zusammengehörige Systeme von w Punkten immer durchweg verschieden sind, muss nun nothwendig t(;<(2"+^ -2)" sein; so ergiebt sich: Die Ordnung einer endlichen Gruppe von ganzzahligen homogenen linearen umkehrbaren Substitutionen mit n Va- riabeln ist immer ^(2'' + i - 2V. 182 Fünftes Kapitel. 49. Von den positiven quadratischen Formen und ihren ganzzahligen Transformationen in sich. I. Eine quadratische Form mit n Variabein x^^ . . . x» und reelleu Coefficienten, f= HahkXhXk (Ä, Ä == 1, . . . n), wobei immer ükh == cihk vorausgesetzt wird, heisst positiv, wenn sie für jedes System von reellen Werthen der Variabein ausser dem Systeme 0, ... 0 immer positiv ausfällt. Es werde, wenn m eine der Zahlen 1 , . . . w bedeutet und h^y . . . hm', \j ... hn je ni verschiedene Zahlen der Reihe 1, ... ?^ sind, die Determinante aus den m^ Elementen ank {h = \i ... h„^\ Jcz=Jc^j ... Jcm), h als den Index der Horizontal-, k als den der Ver- ticalreihen aufgefasst, mit -Dl;/' ' t."*) bezeichnet. Dafür, dass /' eine positive Form vorstellt, ist, wie man weiss, nothwendig und hinreichend, dass die n Determinanten sämmtlich positive Werthe haben. In der That, zunächst muss D^ == a^^ als der Werth von f für das System iCj = 1, iCg = 0, ... Xn = 0 sich > 0 erweisen; es lassen sich dann ö?^, a^^) • • • ^i« ^^^ ^i"® Weise so bestimmen, dass, wenn man f= d^^x^ + «^2^2 + *•* + «in^«y + f^^^ setzt, die Form ß^^ nicht mehr iCj, also nur noch rTg, ... Xnj enthält; denn dabei ergiebt sich t^i = D^ ^ 0. Nun werde angenommen, man habe für einen gewissen Werth h, der 0, ... Da > 0 er- fordert, andererseits dadurch eine bestimmte Darstellung /•= di(x^ + «12^2 H h CCm^nf H h (h{0CH H h CChnXnf + f^^'^ mit sich bringt, worin f^^^ nur noch rrA+i, . . . Xn enthält, und ^i=-7f; A . „ A ist (unter D^ die Grösse 1 verstanden). Es sei dann (^a+i der Coef- ficient von Xh-{.\ in /'^''); führt man Xh + i == 1 und, falls auch h -\- 1 noch < n ist, weiter x^j^^ = ^^; • • • Xn = 0 ein und setzt ausserdem nach einander die Gleichungen -— ' = 0, . . . ^ ^ = 0 voraus, so stellt sich dabei offenbar f ■= dn+i heraus. Danach muss, wenn Z' po- sitiv sein soll, weiter dh^i > 0 sein. Bei den soeben getroffenen Fest- Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 183 Setzungen ergiebt sich ferner ^ ^ = dk+i\ zieht man jetzt die Ausdrücke (1) -s-5v-==«mia;i H höPmna:« (m = 1, . . . n) m heran, so führt die Berechnung von x^^i mit Hülfe der A + 1 ersten dieser Gleichungen bei jenen Festsetzungen zu D^dh^i = A+i- So geht Da-li > 0 hervor und daraus weiter entweder, wenn auch /i + 1 noch < n ist, eine der angenommenen analoge Darstellung von f mit Bezug auf den Werth Ä + 1, oder, wenn ä + 1 = w ist, das gesuchte Endresultat, dass die Ungleichungen Dj > 0, . . . 2)„ > 0 einerseits sämmtlich nothwendig sind, damit f positiv sei, und andererseits dafür auch hinreichend sind, indem sie in einer gewissen Identität ^ahkXnXk = li -\ h In^f Ih = ydH {Xh + ah,h + \Xh^i -\ h tthnXn), dh = j^ — (Ä = 1, . . . «) unmittelbar eine Darstellung von f als Summe der Quadrate von n reellen unabhängigen bnearen Formen an die Hand geben. Ist h • • Y ^^ ' ^^^ (^) ^^^8^ ahh^dh {h = lf ... n); indem nun Z)„ = (^ . . . fl?« ist, entnimmt man daraus (4) a^^ .. .ünn^Dn» Ein System von n linearen Formen mit n Variabein kann, ohne dass man die Variabelu darin zu benennen braucht, hinreichend 184 Fünftes Kapitel. durch seine Matrix, d. i. sein quadratisches Coefficientensystem an- gegeben werden; dabei sollen immer die einzelnen Horizontalreihen aus den Coefficienten der einzelnen Formen bestehen und die Vertical- reihen den einzelnen Variabein entsprechen. Unter der Matrix einer quadratischen E'orm fix^y ... ic„) verstehe man das quadratische Coefficientensystem der n linearen Formen -^ ^ .... - ., Eine lineare Substitution, die darin besteht, dass man n schon ein- geführte Variabein gleich gewissen linearen Formen von n neuen Variabein setzt, werde durch die Matrix dieser n Formen angezeigt. Wird nach einer ersten Substitution in diesem Sinne, Aj von Neuem eine solche Substitution, Bj angewandt, so ist das Resultat gleich- bedeutend mit einer einzigen linearen Substitution, die man alsdann mit AB bezeichnet. Ferner bedeute 0 die sogenannte identische Substitution (für n Variabein), die darin besteht, dass alle Variabein ungeändert bleiben; und man verstehe, wenn die Determinante einer Substitution A von Null verschieden ist, unter A~^ jedesmal diejenige Substitution Z7, für welche AU == 0 gilt. Ein quadratisches System von n'^ Grössen kann so insbesondere als Symbol für eine lineare Substitution gelten; unter dem Product aus zwei solchen Systemen A und B versteht man dann das Coef- ficientensystem eben zur Substitution AB. Endlich werde noch, wenn A ein quadratisches Grössensystem vorstellt, das daraus durch Ver- tauschung der Horizontal- mit den Verticalreihen hervorgehende System mit A bezeichnet. Dabei gilt dann die Regel (AB) = BA. Es stelle A die Matrix von n unabhängigen reellen linearen Formen J, , ... |„ vor; die Determinante von A ist dann von Null verschieden, und / == |^ + ' * ' + Sf, ^^^ ^^^^ positive quadratische Form. Die Matrix der so detinirten Form /' findet sich = AA, und ist die Determinante dieser Form /' danach gleich dem Quadrat der Deter- minante von A. Wendet man auf die Variabein in g^, ... |„ irgend eine lineare Substitution B an, so geht die Matrix A in ABj die Form f also in die quadratische Form {AB) AB = BAA1> = BfB über; die Determinante dieser neuen Form erweist sich dadurch gleich der Determinante von f\ multiplicirt in das Quadrat der Determinante von B. Soll BfB == /' werden, so muss also jedenfalls die Deter- minante von B gleich + 1 sein. 11. Es sei /' eine positive quadratische Form mit den n Variabein .Tj, ... Xn- Indem man für f die Darstellung (2) hat, stellt /*< 1 einen besonderen überall convexen Körper mit 0 als Mittelpunkt vor; dieser Körper wird als Ellipsoid bezeichnet. Man nehme diesen Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 185 Bereich f ^\ als Aichkörper von Strahldistanzen S{ah), und es sei pj, . . . pn ein System von n Gitterp linkten in n unabhängigen Rich- tungen von 0 aus und mit den für diesen Umstand kleinstmöglichen Strahldistanzen Sj, ... Sn von o. Nach 47. giebt es hier gewiss nicht mehr als (2"+^ — 2)" verschiedene solche Systeme pj, ... p„. Es seien jf-^^ . . . j?^*^ die Coordinaten von p* (Ä = 1, . . . n), und .es sei P das quadratische System aus den Grössen p^*^, h als den Index der Horizontalreihen genommen. Ist dann B irgend eine Substitution mit ganzzahligen Coefficienten, durch welche f in sich selbst über- geht, so werden die n Verticalreihen des Systems BF = Q ebenfalls nach einander die Coordinaten von n solchen Gitterpunkten pi, . . . q„ ergeben, die in n unabhängigen Richtungen von o aus liegen und für welche man iS'(oqi) = /^i, ... ^(oq«) == Sn hat. üeberdies fällt dieses System BF für verschiedene Substitutionen B immer verschieden aus. Daraus entspringt der Satz: Eine positive quadratische Form mit n Variabein besitzt gewiss nicht mehr als (2" + ^ — 2)" ganzzahlige Transforma- tionen in sich. Die ganzzahligen Transformationen einer positiven quadratischen Form /' in sich bilden nun jedesmal eine Gruppe von endlicher Ord- nung. Hat man andererseits irgend eine endliche Gruppe von ganz- zahligen umkehrbaren Substitutionen für n Variabein, B^, ... J5„,, so nehme man zunächst eine positive quadratische Form tp mit n Va- riabein beliebig an; sind dann cp^, ... g),« diejenigen Formen, in welche (p durch 2?i , ... J5,„ übergeht , so stellt 9?i + • ■ • + ^w = f ebenfalls eine positive quadratische Form vor, und es geht diese Form f durch jede der Substitutionen By in sich selbst über, indem immer B^By. ... BtoBy, abgesehen von der Reihenfolge, mit B^, ... Bu, übereinstimmen. Also ist die vorgelegte Gruppe ganz enthalten in der Gruppe derjenigen ganzzahligen Substitutionen, durch welche die Form f in sich selbst übergeht. Die Aufgabe, alle endlichen Gruppen ganzzahliger Sub- stitutionen zu bestimmen, wird danach naturgemäss in der Theorie der positiven quadratischen Formen ihre Erledigung finden. HL Stellt B irgend ein quadratisches System von n^ Elementen vor und t eine Constante, so bedeute tB dasjenige System, welches aus B durch Multiplication ^ aller Elemente mit t hervorgeht. Sind B = II hk II und C = i Caa :l (Ä, ^ = 1, . . . n) zwei quadratische Systeme von n^ Grössen, so verstehe man unter B -\- C das quadratische System aus den n^ Grössen hk + Chk (hy h=l, .. . n). Findet man 186 Fünftes Kapitel. unter den Potenzen B, B^y . . . einer Substitution B die identische Substitution 0, und zwar zum ersten Male in B"\ so heisst B von der Ordnung m. Endlich mögen, wenn es sich um Substitutionen mit ganzzahligen Coefficienten handelt, zwei Substitutionen B = \\ hhk II und C == II CAJt II (h, Ä; == 1, . . . w) congruent in Bezug auf eine ganze Zahl q heissen, wenn alle n^ Congruenzen 6/,* e^ Caa (mod q) (h, ]c=l, ...n) statthaben. In Grelles Journal Bd. 100, S. 449 und Bd. 101, S. 196 habe ich den folgenden Satz aufgestellt, der für die Theorie der endlichen Gruppen ganzzahliger Substitutionen von der grössten Bedeutung ist: Eine ganzzahlige und von der identischen verschiedene Substitution von endlicher Ordnung erweist sich in Bezug auf jede Zahl ?^3 schon immer als nicht congruent der identischen Substitution. Dieser Satz lässt sich nach einer Bemerkung , die ich Herrn Franklin verdanke, einfacher als in den erwähnten Aufsätzen folgeu- dermassen beweisen: Es sei B irgend eine ganzzahlige Substitution, die verschieden von 0 ist, aber entweder in Bezug auf die Zahl 4 oder in Bezug auf eine ungerade Primzahl p der Substitution 0 congruent erscheint; (jede Zahl ]^ 3, die nicht durch 4 aufgeht, enthält wenigstens eine ungerade Primzahl als Factor). Man verstehe unter q in dem ersteren Falle die Primzahl 2, in dem anderen die Primzahl p. Nach Voraus- setzung sind in ^ — 0 gewiss nicht alle Coefficienten Null; es sei g^ die höchste in ihnen allen aufgehende Potenz von q: man soll nun ft ^ 2 im Falle q = 2 und ft > 1 im Falle q = p haben. Man setze B == 0 -j- 3" Wy dann sind in W die Coefficienten noch sämmtlich ganze Zahlen, aber nicht mehr durchweg durch q theilbar. Aus dieser Gleichung leitet man mit Rücksicht auf die Bedingung, der ^ zu ge- nügen hat, für eine jede zu q relativ prime positive ganze Zahl t: B'=0 + tq^' W (mod 3^' + ^ , B"i = 0 + tq^+'^W (mod 3^'+^)^ ^^^ j^tq^ ^ 0 + tq^+^^ (mod g."+*+i) her, und danach fällt niemals eine Potenz von B mit positivem Ex- ponenten gleich 0 aus, somit kann B nicht von endlicher Ord- nung sein. Diesem Satze zufolge können in einer endlichen Gruppe von ganzzahligen umkehrbaren Substitutionen niemals zwei verschiedene Substitutionen B und C in Bezug auf 4 oder in Bezug auf eine un- gerade Primzahl p congruent sein. Denn mit B und C würde in der Gruppe auch die Substitution B—^C auftreten, diese würde also eben- Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 187 falls voD endlicher Ordnung sein; sie fiele nun :^ 0 (mod 4 oder p) aus und wäre doch von 0 verschieden. In einer Gruppe von dem bezeichneten Charakter werden mithin in Bezug auf eine irgendwie angenommene ganze Zahl Z^3 die verschiedenen Substitutionen schon immer durchweg verschiedene Reste lassen. Dabei kommen ferner nur solche Reste in Betracht, deren Determinante ^ + 1 (mod T) ist. Für ^ = 3 z. B. entnimmt man hieraus, dass die Ordnung einer endlichen Gruppe von ganzzahligen umkehrbaren linearen Substitutionen gewiss stets < 3"' ist. Es ermöglicht der gefundene Satz aber noch eine viel tiefere Folgerung (vgl. Grelles Journ. Bd. 101, S. 198), nämlich dass in der Ordnung einer solchen endlichen Gruppe eine beliebige Primzahl g jedesmal höchstens in der Potenz mit dem Exponenten b^ -iJ + U(2 - l)-l "*" U'(2 - l)-! "*" enthalten ist, und zwar tritt diese Potenz von q immer in gewissen dieser Ordnungszahlen wirklich auf. Die Klammer [ ] hier dient als Functionsze? len für die grösste in dem von ihr umschlossenen Argu- ment enthaltene ganze Zahl, und ist die Summe hier soweit fortzu- setzen, als die Glieder darin nicht Null werden. Insbesondere ergiebt dieses Theorem, dass in den fraglichen Ordnungen überhaupt nur solche Primz^len, die ^w -[- 1 sind, auftreten können, und ferner, dass jede dieser Ordnungen in der Zahl (2w)! aufgeht. 50. Oekonomie der kleinsten Strahldistanzen. Wir nehmen jetzt die in 47. unterbrochene Untersuchung mit den dort eingeführten Begriffen und Bezeichnungen wieder auf. I. Es seien irgend weiche einhellige und wechselseitige Strahl- distanzen /S(ab) gegeben, und es sei pi, • . . p,» ein System von n Gitterpunkten in n unabhängigen Richtungen von 0 aus und mit den für diesen Umstand kleinstmöglichen Strahldistanzen S^, . . . Sn von 0; es seien j9/*^ . . . i?«^*^ die Coordinaten von p* (Ä = 1, ... n), und es bedeute P die Substitution (1) Xh = Ph^^H, H h pk^^^Vn (/i = 1, . . . n). Die Determinante von P stellt eine von Null verschiedene ganze Zahl vor, ihr absoluter Betrag werde mit N bezeichnet; es giebt diese Grösse N dann zugleich das Volumen des durch (2) 0fc zu setzen sein. Das Zahlengitter in v^, ... v„, d. h. die Menge aller Punkte mit ganzzahligen Werthen von v^, . . . t;„, findet sich ganz dem Zahlen- gitter in iCj, ... Xn einverleibt und ist sogar mit diesem identisch, vjrenn man im Besonderen ^ = 1 hat. Nun erhält man durch die Translationen des Bereichs (4) 0^v,<\, ... 0 h) charakterisirt ist, und dass ausserdem darin die Beziehungen statthaben: (8) 0(^i, • • • ^«)- Werden für 2/i, ••• yn ganze Zahlen eingesetzt und ist unter ihnen y^ von Null verschieden, so folgt aus der Bedeutung der Coordinaten y^, ... y„ in Bezug auf die Mannigfaltigkeiten o{Mj^, . . . My) (s. 47. 1) jedesmal : (10) /•(?/„ ... yn)>Sn. Für den Punkt p/, speciell hat man y^ = C/W > 0 und yS'(o^A) == &. Berücksichtigt man noch die Ungleichungen S^ < • • • < 5^„, so zeigt sich: Es stellt Sh immer das Minimum vor unter allen Werthen von Eine weitere analytisch- arithmetische Ungleichung. 191 fiViy ••• Vn) für solche ganze Zahlen y^^ ... t/„, wobei in der Reihe y*, 2/a+i> • • • ^n mindestens eine von Null verschieden ist. Durch diesen Umstand ist nun das System der Grössen ^j,... 5, auch vollständig charakterisirt. Denn hat man irgend n Gitterpunkte in n unabhängigen Richtungen von o aus, so ist die Determinante aus ihren Coordinaten von Null verschieden; es können daher gewiss nicht bei mehr als li — \ von den Punkten alle n — h -\- 1 Coor- dinaten 2/ä, y/.+i, • ' ' Vn gleich Null sein, und weisen nun immer min- destens n — /* -|- 1 von ihnen Strahldistanzen ^ 5a von o auf. Ist von den Grössen Vh, va+i, ... Vn für einen Punkt mindestens eine von Null verschieden, so gilt das Nämliche bezüglich der Werthe Vhj Vh+ii . . • Vn des Punktes. Also findet man in (10) insbesondere die Ungleichungen enthalten: (11) tp{v,, ...v,)>Sh für jedes solche System von ganzen Zahlen v^j ... v«, wobei in der Reihe v/,, i^a+i, • • • Vn mindestens eine Zahl von Null verschieden ist. Sh selbst kommt hierbei einfacher zum Vorschein, nämlich direct als der Werth von (p(v^f ... f»), wenn mau vn = 1 und die übrigen der Argumente v^, ... v« sämmtlich = 0 setzt. Der Bereich Sü hier erscheint als ein besonderer Fall des in 40. behandelten Körpers; aus den Betrachtungen dort auf S. 117 — 118 ist noch zu ersehen, dass in der Ungleichung iV"< n\ hier, wenn n^3 ist, niemals das Gleichheitszeichen eintritt. Im Falle n = 2 stellt sich 9^1 als ein Parallelogramm dar mit o als einzigem Gitterpunkt im Inneren und vier Gitterpunkten in den Ecken. Alsdann hat man ^ = 1 oder = 2. Im ersteren Falle wird C die identische Substitutiou. Wenn aber N =2 ist, kann zunächst (mit Rücksicht noch auf N{\) = N{2) = 1) die Substitution C"^ nur lauten: Vi = 2/i + Y 2/2, ^2 = Y 2/^5 dann erweisen sich also auch die Punkte t^i = + y , ^g = + -g , die Mittelpunkte der Seiten von SSiy als Gitterpunkte. Für diese müssen nun die Strahldistanzen von 0 einerseits (nach (5)) :< y^i + y 'S^2> andererseits, da die Punkte nicht auf der Linie ^.j = ^ liegen, ^S^ sein; also hat man hier erstens S^ = S^y und gehören zweitens auch die Mitten der Seiten von 91 wie deren Ecken zur Begrenzung des Bereichs S{pi)<.Sy^. Nunmehr vermag dieser letztere nirgends concave 192 Fünftes Kapitßl. Bereich nur mit 9^1 identisch zu sein. Wenn ^=2 gilt, kann dem- nach — ^ = '^^^^ nur die eine Bedeutung des Maximums unter den Beträgen von y^ und y^ -j- y^ haben. Alsdann aber wird es angänglich sein, an Stelle von p^ und p^ irgend zwei, nicht in Bezug auf 0 zu einander symmetrische unter den Ecken und Mitten der Seiten von 9^ einzuführen, und werden dabei nur nicht beide Punkte in Ecken angenommen, so kommt man auch hier zu einer Determinante vom Werthe 1 für N. IV. Es bedeute J das Volumen des Aichkörpers der Strahl- distanzen S{ah)f der hier zugleich durch 9(^1, ... Vn) <.! definirt erscheint. Für einen Punkt ph (^=1, ... n) ist jedesmal von den Werthen v^ , ... f« allein v^ von Null verschieden und zwar = 1 und hat man S(oph) = S^, danach liegt pA immer auf der Begren- S ' • • • ~SJ^ ^' ^^^ Volumen (in x^^ ... x„) 1 n' dieses letzten Körpers ist nun S^ . . . SnJj und mit den n Punkten pi, ... pn wird dieser Körper, indem er nirgends concav ist und 0 als Mittelpunkt hat, sogleich den ganzen Bereich 91 enthalten. Danach 2"JV muss — r- < S, , . , SnJ sein. Es soll nun in den nächsten Abschnitten nl gezeigt werden, dass bei einhelligen und wechselseitigen S(ah) für das System der n Grössen 5j, . . . /S„ immer die Un- gleichung (12) S,...SnJ^2- besteht. Die Ungleichung NS(oj) = 9(1,0), 9,(- 1, 1) ^ g>(0, 1), ß2) -^9(^1,^2); wenn y '> 0 und ;s > 0 ist. Versteht man nun unter t^y t^ positive Grössen, so folgt hieraus 9>(±^i;0) = ^,90,0), 9^(0, ±g = ^29(0,1), und hat man ferner die folgenden Relationen bei dem jedesmal davor bemerkten Grössenverhältniss von t^ und t^i k>k, 'p{± <.. Q > tM± 1- 1) - (fi - h)(+ 1, 1); h < h, (<^ _ ^^)^(o, 1). Danach erweist sich nun für ganze Zahlen v^, v^ der Werth 9(^1,^2) erstens immer ^ qp(l, 0), sowie nur Vj, V2 nicht beide ==»0 sind, zweitens stets ^ g){0, 1), sowie 1^2 ^ ^ ist, drittens stets ^ (p{— 1, 1), wenn sowohl 1^2 ^ 0 wie v^^O ist. Minkowski, Geometrie der Zahlen. 13 194 Fünftes Kapitel. Auf diese Weise haben die Ungleichungen (13) ,p{l, 1) ^ /S'g, ^S^^ und kann insbesondere der Fall eintreten, dass hier alle drei Gleichheitszeichen auf einmal gelten. Man fasse jetzt den Bereich (p(vi, V2) "^S^ ins Auge; er hat 0 als Mittelpunkt und enthält ausser 0 im Inneren Gitterpunkte nur, wenn 5^ < S2 ist, und dann bloss noch auf der Linie Vg = 0. Nun hat man in diesem Bereiche entweder durchweg — 1 -^v^ /Sg. Von dem ganzen Ge- biete V2^2 kann sodann hier, wie der Anblick der oben entwickelten Relationen lehrt, zum Bereiche 9>(t;i, ^2) ^ ^^2 höchstens nur der eine Punkt Vj = — 1, V2 = 2 gehören, und zwar würde dieser Umstand 9)(— 1,2)=:9(— 1,1) = 9(0, l) = g?(l,0) (insonders also S^^-S^) erfordern, worin man den am Schlüsse von III. untersuchten speciellen Fall erkennt. Diese Ausführungen lassen nebenbei Folgendes erkennen: Ist Ä(oj) < 1 überall convex, so kann in (13) nicht das zweite und erste Gleichheitszeichen auf einmal eintreten; und sämmtliche ganz- zahlige Substitutionen mit einer Determinante + 1, welche 9(1^1,^2) in eine Function überführen, die wieder die analogen Bedingungen zu (13) erfüllt, sind dann: 1 0 0 1 1 0 0 - 1 dazu, wenn das erste Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 195 Gleichheitszeichen in (13) gilt, 1 0 0 — 1 1 0 0 1 dritte Gleichheitszeichen iu (13) gilt, 0 1 1 0 0 — 1 , ferner, wenn das 1 I _ , dazu. wenn das erste und dritte Gleichheitszeichen in (13) gelten, noch , weiter, wenn das zweite Gleichheitszeichen in 0 -1 0 1 1 0 ' ~1 0 ) (13) gilt, 1 1 0 —1 ) , dazu endlich, wenn das zweite und dritte Gleichheitszeichen in (13) gelten, noch 0 — 1 1 1 0 1 — 1-1 — 1 0 1 1 1 1 1 — 1 0 0 — 1 1 — 1—1 Die Ungleichung S^^J-^A ergab sich mit Hülfe des Umstandes, dass der Bereich (piy^j fg) ^ S^ im Inneren ausser o keinen Gitter- punkt enthält (s. 30.). Es sei nun S^ < S^^ und man betrachte den Bereich ^y^f ^) ^ 1« Dieser deckt sich einerseits auf der Linie v^ = 0 mit qp(i'i, i>2)^>S^i, geht andererseits aus (p{v^y v 2) ^ /S'2 her- vor, indem man für einen jeden Punkt v^=ß^f v.2 = ß2 ^^^ letzteren Bereichs immer den Punkt v^ = -^ /3^, v.2 = ß^ nimmt, wobei nun der o Factor ~ < 1 ist. Hiernach und mit Rücksicht auf die oben ge- machten Bemerkungen wird nun der Bereich ^(-S-, -|^)^1 ebenfalls im Inneren ausser 0 keinen Gitterpunkt enthalten, und daraus folgt nun durch denselben allgemeinen Satz: S^S^J^^y die Ungleichung (12) für n = 2. Man erkennt ferner, dass , wenn S^ < S^ ist und der Bereich (p (-^, -^* j ^1 von V2 = l durchschnitten wird, auf der Begrenzung dieses Bereichs nur vier Gitterpunkte, nämlich v-^, v^ = -f- I ? 0 ; 0, + 1, liegen; dann ergiebt sich nach 32. sogar >S'i52/<4. Gilt dagegen in diesem Bereiche überall — l^t'2^1; so sei v^'\-zv^ = l eine solche gerade Linie durch Vj = 1, t;2 = 0, wie sie stets vor- handen sein muss, welche diesen Bereich nicht durchschneidet. Dann ist (p\-^ , -5^) < 1 ganz enthalten in dem Parallelogramm — 1 ^Vg ^ 1» — • l^Vi -f TVg ^1, und wird in S^S^J^^ das Gleichheitszeichen nur eintreten, wenn jener Bereich sich mit diesem Parallelogramm 13* 19G Fünftes Kapitel. deckt, also 9)(v,, V2) identisch ist mit dem Maximum unter den Be- trägen von S^Vi + T^oVg ^"^ '^2^2- Eine binäre quadratische Form W == w^^ x^ + ^M^igiCi^Cg + ^^22^2* trägt den Charakter einer positiven Form (s. 49), wenn %i *^22 — ^12^ = 2) > 0 und Wyy > 0 ist. Nimmt man für 5(0^) die Quadratwurzel aus einer solchen Form TT, so folgt aus den letzten Sätzen, dass es möglich ist, die Form W durch eine ganzzahlige Substitution mit einer Deter- minante + 1 in eine Form F = aixVx + ^f^ityiVi + «222/2^ zu trans- formiren, welche die Bedingungen «11 + 2ai2 + «22 ^ «11 — 2^12 + «22 ^ «22 ^ «11 erfüllt*). Dabei hat man dann «11=^^/, flf22 = ^2^ ^u — '^^n'\'^i^'=^^ii und erscheint also diese sogenannte reducirte Form F eindeutig bestimmt; ihre ganzzahligen Transformationen in sich sind jedesmal aus der Zusammenstellung oben sogleich ersichtlich. Man hat hier S^S^J <^ 4, und diese Ungleichung bedeutet «uaga < ( ) D* Genauer 4 findet man a^^a,^<^<.-- D mit Hülfe der Identität: 51. Arithmetisches über Ellipsoide. Endlichkeit von Klassenanzahlen bei positiven quadratischen Formen. Es sei TF= EWhkXhXh (h,k = 1, ... n) eine positive quadra- tische Form mit den n Variabein äj^, ... x„ und einer Determinante, welche D heisse. Man nehme das Ellipsoid W^l als Aichkörper von Strahldistanzen an. Das Volumen J dieses Körpers ist nach 40: I. Es seien p^, ... p„ n Gitterpunkte inw unabhängigen Rich- tungen von 0 aus und mit den für diesen Umstand kleinstmöglichen Ötrahldistanzen S^, . . . Sn von 0. Die Coordinaten von p* Qc = 1, ... w) mögen p/*^ . . . j?«^*^ heissen, und es bedeute P die Substitution: Xh == i^A^^^Vi H h Pk^^^Vn (Ä = 1, ... W). *) Lagrange, 1773 (Werke Bd. III. S. 698). p-1 = 1 = C-l YOU der be- . V, i '^^ yn^"V«, Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. |97 Nach 47. besteht für die Anzahl der verschiedenen Substitutionen, welche hier für P vorkommen können, eine nur von n abhängende obere Grenze. Man kann nun zu P (und dies zunächst noch auf unendlich viele Arten) eine ganzzahlige Substitution Q mit einer Determinante ±1- bestimmen, so dass die Gleichungen für sonderen Form werden: ^1 = Vi^'^yi H h y/"^?/«, • wobei also in dem Ausdrucke von Vk, wenn A; > 1 ist, immer die Variabein y^, ... t/k—i fehlen. Es gehe W durch die gewählte Substitution Q in die Form F der Variabein f/j, ... ijn über, so ist die Determinante von F eben- falls D. Nach 50. (10) stellt sich alsdann Sh' (für h=^l, ... n) immer dar als das Minimum unter allen Werthen von F für solche ganzzahlige Systeme y^, ... 2/n, wobei mindestens eine der Zahlen yhy Vk+i} • • • y» von Null verschieden ist. Insbesondere hat man (1) 5,2 <...^. SV, und findet man immer F> Si'^^ wenn für ^/i, --^ y« ganze Zahlen eintreten und die letzte von Null verschiedene darunter ijk ist. Man nehme jetzt für F die in 49. I gelehrte Darstellung an, wobei rj^, ... ??« lineare Formen sind und immer rjh nur ?//,, y/,-^if > » . yn enthält, und man bilde die Form Aus dieser werde sodann umgekehrt durch Q~^ eine Form W* der Variabein x^j . , . Xn hergeleitet. Das Volumen des Ellipsoids W* < 1 findet sich dabei gleich S^ ... SnJ. Stellt nun x^j ... Xn irgend einen von o verschiedenen Gitter- punkt vor, so sind auch die vermittelst Q dazu gehörigen Werthe ?/j, ... 2/n immer ganze Zahlen und nicht durchweg gleich Null. Man linde unter ihnen etwa yt als die letzte von Null verschiedene Zahl, so sind, wenn k 2 ist, gleich 0, so ergiebt sich daraus a^Ä + 2«** + cikk^cikk) also (5) — «AA ^ 2aAi ^ «AA (/i < ^). Es sei JV der absolute Betrag der Determinante von P, so wird die Determinante der Form 0 gleich DN^ sein; nach 49. (4) hat man dann: (6) a,, .,. a„n^DN'. Diese Ungleichung und die Ungleichung (4) verbunden führen zu (7) N< ^ ^' (^m Die Zahl N ist danach bei jeder Variabeinzahl n immer nur einer endlichen Anzahl von Werthen fähig, wie dies allgemeiner bereits in 50. dargethan wurde. Man kann nun nach 50. III. zur Substitution P die obige Sub- stitution Q mit einer Determinante + 1 insbesondere, und dies jetzt nur auf eine Weise, noch so wählen, dass die Coefficienten in F~^Q =^ C'~^ zugleich die weiteren Bedingungen erfüllen: 0 gewiss sämmtlich ^ 1 und weiter alle Producte iVyA^*> Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 199 ganze Zahlen ^ 0 und ^ N sein. Mit Rücksicht auf diese Umstände entnimmt man aus der Ungleichung (7), dass jetzt für 0""^ bei jedem Werthe n von vorn herein nur eine endliche Anzahl verschiedener Substitutionen in Frage kommen. III. Unter einer Klasse von positiven quadratischen Formen ver- stehe man die Gesammtheit aller Formen, welche aus einer solchen Form durch alle möglichen ganzzahligen Substitutionen mit einer Determinante + 1 hervorgehen; als Ausgangsform kann dabei jede beliebige der Klasse in gleicher Weise dienen. Die Formen W und F oben gehören so zu einer Klasse. Eine Form JV heisse ganz zahl ig, wenn alle ihre Coefficienten Whk ganze Zahlen sind. Ist die Form W oben ganzzahlig, so gilt dasselbe von der Form 0 = PWF, Als positive ganze Zahlen müssen dann a,j, . . . a„« sämmtlich ^ 1 sein, und mit Rücksicht hier- auf entnimmt man schon allein aus den Ungleichungen (4) und (5), dass, sowie nur der Werth von D gegeben ist, für die Grössen a^* jedesmal nur eine endliche Anzahl verschiedener ganzzahliger Systeme in Frage kommen. Es ist also einerseits die Anzahl der verschie- denen Formen O, auf welche alle überhaupt existirenden ganz- zahligen Formen W mit einer gegebenen Determinante D führen, eine endliche; da nun andererseits aus diesen Formen O wieder durch eine nur endliche Anzahl von Substitutionen (7~^ sich Formen F aus allen den Klassen W ergeben, so entspringt der Satz: Zu jeder positiven Zahl D giebt es immer nur eine end- liche Anzahl von Klassen ganzzahliger positiver quadra- tischer Formen mit n Variabein von der Determinante D. Diesen Satz hat für eine beliebige Variabeinzahl n zuerst Herr Hermite in seinen an Jacobi gerichteten Briefen*) bewiesen,- und zwar durch Aufstellung gewisser Ungleichungen in Bezug auf positive quadratische Formen, welche in der Art, wie die Coefficienten der Formen in ihnen eingehen, den hier entwickelten Relationen ähnlich, hinsichtlich der in ihnen auftretenden numerischen Constanten aber weniger scharf sind. 52. Berechnung eines Volumens durch successive Integrationen. Wie der Beweis der Ungleichung M"J^2'' iu 30. auf's engste mit den Betrachtungen zusammenhing, aus welchen heraus der Begriff *) Cr eile 's Journal Bd. 40, S. 261—315. 200 .Fünftes Kapitel. des Volumens überhaupt entstand, so beruht der allgemeine Nachweis der Ungleichung M^' . . . Mx^J ^ 2" hauptsächlich auf einer beson- deren Art, das Volumen J auszudrücken, worüber hier zunächst die erforderlichen Hülfssätze entwickelt werden sollen. Die Mannigfaltigkeit aller Punkte x^^ ... Xn werde mit H be- zeichnet. Eine gegebene Punktmenge ^ charakterisirt sich als ein nirgends coneaver Körper in 36 bereits durch die folgenden zwei Eigenschaften : 1^ dass eine gerade Linie mit der Menge regelmässig sei es keinen Punkt, sei es einen Punkt, sei es eine Strecke von Punkten gemein hat, 2^ dass in der Menge irgend w+1, nicht zusammen in einer Ebene gelegene Punkte existiren. Denn mit solchen n+ 1 Punkten wird die Menge auf Grund von 1^ immer sogleich die ganze Zelle (s. 9.), welche sich durch die Punkte als Ecken bestimmt, ent- halten und also jedenfalls ein Inneres besitzen (s. 11). Ist dann c irgend ein innerer Punkt von ^, und erwägt man die Eigenschaft 1^ zunächst allein für die durch c gehenden geraden Linien, so erkennt man genau die Existenz von bestimmten Strahldistanzen >S'(ab), bei welchen ^ sich als der Körper S{zi) <. 1 darstellt (s. 7). In 1^ steckt aber weiter die Eigenschaft: 3*^ dass, sowie zwei Punkte zu ^ ge- hören, auch ein jeder Punkt der sie verbindenden Strecke zu ^ gehört, und dadurch erweisen sich dann (s. 8) die hier ein- geführten /S'(ab) als einhellig und damit ^ als ein nirgends coneaver Körper (s. 17). Kommt einer Punktmenge ^ die Eigenschaft 1^ zu, ohne dass für sie auch 2^ besteht, so nehme man vor Allem einen ersten Punkt in ihr an, p. Es kann die Menge bloss aus diesem einen Punkte be- stehen. Andernfalls wird man in ^ eine bestimmte äusserste An- zahl m von Punkten in unabhängigen Richtungen, von p aus wählen können, wobei jetzt nothwendig m 0, wenn nicht iCi = 0, . . . a7„ == 0 ist; /"(O, ... 0) = 0; f(tXi, . . . tXn) = tf{^if ' • . ^n), wenn t > 0 ist; (II) fi^l +yu-"Xn + Vn) < fix,, . . . ^n) + A^/i, . . . !/»)• Dabei wird f{x,j ... Xn) immer eine stetige Function von x,, ... Xn (s. 4), und existirt infolge dieses ümstandes stets ein solcher posi- tiver Factor ^f, der den n Ungleichungen (1) g abs Xh ^ f(x,, "»Xn) (Ä = 1, . . . n) für jedes mögliche Werthsystem x,, ... x^ gerecht wird (s. 6. und 24.). Der durch [{x,, ... rr„)^l definirte Bereich stellt nun den allgemeinsten nirgends concaven Körper mit 0 im Inneren vor; dieser Bereich werde mit ^ und seine Begrenzung mit 5 bezeichnet, und ferner führe man diejenigen Strahldistanzen S{ah) ein, für welche ^ den Aichkörper bildet. Es sei jetzt m irgend eine Zahl < w, und man theile für einen jeden Punkt j die Coordinaten x,, ... Xn in die zwei Gruppen: Xiy ... Xn, und Xrn+ij ..' Xn, wclche die erste, beziehlich zweite Projection von j heissen und mit j und j" bezeichnet werden mögen; für den Punkt ^ selbst schreibe man dann auch £', Tc'\ Man verstehe sodann unter X' und de" die Mannigfaltigkeit aller Werth- systeme von x,, ... x,n, beziehlich aller Werthsysteme von a;„,-|-i, ... a:«, und definire die Begriffe Würfel, Spanne, Richtung, gerade Linie, Strecke, Translation, Dilatation, Mittelpunkt, ab- geschlossene Menge, Inneres, Aeusseres, Begrenzung, nir- gends concaver Körper, Volumen „in 3E'" beziehlich „in 3E"", 202 Fünftes Kapitel. iuclem mao eiüfach in der früheren Fassung der analogen Begriffe für die Mannigfaltigkeit 3E an Stelle von x^, ... Xn bloss x^, ... Xm oder bloss Xm+i^ . . . Xn setzt. Dann wird z. B., wenn a^, ... a« oder a und 6^, . . . &„ oder b zwei Punkte bedeuten, unter der Spanne von a nach b' in 9E' das Maximum unter den Beträgen von h^ — a^j ... bjn — a^, unter der Spanne von a" nach b" in 36" das Maximum unter den Beträgen von hm-^-i — «m+i; ••• ^« — ^n ^^ Verstehen sein; diese Spannen mögen mit E\a'h') und E" (a'"b") bezeichnet werden; die Spanne E(ah) in 36 ist dann das Maximum unter diesen zwei Spannen. Bedeutet ß' eine Menge von ersten Projectionen c' und S" eine Menge von zweiten Projectionen c", so verstehe man unter (E', 6^" die Menge aller möglichen Punkte c\ c" hierzu. In diesem Sinne wird man z. B. 3^ = 36', 36" schreiben können. Endlich möge eine homo- gene lineare Gleichung mit gleicher Coefficientensumme auf jeder Seite zwischen mehreren Systemen j' (oder Systemen j") soviel bedeuten wie nach 46. (2) die Gleichung mit denselben Coefficienten zwischen den zugehörigen Punkten j', o" (oder den Punkten o', j"). Im Hinblick hierauf wird man, wenn a\ V, ©'die Bedeutung wie vor- hin haben, unter d' + ^' — ö' ^ie Menge aller Systeme c' + b' — a' begreifen können. Man schreibe nun f(Xif ... x») = S(0Tß) == 9>(?', £")• H^^^ ^^^ das System j'' = c" (oder Xm^i = Cm-i-if ... ic« = c„) fest, so bildet ^{l'} C ') ^^^^ stetige Function der noch variabeln Coordinaten Xif . . . Xm- Ist dann c' irgend eine bestimmte erste Projection, so kann man (p(ic\ c") < q)(c\ c") nach (1) gewiss nur haben, wenn Xu ... Xm sämmtlich Beträge ^ ?-^^^ aufweisen. Durch diese Be- dingung wird ein Würfel in 3E' definirt, und in diesem Würfel hat q)(jß\ c") als stetige Function nach 22. ein bestimmtes Minimum. Dieses Minimum stellt dann überhaupt den kleinsten Werth von q)(l\ c") bei beliebig variablem j' vor und werde mit /"'(^m+i, ••. c„) oder 5"(o"c") oder auch ip(c") bezeichnet. Aus (I) entnimmt man für diese Function sofort die entsprechenden Bedingungen : f\xm+iy . . . Xn)>0, wenn nicht Xm+i=0, . . . a;„=0 ist; /"'(O, . . . 0)=0; f\tx,n+i, ' . . tXn) = tf\xm+i, • • . 00n)y Wenn t > 0 ist. Sind sodann Xm+ij . . . ic« und ?/m+i, ... 2/« ii'geud welche zweiten Projectionen, so kann man zu ihnen immer solche ersten Projectionen x^ ... x,n\ 2/1, ... Vm finden, dass Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 203 /•(aJi, . . . a:„) = /"(a^m-f i, . . . x,), f(y,, . . . yn) = f'{ym+i, ...yn) wird, und da man nun nach der Bedeutung von /" bei beliebigen Werthen von x^ -\- y^, ... Xn -\- yn stets f\xmJry + «/m+i, ... ^« + 2/n) ^ /"(a:! + t/i , ... Xn + y^ hat, so folgt aus (II) die Beziehung: r(^m-fl + ym + 1, . . . a:„ + 2/n) ^ TC^m+l, ... Xn) + f iVm + ly ... t/„). Danach erweist sich der Bereich f"{xm^\y ... a;„) ^ 1 seinerseits in H" als ein nirgends concaver Körper, und noch mit dem Systeme o" d. i. Xm^i = 0, ... Xn = 0 im Inneren. Dieser Bereich werde mit W bezeichnet. Zu einer Projection c" nun giebt es dann und nur dann in der Punktmenge 3E', c" einen Punkt aus ^, wenn ein System i existirt, wofür qp(j', c") ^ 1 ausfällt, also wenn man ^(c") ^ 1 hat. Danach besteht ^" genau aus' den sämmtlichen verschiedenen Projec- tionen 5", welche bei den Punkten von Ä auftreten. Bedeutet nun c" irgend ein System aus ^", so werde die Menge derjenigen Systeme j' dazu, für welche j', c" ein Punkt aus Ä ist, jedesmal mit ^'(c") bezeichnet; die Menge der betreffenden Punkte aus Ä selbst wird dann einer oben getroffenen Festsetzung gemäss durch ^' {z"\ c" auszudrücken sein. Erwägt man die Eigenschaft 1" des Körpers ^ speciell für die in der Mannigfaltigkeit 3E', c" gelegenen geraden Linien, so tritt genau die zu 1^ entsprechende Eigenschaft für den Bereich ^'(c") in Bezug auf die geraden Linien der Man- nigfaltigkeit 3E' zu Tage; und also wird Ä'(c") jedesmal dann einen nirgends concaven Körper in 3E' vorstellen, wenn dieser Bereich in 3:' ein Inneres hat. Letzteres aber wird regelmässig der Fall sein, sowie c" ein System im Inneren von ^" ist, also dafür i^(c")(f', c") = 1 ist, also \\ c" einen Punkt aus g ausmacht, so nehme man ein beliebiges 204 Fünftes Kapitel. System c' hinzu, wofür (p(c', c") < 1 ist; dann erweist sich der Punkt f, c" als zur Begrenzung von ^ gehörig schon im Verlauf der ge- raden Linie durch c', c" und \\ c", und dieser Umstand nun lässt unmittelbar auch f als zur Begrenzung von 51' (c'') in 36' gehörig er- kennen. Also entspringen im Falle tjj (c") < 1 die Punkte, die in Ä'(c"), c" der Fläche J? angehören, genau aus der Begrenzung von 5t' (c") in 3£'. — Ist zweitens f" ein System der Begrenzung von 5^" und f dann irgend ein System aus ^'(f ')> ^^ folgt aus l>g,(f',n >*(?") = ! immer ^(f', f") = 1 und gehört also f, f" stets zu 5- ^^ diesem Falle ^(f") = 1 gehört also St\f), f mit jedem Punkte zu ^. II. Es werde in der Mannigfaltigkeit 9E irgend ein Netz 9^ von Würfeln mit einer Kante d angenommen (s. 23.); es sei g, , ... g'„ der Mittelpunkt eines dieser Würfel, so stellt ö'i + ^i^> • • • Qn -\- In^ für die verschiedenen ganzzahligen Systeme ?i, ... Z„ die Mittelpunkte der sämmtlichen Würfel des Netzes dar. Es bedeute nun Ä die mit d" multiplicirte Anzahl aller der- jenigen Würfel aus 9^1, in welchen jeder Punkt ein innerer Punkt von 51 ist; solche Würfel braucht es in 9^ nicht durchaus zu geben, dann würde man J. = 0 zu setzen haben; es bedeute ferner 5( den Bereich der eben bezeichneten Würfel, falls solche Würfel überhaupt da sind, und hernach 5lo den Bereich aller übrigen Würfel aus 9^; hat man indess Ä == Oj so soll unter H^ die ganze Mannigfaltigkeit 3E verstanden werden. Weiter sei U der Bereich aller derjenigen Würfel aus 9^, welche überhaupt mindestens einen Punkt von ^ enthalten, und U die Anzahl dieser Würfel, multiplicirt mit d", end- lich Uo der Bereich aller nicht in U gerechneten Würfel aus 9^. Variirt man das Netz 9^ so, dass d nach Null abnimmt, (der Punkt qi, -- .qn kann dabei festgehalten werden oder auch sich beliebig verändern), so convergiren, wie in 25. gezeigt wurde, A und U beide nach einem und demselben bestimmten positiven Grenzwerthe J, dem Volumen von t. In analoger Weise kommt nach 26. ein bestimmtes Volumen auch jeder Punktmenge zu, welche gebildet ist durch Zusammenfassen aller verschiedenen Punkte aus einer endlichen Anzahl gegebener nirgends concaver Körper, wobei die einzelnen Körper sich auch beliebig überdecken können. Eine Punktmenge von dieser Entstehungs- weise erweist sich stets als abgeschlossen (s. 11.), und erscheint in ihr jeder Punkt der Begrenzung immer zugleich als Häufungs- stelle von inneren Punkten. Wenn dann von zwei solchen Punkt- Eine weitere analytisch- arithmetische Ungleichung. 205 mengen die erste die zweite enthält, ohne jedoch mit ihr identisch zu sein, so giebt es in der ersten gewiss irgend einen Punkt, der ein äusserer für die zweite ist, und sodann, mit Rücksicht auf die eben gemachte Bemerkung, gewiss auch einen inneren Punkt, der ein äusserer für die zweite ist; es existirt damit weiter auch irgend ein Würfel, der ganz zur ersten Menge, aber mit keinem Punkte im Inneren zur zweiten gehört, und erweist sich nun das Volumen der ersten Menge mindestens um das Volumen dieses Würfels wesent- lich grösser als das Volumen der zweiten Menge. So ist oben Ä das Volumen von % (wofern ein Bereich 51 über- haupt in Betracht kommt), und immer J^ A, ferner U das Volumen von U und immer U '> J. Es mag noch bemerkt werden: 21 liegt ganz im Inneren, U^ ganz im Aeusseren von ^; jeder Würfel aus Sl^ enthält mindestens einen Punkt des Aeusseren oder der Begrenzung, jeder Würfel aus U mindestens einen Punkt des Inneren oder der Begrenzung von ^; endlich haben einerseits 51 und 3lo, andererseits Uq und U ihre Begrenzung mit einander gemein. Weder % noch Uq enthält einen Punkt aus 5; aber jeder Punkt der Begrenzung von % und desgleichen von Uq besitzt stets von wenigstens einem Punkte in g eine Spanne ^ d, wenn man bedenkt, dass eine Strecke von einem inneren nach einem äusseren Punkte von ^ immer durch einen Punkt von 5 führt. Betrachtet man jetzt irgend einen Würfel aus 9^, sein Mittel- punkt sei (2i + ^i<^, • . . g'n + In^j so kommen die sämmtlichen Punkte j', j" dieses Würfels zu Stande, indem einerseits j' einen gewissen Würfel mit der Kante Ö in 3E' und andererseits j", unabhängig von l'j einen gewissen Wüftel mit der Kante d in 36" (nämlich den mit 9'm+i -\- Im + i^i ' ' ' Qn -{- In^ als Mittelpunkt) erfüllt. Aus allen be- züglichen Würfeln für 3E' und für 3t" entspringen dann ganz bestimmte Würfelnetze -sR' und ^l" für diese zwei Mannigfaltigkeiten dl' und 3t'". Nun mögen zuvörderst in Bezug auf das Netz 9^" die Zeichen 21" und U" das Entsprechende für den Bereich Ä" bedeuten, wie 21 und U für den Körper St in Bezug auf das Netz 91; des Weiteren verstehe man unter Ä' und LT' die Anzahlen der in die Bereiche 21" und U" aufzunehmenden Würfel aus 9^", multiplicirt mit d"""'. End- lich denke man sich noch von b" alle diejenigen Mittelpunkte von Würfeln aus 9^" (also Systeme i" der Form Qm+i + L+id, ... qn + h^ mit ganzen Zahlen Z,„^_i, . . . ^ durchlaufen, welche im Inneren von ^" anzutreffen sind; und es sei/' die Anzahl der verschiedenen solchen Systeme 5". Dabei gilt jedenfalls ^"^/'d"-'«< ü'\ Nach der in I. dargelegten Beschaffenheit von ^" convergiren nun, wenn man d 206 . -Fünftes Kapitel. Dach Null abnehmen lässt, A" und JJ" und damit auch f'd^—^ alle drei nach einem bestimmten positiven Grenzwerthe J'\ dem Volumen von ^" in 36". Analog findet man, wenn c" irgend ein System aus ^" vorstellt, dass der Bereich Ä'(c") jedesmal ein bestimmtes Volumen in 36' besitzt. Es möge für diesen Bereich ^'(c'') in Bezug auf das Netz 9^' den Zeichen Ä\c''), %\0, 5lo'(c"); U\c'), U'(c"), Uo'(c") die ent- sprechende Bedeutung beigelegt werden, wie sie für den Körper ^ in Bezug au^ das Netz 9^ den Zeichen Ä, 51, ^l^J U, U, Vi^^ zukam; ins- besondere werden also Ä\c") und ü\c") hier die mit d"^ multipli- cirten Anzahlen der in 5t'(c")> beziehlich U'(c") eingehenden Würfel aus 9^' vorzustellen haben. Gehört c" zum Inneren von ^", oder gehört es zur Begrenzung von ^", hat aber dabei ^'(c") in 36' ein Inneres, so convergiren, wenn man d nach Null abnehmen lässt, Ä'(c") und ü'(c') jedesmal nach einem bestimmten positiven Grenzwerthe e7'(c"), und für diesen gilt in Bezug auf die einzelnen Netze 9^'' immer J.'(c")< J'(c") < t^'(c")- Gehört aber c" zur Begrenzung von ^" und hat dabei ^'(c") in 36' kein Inneres, so folgt einerseits für jedes Netz 9^" immer Ä'(c'') = 0, und convergirt andererseits TJ' {z") nach Null, wenn ö nach Null abnimmt, und ist daher in diesem Falle dem Bereich ^'(c") in 36' ein Volumen J'(c") = 0 zuzuschreiben; dabei gilt in Bezug auf die einzelnen Netze 9^" stets J'{c") < V {z"). So oft nun c', c" Mittelpunkt eines der in den Bereich % ein- gehenden Würfel von 9^ ist, erweist sich c" gewiss als eines der oben allgemein mit b" bezeichneten Systeme und dazu c' dann als Mittelpunkt eines von denjenigen Würfeln aus 9^1', die den zugehörigen Bereich %' {t") ergeben. Greift man andereraieits irgend eines von den obigen Systemen b" heraus, und wählt dazu c' als Mittelpunkt eines von denjenigen Würfeln aus 9^', die den zugehörigen Bereich U'(b") ergeben, so ist c', b" gewiss jedesmal Mittelpunkt eines solchen Würfels aus 9^, der zum Bereich U zu rechnen ist. Danach hat man nun: (2) j.^d»-'»2:A'(b"); ö^-^i:ü'Q>')^U, während zugleich (3) ^-'»2;^'(b'0 ^ 8^-^EJ\\>") £ d«-'«2: ?7'(b") sein wird; die Summen hier sind über alle jene j'' Systeme b" von der Form qm+i + Im+i^ , ... qn + In^ mit ganzzahligen Werthen Im+i, . . . Z„ ZU erstrecken, welche im Inneren von Ä" liegen, und sie könnten, was nicht unwichtig ist, ebensogut auch über sämmtliche Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 207 in Ä", d. h. im Inneren oder auf der Begrenzung von ^" anzutreffen- den Systeme dieser Art ausgedehnt werden. Diesen Ungleichungen zufolge nun wird, wenn mau d nach Null abnehmen lässt, mit Ä und U gleichzeitig auch der Ausdruck d"-'^*2;J'(b"), (der nur vom Netze 9^1" abhängig erscheint), nach dem Volumen J von Ä conver- giren. Man pflegt dieses Resultat so auszusprechen: Das Int e gr si\ fdx^ .. ,dxn über Ä kann berechnet werden, indem man zuerst in Bezug auf x^j ... Xm und dann in Be- zug auf Xm^if ' " Xn integrirt. III. Stellt p einen einzelnen Punkt vor, und ist andererseits q be- liebig variabel in einer abgeschlossenen Punktmenge £l, so hat man nach dem Satze aus 22. in der Grössenmeuge der Spannen E(pq) immer ein bestimmtes Minimum; und dieser Umstand gilt, indem zufolge der Relation E{pq)^E{oOi) — E{op) mit JEJ(oq) auch E(pc\) über jede Grenze wächst, selbst in dem Falle noch, dass keine obere Grenze für die Spannen -E'(oq) in D, vorhanden ist. Dieses Mini- mum von E(jj)q) in O werde mit E(p£l) bezeichnet (in 12. ist von derselben Bezeichnungsweise für besondere Mengen O in etwas an- derem Sinne Gebrauch gemacht worden). Diese Grösse E()j)£l) er- scheint des Weiteren, indem sie für zwei verschiedene Punkte p offen- bar um nicht mehr als deren wechselseitige Spanne ditferiren kann, als eine stetige Function der Coordinaten von p und besitzt deshalb nach 22. wieder ein bestimmtes Minimum in jeder abgeschlossenen Menge ^ von Punkten p, in welcher eine obere Grenze für die Spannen E(pp) besteht. So wird man namentlich, wenn ^ und O, zwei ab- geschlossene Punktmengen sind, die keinen Punkt gemein haben und dabei wenigstens in einer von ihnen die Spannen von o nicht über jede Grenze hinausgehen, regelmässig ein ganz be- stimmtes positives Minimum für die Spannen von den Punkten in ^ nach den Punkten in Q anzugeben in der Lage sein. Es sei nun c" irgend ein bestimmtes System aus Ä"; wird eine positive Grösse t beliebig gegeben, so kann man die Kante d des Netzes ^ jedenfalls so klein annehmen, dass man Ä'(c") > J'(c") — i und Z7Xc'') < «^(c") + t hat. — Es enthält nun zuvörderst die Punkt- menge Uo'(c"), c" niemals einen Punkt aus 5> ^^^ existirt also ein bestimmtes positives Minimum der Spannen von dieser Menge nach g; es sei e eine nicht grössere positive Grösse als dieses Minimum. Ist dann j" irgend ein System aus Ä", das gleichzeitig dem Bereiche E"{c"i') < 6 angehört, so liegt doch in jedem Würfel, der zu U'(£") beiträgt, mindestens ein System j' aus ^\l"), und dann erscheint 208 Fünftes Kapitel. j', j" dazu als ein Punkt aus ^ mit einer Spanne < s vom Paukte 5', c"; es kann somit der letztere Punkt niemals zu Uo'(c"), c" ge- hören, und bildet also j' ein inneres System von U'(c"). Auf diese Weise gehört jeder Würfel aus U'(j") gewiss auch zu U'(c")> ^nd hat man demnach U' (c") "^ ü' (jc"). Daraus entnimmt man endlich: (4) j\ii-j\n-h solange E"(c"f) 0 und < 1 dargestellt. Hält man nun ein System b' aus ^'(b") fest und lässt dagegen c sich beliebig in der Menge ^'(c") bewegen, so muss dabei, nach der Natur des Körpers ^, in der Menge ^' (i") fortwährend das durch f = th' + (1 — 0^' dargestellte System auftreten, und danach hat mau für jeden Werth <> 0 und < 1 sicher: (6) j'(t"):>(i -ty-r{cy Die Beziehungen (4), (5), (6) nun ergeben, dass die Grösse J\'jc") eine stetige Function der Variabein Xm+i, ... oOn aus 5" vor- stellt im ganzen Inneren von ^" und ferner auf jeder be- liebigen Strecke in ^", mag dabei die Strecke auch auf der Be- grenzung von ^" auslaufen oder selbst ganz auf ihr liegen. Eine weitere analytipch-arithmetische Ungleichung. 209 IV. Es mögen zum Schluss noch einige Bemerkungen eine Stelle finden, die erst nach dem Beweise der Ungleichung S^ . . . SnJ<^ 2* bei der weiteren Frage, wann in dieser das Gleichheitszeichen ein- tritt, zur Verwendung kommen werden. Es seien h" und c" irgend zwei Systeme aus ^", und zudem J'{c") > 0; dann stellen die Systeme x^, . . . Xj^ t zu allen denjenigen Punkten j aus Ä, für welche f von der Form i" == th" + (1 — t)c" und 0 ^ < < 1 ausfallt , (nach 1^ und 2^) einen nirgends concaven Körper in der Mannigfaltigkeit aller möglichen Systeme iCj, ... Xm^ t vor. Es gilt dann nicht bloss (6), sondern nach einem von Herrft Brunn herrührenden Satze, für den ein Beweis in 57. nachgetragen werden wird, sogar immer die weiter reichende Ungleichung: (7) yj- (t") > t yj' (b") + (1 - 0 yj' (C) . Hat man noch J'(h") = J\c''), so geht diese Ungleichung in J'(0^<^'(^') über. Wenn man dann selbst nur für einen Werth t, der > 0 und < 1 ist, das Eintreten des Gleichheitszeichens hier for- dert, so ist dazu, wie ebenfalls in 57. gezeigt werden wird, bereits noth wendig (und weiter dann auch hinreichend), dass die Bereiche ^'(t"), welche zu den verschiedenen Systemen t" der Strecke b"c" gehören, sämmtlich durch Translationen in X' des einen Bereichs 5^'(c") erhalten werden können. Auf Grund dieses letzten Zusatzes lässt sich zunächst entscheiden, unter welchen Umständen die Grösse J'd") für die Systeme j" in ^" durchweg constant, = J\o'), ist. Nämlich dann muss ein jeder Bereich ^'(?'0 durch eine Translation aus 51 '(o") gewonnen werden können. Nun seien b" und c" irgend zwei Systeme aus 51", und die zugehörigen Bereiche ^'(b") und ^'(c") mögen aus ^'(o") durch die Translationen in 36' von o' nach einem gewissen Systeme b', beziehlich c' abzuleiten sein, sodass also jene zwei Bereiche in 36' identisch sind mit den Mengen ^'(o") + b' — o' beziehlich 5l'(o") + c' — o'. Stellt dann t" = tV + (1 — ty {0 1), und man denke sich in der Mannigfaltigkeit der n Coordi- naten x^y ... Xn beliebige einhellige und wechselseitige Strahldistanzen >S'(ab) gegeben. Man ermittle vor Allem ein solches System von n Gitterpunkten pi, . . . p„ in w unabhängigen Richtungen von 0 aus, wofür die Strahl- distanzen ^^(opj, . . . 5(0 pn) der Reihe nach möglichst klein sind; die Werthe dieser Strahldistanzen bilden dann eben die Grössen S^^ ... Ä„. Jetzt erwäge man Folgendes: Sind y^ ^ - » Vn irgend n ganze homogene lineare Ausdrücke in x^j ... Xa mit ganzzahligen Coefficieuten und mit einer Determinante 4: 1, so erscheint einmal das Zahlen- gitter, in 2/i, ... t/„ immer als genau dieselbe Punktmenge wie das Zahlengitter in x^, ... x^ und besitzt ferner jeder Körper, dem ein bestimmtes Volumen in x^, . . . Xn zukommt, immer genau dasselbe Volumen in i/^, ... y„ (vgl. 28); es behalten also alle Grössen aus der Ungleichung (1) für y^y ... y„ die Bedeutung bei, die sie für 212 Fünftes Kapitel. Xi, ... Xn haben, und würde es daher genügen, das in (1) liegende Theorem für die Variabein y^y ... y„ zu beweisen. Diese neuen Variabein kann man nun in besonderer Beziehung zu den Punkten ^1, ... pn einführen, etwa so, dass damit die Reduction des Zahlen- gitters in Bezug auf die Richtungen o^^, ... opn ioa Sinne von 46. geleistet wird. Der Einfachheit wegen möge jetzt vorausgesetzt wer- den, dass x^j ... Xn selbst schon diejenigen Coordinaten sind, mit welchen die eben genannte Reduclion verknüpft ist. Insbesondere wird man alsdann für den Punkt p^, bei den Indices Ä = 1, . . . n — 1, immer aja+i = 0, ... a:» «= 0 haben; und durch diesen begleitenden Umstand ist auch die Bedeutung der hier ge- machten Voraussetzung für das Folgende wesentlich erschöpft. I. Von den Grössen S^, ... S„ seien, wie schon in 47. angenom- men wurde, die v^ ersten, ... die v;i letzten unter einander gleich; man setze ftQ=0, fti==Vi, f*2^='^i"l~^2> ••• endlich ^x=Vj^-\ \-vx=^nf sodann Si = •'■ = Sf.^ = Ml, . . . Sf,^_^^i = . . . = 5^^^ = Mx'^ dabei ger'äth, wofern man A > 1 hat, M^ <. - • - 1 ist, für x = 1, ... A — 1 die Grösse ilf^+i immer die kleinste Strahldistanz von o nach allen Gitterpunkten ausserhalb der durch o, pi, ... p^,^ gelegten Man- nigfaltigkeit; und infolge unserer Voraussetzung über die Coordi- naten Xi, ... Xn erscheint dabei letztere Mannigfaltigkeit einfach durch die Gleichungen ic^^+i =0, ... a;„ = 0 definirt. Stellen a und h Punkte vor und ^ eine Punktmenge, so kann diejenige Punktmenge, die aus © durch die Translation von a nach h hervorgeht, der in 46. eingeführten Symbolik entsprechend mit S -j- b — a bezeichnet werden. Ist a ein Punkt, und bedeuten 33 und ^ zwei Punktmengen und b und c Punkte, die variabel in diesen Mengen sind, so soll unter (S+Sö — a die Vereinigung aus allen bezüglichen Punktmengen (^ + b — a verstanden werden, d. h. die Menge aller verschiedenen Punkte, welche auf mindestens eine Weise in der Form c + b — a darzustellen sind. Wenn a einen Punkt bedeutet und für eine Punktmenge ein Zeichen mit Hinzufügen von (a) gebraucht wird, z. B. (S(a), so soll diejenige Menge, die aus dieser ersten durch die Translation von a nach einem neuen Punkte b hervorgeht, einfach durch (5^(b) bezeichnet werden; und wenn 93 eine Menge von Punkten b vorstellt, so soll dann unter (5(93) die Vereinigung aus allen Körpern (S^(b) (also Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 213 die Menge ß^(a) + 23 — a nach der vorigen Festsetzung) verstanden werden. Es bedeute G für die gegebenen Strahldistanzen 5 (ab) die in 3. (Seite 4) eingeführte Grosse, wobei nach 47. die Grössen M,j . . , Mx sich alle ^ — erweisen; und es sei g, wie in 6., eine positive untere Grenze aller Distanzcoefficienten J', J- Weiter werde für x = 1, ... X ü (a D) ' der Körper S{oi)^ — M,c jedesmal mit $x(o) bezeichnet. Man verstehe unter © das gesammte Zahlengitter, unter g einen einzelnen Gitterpunkt. $x(^) wird dann die Vereinigung aus allen Körpern ^x(9) zu bedeuten haben, d. i. den Gesammtbereich aller solchen Punkte j, welchen die Eigenschaft zukommt, von min- destens einem Gitterpunkte eine Strahldistanz <^-^ My. zu besitzen. II. Es sei jetzt Sl irgend eine positive und ungerade ganze Zahl, und man lasse Q nur alle diejenigen Gitterpunkte durchlaufen, welche vom Nullpunkte o eine Spanne ^-^, also vielmehr^ — - — , besitzen; es sind dies diejenigen Punkte, bei welchen jede der Coor- dinaten x^, ... Xn einer der 5i Zahlen 0, + 1>- • • i — b — gleich ist; die Anzahl dieser Gitterpunkte beträgt ii", ihre gesammte Menge werde mit § bezeichnet. Die folgende Untersuchung nun basirt auf einer Betrachtung der Bereiche ^i(§), ... ^>i (^). Unter *^x(§) ist nach den Festsetzungen in I. jedesmal die Vereinigung aus den ingesaramt ^i'* Körpern ^x(^) in Bezug auf die ü" einzelnen Punkte f) zu verstehen, und $x(^) andererseits bedeutet jedesmal den 1 " Körper 5(bj):^ — Jtfx; ebenso wie einem einzelnen solchen Körper wird nach 2Q. auch dem ganzen Bereiche ^x(§) regelmässig ein be- stimmtes Volumen zukommen. Hat man X> \, so ist für x = 1, ... X — 1 immer ^x(§) ganz im Inneren von ^x4-i(|)) enthalten; in allen Fällen ist also ^i(§) der umfassendste hier in Betracht kommende Bereich. Das Volumen von '^x (©) heisse IIi . Indem Mi<— ist und eine Strahldistanz < — von einem Punkte immer auf eine Spanne < - — von ihm — 2>i ^ — 2n^ schliessen lässt, wird ^x(^) ganz in dem Körper der Spannen < ^- i + j^ 214 Fünftes Kapitel. vom Nullpunkte enthalten sein, und danach hat man gewiss (2) ij,^(ß_l+ «)'. Zweitens leuchtet ein: Da M^ überhaupt die kleinste Strahldistanz im Zahlengitter ist, so sind zwei Körper ^i(t)) für verschiedene Gitter- punkte t) immer in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Jeder solche Körper nun besitzt ein Volumen = (-^^j J", unter J das Vo- lumen des Körpers S{oi)^l verstanden; danach ergiebt sich das ~j J. Im Falle A = 1 reicht diese Bemerkung in Verbindung mit (2) schon völlig aus, um die Un- gleichung (1) zu erschliessen; wofern aber A > 1 ist, muss man, um dieses Ziel zu gewinnen, noch die verschiedenen Bereiche ^i(§), •.•^;i(§) untereinander in Zusammenhang bringen. III. Es werde jetzt A > 1 vorausgesetzt; es habe x einen der Werthe 1, ... X — 1, und es soll ^x(§) mit ^x+i(§) verglichen werden. Man setze ^y, = m und bezeichne, wie in 52., für einen Punkt Xi, . . , Xn oder j das System x^j . . . x^ mit j', das System a;„»-(.i, ... Xn mit j", und schreibe für j selbst dann auch j', i'\ Es bedeute 3E, 36', 26" die Mannigfaltigkeit aller Punkte j, aller Systeme j', aller Systeme j", und man verwende wieder die sämmtlichen Begriffe und Abkür^ngen, die für eine solche Zerlegung 3E = 36', 3£" am Anfange von 52. erklärt worden sind. Z. B. wird man dann die Mannigfaltig- keit aller Punkte, für welche Xm^i = 0, ... x„ = 0 gilt, durch 3E', o" ausdrücken können. Endlich treffe man noch folgende Festsetzung: Stellt a\ j" einen Punkt vor und gebraucht man für eine Menge in 3f' ein Zeichen mjt Dahintersetzen von (a', jc"), wie z. B. ©'(a', j"), so soll diejenige Menge in 3£', die aus dieser ersten durch die Trans- lation in 3E' von a' nach einem neuen Systeme b' hervorgeht, durch das Zeichen ^\h', ^") angezeigt werden; und stellt 33' eine Menge von Systemen h' in dl' Vor, so soll unter ^'(33', je") die Vereinigung aus allen den Be^reichen ©'(b', j") zu den einzelnen Systemen V ver- standen werden. itfx-f-i nun bedeutet die kleinste Strahldistanz von 0 nach allen Gitterpuukten ausserhalb der Mannigfaltigkeit 3E', o", d. h. überhaupt den kleinsten, für /S'(ob) möglichen Werth, wenn a und b nur zwei Gitterpunkte und mit verschiedenen Systemen a" und h" sein sollen. Jetzt bemerke man, dass die ß" Punkte t) = i)', t)" aus § genau entstehen, indem 1/ eine bestimmte Menge §' von ii"* Systemen in 3E' Eine weitere analytisch- arithmetische Ungleichung. 215 und ^" dazu, völlig unabhängig von \)'y eine bestimmte Menge §" von ^«— m Systemen in 3E" durchläuft. Die gesammte Menge § theilt sich so in ii"""* Gruppen vom allgemeinen Ausdrucke §', \)\ die den 5i''~~'" einzelnen Systemen ^" aus §" zugeordnet sind. Aus der soeben an- gegebenen Bedeutung von Jfx+i erhellt dann, dass die zugehörigen Bereiche ^x+i(§', ^") für diese verschiedenen Gruppen unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sein werden. In- dem man üfx < Jt^x+i hat, trifft die gleiche Bemerkung um so mehr für die verschiedenen Bereiche ^x(§', ^") zu. Es entsteht überdies jedesmal ^x-fi(§', ^") aus ^x4-i(§', o") und andererseits ^x(§', {)") aus ^x(§', o") durch die Translation von o', o" nach o', \)\ sodass das Volumen der Bereiche dieser Art für jedes \)" immer das gleiche ist wie für f)" = o". Das Volumen von ^i(§) wurde schon oben mit Ux bezeichnet; für x = 1, . . . A — 1 setze man das Volumen von ^^x(|)) gleich .ßl'»-'"x77^; dabei wird nach IL: (3) n,^'a^^M:^+-+^xL sein. Alsdann erw-eist sich dem soeben Ausgeführten zufolge das Volumen von ^x(§'; o") gleich Uy. und das Volumen von ^x+i(©', o") gleich — 7-^ ; und wird es sich weiter um einen Vergleich der bei- den Bereiche $x(|)', 0") und %.+i{^\ 0") handeln. Die Menge §', 0" hierin besteht bloss noch aus denjenigen Gitterpunkten von ^, die in der Mannigfaltigkeit H', o" liegen. M IV. Man setze — jlT^ == 3, wobei g' > 1 sein wird; man erhält $x+i(o) aus ^x(o), indem njan einen jeden Punkt j', i aus ^^^x(o) immer durch den Punkt ^', t)" ersetzt, für welchen (4) t,'_o' = 2(j'-o'), 9"-o"=2(j"-o") ist. Diese Operation nun kann man auch in zwei aufeinander folgen- den Processen leisten, und hierauf beruhen wesentlich die weiteren Schlüsse: Anstatt j', j" unmittelbar in tf , ^" gemäss (4) überzuführen, kann man zuvörderst nur die Veränderung j', j" in tf , j" und an zweiter Stelle sodann die Veränderung ^', j" in ^', ^" vornehmen. Der Bereich, in welchen $x (0) durch den ersten Process allein über- geht, heisse £lx(o); er wird wieder ein nirgends concaver Körper sein. Das Volumen von Ox(|)', o") werde sodann Xx genannt. In 52. ist für das Volumen eines einzelnen nirgends concaven Körpers eine be- sondere Darstellung mit Rücksicht auf eine Zerlegung 3: = 3:', ü", 216 Fünftes Kapitel. wie sie hier in Rede steht, gelehrt worden; diese Darstellung lässt sich jetzt auch auf die Bereiche ^y.{^\ o") und £lx(§', o") ausdehnen, und auf Grund derselben wird sich dann das Volumen des zweiten Bereichs hier als das grössere herausstellen. Andererseits besteht zwischen den Volumina von Dx(§', o") und von ^y,^i{^\ o") eine einfache Gleichung, wie hernach gezeigt werden wird. Für ein beliebiges System j" bedeute /S"(o"j") immer das Mini- mum unter allen Werthen, welche S(oi) für die Punkte je in der Menge X', j" besitzt; der durch iS"' (o" g")^ ^ -^^>« definirte Bereich in 3E" heisse sodann ^/'. Genau in diesem Bereiche ^^" bewegt sicli ^" für die Punkte j in $x(o) und desgleichen für die Punkte j: in O,;(o), und genau dieselben Systeme 5" hat man in jedem Körper ^x(tff 0") oder £iy.(^\ 0") und damit weiter auch in den Gesammt- bereichen %{^\ 0") und £i,(^^'y o"). Für ein System f aus ^/ so- dann verstehe man unter $/(o', j") und 0/(o', j") immer die Mengen derjenigen Systeme j', für welche man eben j', 5" als Punkt aus ^x(o), beziehlich aus Ox(o) findet; dabei entsteht gemäss (4) jedesmal in X' die Menge €i>J(o\ j") durch Dilatation der Menge ^;<'(o', j") vom Systeme 0' aus im Verhältniss q : 1. Einer in III. getroffenen Festsetzung zufolge wird man sodann unter ^/(§', l") und €iy! {^\ l") beziehlich die Mengen aller der Systeme j;' zu begreifen haben, für welche j', j:" einen Punkt aus $x(§', 0") oder aus £ly.(^\ o") abgicbt. Ebenso wie dem Bereiche ^$/(o', ?:"), kommen auch diesen Mengen 'iP/(§', x'') und 0;.'(§', l") jedesmal bestimmte Volumina in 3E' zu; man bezeichne diese letzteren Volumina mit IJJij^') und X^'d"). Wenn das Volumen von ''^J{o\ i'") in X' Null ist, ein Fall, der nach 52. sich nur für Systeme i" auf der Begrenzung von ^/' er- eignen kann, wird jedesmal auch IJjij") = 0 und Xy(jß") = 0 sein. Nun habe der Bereich ^J{o\ i") ein von Null verschiedenes Volumen in A"; er besitzt dann ein Inneres in 3:' und stellt sich als ein nirgends concaver Körper in de' dar. Es sei a' ein beliebig her- ausgegriffenes inneres System dieses Bereichs; demselben entspricht gemäss (4) in D>.'(o', l") dasjenige System b', für welches h' — 0 =q {a — 0') ist. Die Uelation t)' — o' == q (f — o') kann nun durch t)' — b' == (t)' - (b' - a )) — a' = q(^' — a) ersetzt werden; und daraus erkennt man, dass durch Dilatation des Bereichs ^x'(o', Jf") vom Systeme a! aus im Verhältnisse q: 1 der Bereich 0/(u', l' ) — (b' — a) entsteht. Entsprechend wird dann Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 217 durch Dilatation irgend eines Bereichs ^/(i)', j") von a' + ^' — o' aus im Verhältnisse q : 1 jedesmal der Bereich Q/ ({)', j") — (b' — a) dazu hervorgehen; dabei ist nun a + I)' — o' ein inneres System von $x'(^', j"), dieser Bereich ein nirgends concaver Körper in 3£' und endlich g>l; diese Umstände zusammengenommen bewirken offenbar, dass der erstere Bereich, ^J,{\)\ j"), jedesmal ganz in das Innere des an zweiter Stelle genannten wird fallen müssen; damit wird weiter auch ^x'(§'; O ganz im Inneren von Clx'(§', j")~"(^'~"0 enthalten und also von kleinerem Volumen in H' als dieser letztere Bereich sein. Aus diesem letzteren aber geht schliesslich Ox'($'> l') einfach durch die Translation von o! nach b' hervor, und dabei bleibt das Volumen in 2i' ungeändert; somit hat sich hier nichts anderes herausgestellt als: (5) n«'(s") < x;(e"). Nun lassen sich die üeberlegungen, welche zu 52. (2) für den Körper ^ dort geführt haben, ohne Weiteres auch auf die Bereiche $x(§', o") und £lx(§', o") hier anwenden und liefern alsdann folgen- des Resultat: Man nehme ein Würfelnetz in 3£", seine Kante heisse $, und bilde dafür die zwei Summen ^n.;{f)8—"^ und ^x,: (j") d«— in der W^eise, dass man für i hier nach einander alle im Inneren des Bereichs S^J/ anzutreffenden Mittelpunkte von Würfeln des Netzes setzt; die Volumina von $x(§', o") und £lx(§'» o") erscheinen dann als die Grenzwerthe der so gebildeten Summen für ein nach Null convergirendes d. Bei dieser Erzeugungsweise der Volumina 77^ und Xy, entnimmt man nun aus (5) sofort: (6) n.;(§', o") hier übertragen, und man erkennt dadurch Uxijc") und Xy'd") als stetige Functionen der Coordinaten ^,,,4.1, ... x^ von i*" insbesondere überall im Inneren von ''^J'. Eine ähnliche Ueberlegung wie am Schlüsse von 52. zeigt dann, dass auf Grund des Resultats (5) auch in der Ungleichung (6) immer das Zeichen < selten wird; doch ist dieser Umstand unwesentlich für das Weitere. Den Körper ^^$x+i(o) endlich erhält man beschrieben von t)\ t)'\ während t)', j:" sich in Dx(o) bewegt und dabei fortwiihrend l)" — 0" = (?(j" — 0") gilt. Ein beliebiger Körper Ox{l)', o") findet sich dann durch l) + I)' — 0', ;;" unter denselben Umständen erzeugt, und gleichzeitig beschreibt der Punkt \)' -\- l)' — 0', \)" den Körper 218 Fünftes Kapitel. $x+i(^', o"). Zwischen zwei dergestalt durch t)" — o" = q{l' — o") verbundenen Körpern besteht nun einfach dieser Zusammenhang, dass für einen Punkt aus dem ersten Körper, wenn die Coordinaten des Punktes «j, ... a,«, a^+i, ... «« lauten, im zweiten immer der Punkt mit den Coordinaten a, , ... a„, g'am+i, . . • ^ö« eintritt. Bei solchem Ausspruche nun kommt das System ^' gar nicht in Betracht, und wird daher mit genau denselben Worten auch der Zusammenhang der ganzen Bereiche £lx(§'? o") und^x+i(§', o") zu schildern sein. Da- nach wird nun das Volumen von ^x+i(§', o") einfach das g'"~"*-fache des Volumens von Ox(§', o'') betragen (s. 28.), hat man also: (7) 77.+1 = 9J.+1 --^tL X. (x = 1, . . . A - 1). M. +iH ^''x V. Multiplicirt man jetzt die Gleichung (3) mit den in (7) für X = 1, ... l — 1 enthaltenen Gleichungen, so ergiebt sich : (8) ;7, = ß»J^_...|jfI'...itfP^. Die Benutzung der Ungleichungen (6) und (2) führt dann zu: Indem nun hierin ii beliebig gross genommen werden kann, geht daraus in der That Ml' ... MV J<2- hervor. Man ist damit zu folgendem Satze gelangt, der eine wesent- liche Verallgemeinerung des in 30. gefundenen Theorems darstellt: Es sei f{x^j ... Xr^ irgend eine Function von x^, ... x^ welche folgende Bedingungen erfüllt: fiO, ... 0) = 0, f{x^j ... iCn) > 0, wenn nicht x^=0, ... a?« == 0 ist, fifx^y . . . tXn) = tf{x^y . . . Xn)j wenn ^ > 0 ist, /*(^l + l, so findet man für den vermöge (3) dazugehörigen Punkt j jedesmal Sin) ^ Ä(et)) — 5(£t)) > 1 — (1 — 0, also S{eTc) > t-, hat man hin- gegen für 5 die Ungleichung Ä'(ej) < ^, so folgt für den Punkt t) dazu jedesmal S(tt))^S{n) + S(i\)) sei von solcher Art, dass es Punktepaare j und t) giebt, die durch (3) zusammen- hängen und dabei alle folgenden Bedingungen erfüllen, zunächst: 5(bj) < t, ferner: /^(ej) < t für jeden Punkt e der ersten Gruppe, weiter: S(eTß) > t und /S'(et)) < 1 für jeden Punkt e der zweiten Gruppe, endlich: S(t)i)) > 1 für jeden Punkt e der dritten Gruppe; alsdann verstehe man unter D{@b} die Menge aus allen bezüglichen Punkten t) mitsammt der Begrenzung dieser Menge, und unter ${@b} den Be- reich, der aus diesem Bereich D{St>) durch Dilatation von b aus im Verhältnisse t : 1 entspringt. Das ganze Innere von O { @d } liegt dann ausser in £l(b) noch in ;t — 1 weiteren Körpern 0(e) und das ganze Innere von ^{©b} ausser in ^(b) noch in 7t — 1 weiteren Körpern ^(e). Der Körper 0(b) aber erscheint genau aus den ein- zelnen, in Bezug auf b möglichen solchen Bereichen Cl{(Sb} zusammen- gesetzt, wobei diese Bereiche unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind, und analog entspringt ^(b) aus den sämmt- lichen möglichen Bereichen ^{@b)- Auf Grund von 26. I. kommt nun auch jedem Bereiche D.{(Sb) stets ein bestimmtes Volumen zu, man bezeichne dasselbe mit X{@b); das Volumen des zugehörigen Bereichs ^{@b} ist dann jedesmal t^Xl(&b]' Nunmehr werden nach 26. IL, III. die Volumina von ^ und von O durch ^^^ ~^!®b} und ^^ -^ Jt{(£b} dargestellt sein, wobei die Summen erstens über alle Punkte b aus ^ und Eine weitere analytisch- arithmetische Ungleichung. 221 zweitens für jeden dieser Punkte über alle ihm entsprechenden Ein- theilimgen (5b zu erstrecken sind. Da man nun bei jeder Eintheilung ©b immer n ^x hat, geht daraus in der That 77>^»X hervor. II. Es bedeute wieder (55 das gesammte Zahlengitter. Es seien ^(o) und '^Co) zwei nirgends concave Körper mit o im Inneren; es sei '^(o) ganz in ^(o) enthalten, und andererseits gebe es einen Punkt j, sodass der Körper •$()[) mit dem ganzen Bereiche $(®) höchstens nur Punkte der Begrenzung gemein hat. Ferner stelle ^ irgend eine endliche Menge von Gitterpunkten vor. Leitet man jetzt einen neuen Körper £l(o) her durch Dilatation des Körpers $(o) von o aus in einem Verhältnisse \-\-%-:\, wobei 0<0"^1 sei, und sind 77, -77, X die Volumina von ^(^), •$(§), £l(§), so gilt die Ungleichung: (4) X^ 77 + 0^" -77. Man nehme einerseits $(o), andererseits '^(o) als Aichkörper von Strahldistanzen an; für die ersteren Strahldistanzen wende man die Bezeichnung 5(ab), für die letzteren die Bezeichnung •5(ab) an. Da '^(o) ganz in ^(o) enthalten ist, gilt auf der Begrenzung von ^(o), also wenn /S'(oj) = 1 ist, immer •5(oj)> 1, und danach wird auch für beliebige Punkte a und b stets •^'(ab) > /S(ab) sein. Nun sollte ferner ^(®) keinen inneren Punkt von *'iP(j) in sich schliesseu. Danach wird für jeden Punkt j aus ^(@) immer '>S(i?:) > 1 sein. Man wird in dem abgeschlossenen Bereiche ^{ß) mindestens einen Punkt t finden können, für welchen •/S'Qt) möglichst klein aus- fallt; von der Strecke jl gehören dann alle Punkte ausser ( nicht zu vP((S), nnd liegt also ( jed-enfalls auf der Begrenzung von ^((5J). Natürlich fällt dabei auch '/SQ!) > 1 aus. Indem -9" ^ 1 vorausgesetzt ist, wird die Strecke jl einen bestimmten Punkt ! aufweisen, für den sich •Ä(!I) = ^, 'S{\X) = 'S(\\) — %- erweist. Der Körper 'S{li)<%- werde nun mit •£!(!) bezeichnet; für die Punkte j im Inneren dieses Körpers wird dann 'S(\i) ^ *S{\1) + •5(!j) < 'S{\{) sein, sodass dieses Innere ebenfalls, wie das von '^(j), nirgends in ^(©) eintritt. Indem l der Begrenzung von ^(®) angehört, hat man wenigstens einen Gitterpunkt g, für welchen ^(gl) = 1 ist. Man bestimme nun einen Punkt f durch die Bedingung g — f = l — !, so kann man zeigen, dass der Körper £l(f), d. i. S{\l) Sf(gÖ<^+ 1; für einen Punkt j: in 'D.(l) 222 Fünftes Kapitel. frili •5(!j)<'9', um so mehr dann S(i]c)<.d' und endlich wieder S(fE) < S(ft) + S(tj) ^ 1 + *. Wie die Bereiche *£!(!) und $(@), so sind nun auch für jeden Punkt ^ die zwei Bereiche •Q(!) + ^^ — 0 = •£!(()) + f — 0 und ^(@) + f) — 0 immer in ihren inneren Punkten verschieden. Nach der Natur des Zahlengitters aber wird der letztere Bereich jedesmal wie- der ^(@) selbst, sowie i) einen Gitterpunkt vorstellt; und so ent- hält auch der Gesammtbereich •£l(§) + ! — 0 keinen inneren Punkt von ^((55) und daher auch nicht von ^(§) + Q — 0, welch letzterer Bereich einen Theil von ^(®) ausmacht, weil g hier einen Gitterpunkt bedeutet. Wie ferner der Körper 0(f) sowohl ^(g) wie '£i{t) in sich aufnahm, so wird für jeden Punkt () immer £l({)) + f — 0 so- wohl ^(^) + g ^ 0 wie 'Qf^) + ! — 0 in sich aufnehmen, und wird damit weiter £l(§) + f — 0 die beiden soeben genannten, in ihren inneren Punkten verschiedenen Bereiche $(§)+• g — 0 und •£l(§)+^ — 0 ganz in sich schliessen. Die Volumina dieser drei letzten Bereiche sind dieselben wie die von 0(§), $(§), '^{^), und das Volumen von •£l(§) erweist sich nach (2) als > d^^^'II] so erlangt man in der That (durch den Satz 26. II.) die zu beweisende Ungleichung (4). Es kam hier für den Punkt j eigentlich nicht der Umstand zur Anwendung, dass '^(j), d. i. •^S'Qj) < 1, sondern nur der, dass 'OQ); d. i. •/S'Qj) < d-, keinen inneren Punkt mit ^(@) gemein hat. III. Der Würfel £'(oj) < ^, d. i. der Körper der Spannen < - von 0, werde mit 33 oder auch mit S5(o) bezeichnet. Es diene wieder g als Zeichen für einen beliebigen Gitterpunkt. Die einzelnen Körper 3[5(g) sind in ihren inneren Punkten durchweg ver- schieden, und ihre Vereinigung SS((5J) deckt sich mit der ganzen Mannigfaltigkeit dl. Es sei ^(o) ein beliebiger nirgends concaver Körper mit o im Inneren-, unter ^^ verstehe man dann die Menge aller der Punkte, die zu gleicher Zeit innere von SS und von ^(^) sind, mitsammt der Be- grenzung dieser Menge. Wie dem Körper ^(o) kommt auch dieser Menge ^ jedesmal ein bestimmtes Volumen zu. Nämlich es sei B die Kante eines solchen Würfels mit o als Mittelpunkt, der ^(o) ganz enthält; in einem Körper $(g) gilt dann für jeden Punkt j stets ü;(09) < i?(oj) + E{u), E(u) = E{ii) ^ I ^, und können daher in einem solchen Körper innere Punkte von SS Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 223 sicherlich nur vorkommen, falls E(oq) < — + — jB ist. Dieser Be- dingung genügen insgesammt nur eine endliche Anzahl von Gitter- punkten; und danach kann man auch nur auf eine endliche Anzahl von Arten ein solches System Q^q von Gitterpunkteii aufstellen, bei dem man Punkte j im Inneren von SS hat, die einerseits in Bezug auf jeden Punkt g aus Q6q stets im Inneren von ^(g), andererseits in Bezug auf jeden anderen Gitterpunkt g stets im Aeusseren von ^(g) sich befinden. Bei jedem vorhandenen derartigen Systeme ^„ verstehe man unter ^{@o) imnier die Menge aus allen Punkten j: von der soeben angegebenen Natur mitsammt der Begrenzung dieser Menge; jedem Bereiche ^{^Jq) kommt dann nach 26. I. immer ein bestimmtes Volumen zu. Nun erscheint ^ als die Vereinigung aus allen vorhandenen solchen Bereichen ^ (©(,}, und sind diese, wofern überhaupt mehr als nur ein System (3q in Betracht kommt, unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Infolge- dessen ergiebt die Summe ihrer Volumina das Volumen von ^; das- selbe werde mit P bezeichnet. Nun stelle § eine endliche Menge von Gitterpunkten vor, es sei a die Anzahl dieser Gitterpunkte und 72 das Volumen von $(§); alsdann gilt die Ungleichung: (5) n>oP. Nämlich ^(Ö5) besteht genau aus allen Bereichen $ + 9 — 0, und sind diese wie die Bereiche ^(g), in denen sie liegen, in ihren inneren Punkten durchweg verschieden; jeder Bereich ^ + g — 0 wieder be- steht aus den Bereichen ^ { @o 1 + 9 — ^ ^^ Bezug auf die einzelnen vorhandenen Systeme Q^q] und so setzt sich ^(@) zusammen aus den Bereichen $ { ÖJq ) + g — 0, einerseits in Bezug auf sämmtliche Systeme @Q, andererseits in Bezug auf sämmtliche Gitterpunkte g, und dabei sind alle diese Bereiche in ihren inneren Punkten durchweg ver- schieden. Nun werde in jeder Menge 05^ ein Gitterpunkt nach Be- lieben ausgezeichnet, den man jedesmal go nenne; alsdann gehört ^{@ol insbesondere ganz zu ^^5(go), und wird entsprechend für einen beliebigen Punkt ^ immer $(l)) den Bereich ^{®o) + ^ — 9o i^ sich schliessen. So enthält ^(§) bei jedem Systeme (3q von den Bereichen ${^ol + 9 ~" *^ mindestens 0, und daraus geht in der That n> (oP hervor. Es sei endlich 5i irgend eine positive ungerade ganze Zahl, und es bedeute jetzt ^ specieller die Menge derjenigen Gitterpunkte, welche eine Spanne ^ — ~— von 0 besitzen; die Anzahl dieser Gitter- 224 Fünftes Kapitel. punkte beträgt 5i". Die Spanne von 0 erweist sich dann im Inneren von ^(§) durchweg < — 1- v^? andererseits fällt sie in einem Bereiche ^ + g — o jedesmal ^ ^(og) — y" ^^^5 danach muss nun $(§) ganz aufgenommen werden von denjenigen Bereichen ^ -\- Q — o, für welche der Gitterpunkt g die Bedingung befriedigt. Die Anzahl der Gitterpunkte, die dieser Ungleichung ge- nügen, ist sicher < (ß + 1 + By, und danach hat man bei der hier vorausgesetzten Natur von ^ noch die Ungleichung: (6) n<(si + i + Byp. Andererseits lautet (5) hier Sl^P^II. Aus beideu Ungleichungen zusammen entnimmt man das Resultat, dass bei der speciellen Be- deutung, welche dem Volumen 71 gegenwärtig zukommt, mit un- begrenzt wachsender Zahl Sl der Quotient — nach der Grösse P convergirt. 55. Die extremen Aichkörper. Es bedeute wieder @ das gesammte Zahlengitter, g einen be- liebigen Punkt daraus. Unter einem Restbereich werde allgemein ein solcher nirgends concaver Körper 9fl mit o als Mittelpunkt ver- standen, für welchen die einzelnen Körper »R + g — 0 in ihren inneren Punkten durchweg verschieden gerathen und vereinigt die ganze Man- nigfaltigkeit X überdecken. Die Natur dieser Restbereiche wurde in 32. — 35. untersucht. Der einfachste Restbereich in 36 ist der Würfel E(o]c) < , der wieder mit ^ bezeichnet werden möge. In 53. ist für beliebige einhellige und wechselseitige Strahl- distauzen S^ah) die Ungleichung (1) Jf/' ... 3Ix'^J<2- festgestellt worden. Man verstehe unter O^M^, ... Mx) (für ;c== 1, ... A) wie in 47. die durch sämmtliche Gitterpunkte g mit der Eigenschaft 'S'(og) < My. gelegte Mannigfaltigkeit. Es bedeutet (nach 53. und 47. I.) keine eigentliche Beschränkung, wenn die Coordinaten ic,, ... rc„ in solcher Zugehörigkeit zum Körper S(o^)^ 1 vorausgesetzt werdeji, dass für x = 1, . . . A — 1 jedesmal o(Mi, . . . Mx) einfach durch Eine weitere analytisch- arithmetische Ungleichung. 225 x^^-\.i = Oj . . . Xn = 0 definirt erscheint; bei diesem Verhalten möge der Körper /S'(oj) ^ 1 kurz für x^, ... x» eingerichtet heissen. Es soll 5(o j) ^ 1 als ein extremer Aichkörper bezeichnet werden, wenn in der Ungleichung (1) das Gleichheitszeichen statthat. Im Folgenden soll das Wesen der extremen Aichkörper ergründet werden. Hat man A = 1, so ist das Eintreten des Gleichheitszeichens in (1) nach 32. I. und 50. IV. gleichbedeutend damit, dass in der Schaar der Körper S{p')c) ^ const. sich einmal ein Restbereich findet; derselbe entspricht dann dem Werthe const. = — M = Jetzt setze man A > 1 und dazu Vj, ... vx (mit der Summe n) irgendwie gegeben voraus, so wird als charakteristisch für die bezüglichen extre- men Aichkörper gefunden werden, dass sie in gewisser Weise aus den Restbereichen in Mannigfaltigkeiten Vj*®', ... vx^^ Ordnung entspringen. Wie in 53. werde unter Sl irgend eine positive ungerade Zahl, unter § die Menge der Ä" Gitterpunkte mit einer Spanne <^ — - — von 0 verstanden, ^x(o) für x=l, ... A bedeutete jedesmal den Körper /S(0£) ^ y ilf,f . Es sei ^(oj) ^ 1 für x^, , . . Xn einge- richtet; wenn x einen der Werthe 1, ... X — 1 hat, werde dann unter der zu x gehörenden Zerlegung £ = j', j" die Auflösung von Xi, ... Xn in die zwei Gruppen x^, ... X/^^ und Xfi^.^^ - - . Xn verstan- den, wie sie oben bei der Vergleichung der Volumina von ^x(§) und ^^_j_i(§) gebraucht wurde. Die Bereiche 3^, SS. @, § sind dabei jedesmal alle vier so geartet, dass in ihnen j' und j" vollkommen unabhängig von einander laufen, und zieht so jene allgemeine Zer- legung eines Punktes für dies^ Bereiche gewisse Darstellungen: 36', 36"; SS', SS"; ©', ®'> §', §" nach sich. Wo es die Deutlichkeit erfordert, soll den letzteren Zeichen wie auch scKon den Zeichen für einzelne Systeme j oder j" die Zahl x, auf die sie sich beziehen, als unterer Index beigefügt werden. So wird z. B. @/ (oder @') die Bedeutung der Menge aller ganzzahligen Systeme x^j ... a;^^, sozusagen des Zahlengitters „in 36x''^ haben; SSx' wird den entsprechenden Bereich für dCx vorstellen wie SS für 36, insbesondere also ein Restbereich in dly! sein; endlich wird §/ insgesammt Si/'x einzelne Systeme Qx aus (3x umfassen. Ersetzt man im Körper ^^(o) (x = 1, . . . A — 1) einen jeden Punkt l = Jx', Ix' durch t)x\ Ex", so dass dabei ^/ — Oy = -~- (jx' — Ox') ist, so entsteht der oben £lx(p) genannte Körper. Des Weiteren Minkowski, Geometrie der Zahlen. 15 226 Fünftes Kapitel. wurden die Volumina von ^x($x', Ox") und Clx(©x', Ox") für x=l, ...A — 1 mit Ux und Xx und noch das Volumen von ^;i(§) mit Ux bezeichnet. Die Ungleichung (1) entstand nunmehr aus der Gleichung 53. (8) und den k Ungleichungen: iix^Xx (x«i, ... A-1), nx^{si-\ + ^y I. Zu den hier definirten Grössen soll jetzt noch eine neue Grösse, Xxj hinzukommen. Jeder Punkt j ist (vgl. 50. (3)) in der Form 0 + Vi (»Jl - 0) H h V„(pn — O) mittelst bestimmter Werthe Vj, ... v„ darstellbar. Das Zahlengitter in Vj, ... Vn erscheint dabei ganz dem Gitter (5J einverleibt. Indem nun durch — -«- ^ va ^ ^ (^ ==" 1> • • • **) ^^^ Restbereich in v^, . . . v» definirt wird, erkennt man hieraus, dass jeder Punkt g über wenigstens einen Gitterpunkt verfügt, von dem die Strahldistanz nach j; sich < Y >S'(ot)i)+ • • • + Y S{opn) ^ Y Ml erweist. Sodann besitzt jeder Punkt 5 auch eine bestimmte kleinste Strahldistanz vom ganzen Gitter @ mit eben dieser oberen Grenze; diese Strahldistanz werde mit qp^(j) bezeichnet. Für die Punkte auf der Begrenzung des Bereichs hat man offenbar q>x(%)'=Y^^' I^i^se Function q>x{l^) nimmt nun alle für sie überhaupt möglichen Werthe bereits in einem beliebigen Restbereiche, z, B. in 58, an; sie ist zudem eine stetige Function der Coordinaten von 5 (vgl. 32. L), und so besitzt sie in SS (und damit zugleich für die ganze Mannigfaltigkeit de) ein bestimmtes Maxi- mum, das jetzt -^- Nx heissen möge; man erkennt die Ungleichungen Mx^Nx^nMx. Es werde nun der Körper 5(0 j) ^ y -^^ ^^* ^x{o) bezeichnet, und unter Xx verstehe man das Volumen von Cl^(§). Da man Mx ^ Nx hat, enthält €li(§) den Bereich $z(^) ganz in sich, und folgt daher nxr.(l\ o") immer genau aus den Punkten J + f — o', f", und kommt dadurch der gesammte Bereich ^x(36', o") einfach auf 3£', ^x" hinaus. Der üebergang von ^x(o) zu £lx(o) sodann vollzieht sich wieder durch eine Veränderung bloss der Systeme f bei den Punkten f, f". — Man verstehe nun 'unter ^,f, beziehlich D^ die Menge aller in's Innere von 25', ^/ fallenden Punkte aus ^,(ß\ o"), beziehlich aus 0^(0$', o"), 15* 228 Fünftes Kapitel. jedesmal mitsammt der dazu gehörigen Begrenzung. Durch ganz ähn- liche Ueberlegungen, wie sie in 54. III. angestellt sind, erkennt man einmal, dass diesen Bereichen ^^ und £iy bestimmte Volumina zu- kommen, welche Px und Qx heissen mögen, und sodann, dass eben nach diesen Grössen P^ und Qx die Quotienten n Y und Slfy- Slf^x ^. vergirt mithin für ß = oo nach ^ , und aus il^ ^ Xx geht dabei bei unbegrenzt wachsendem Sl convergiren. Das Verhältniss y^ con- Qx ü =r oo nach ^ , und aus IIx < X Px£Qx (X=l, ...A— 1) hervor. Von der Gleichung (2) kommt man so, indem man die Zahl ß unbegrenzt wachsen lässt, zur Beziehung 1 «=: ^ . . . ?L ir* . . . Äf* ;i JL . ^ Pj P, ^^1 ^^ 2" Die hier auftretenden Grössen sind nun durchweg von ^ unabhängig, und ergiebt sich zunächst die Folgerung: Das Gleichheitszeichen in (1) tritt dann und nur dann ein, wenn in jeder einzelnen der X Ungleichungen Px ^ Qx für x= 1, ... A das Gleichheitszeichen statthat. IL Nun prägt sich für jeden Index x. der Unterschied zwischen dem Falle Px < Qx und dem Falle Px == Qx immer schon am Bereiche ^x(o) allein in gewisser Weise aus. Es habe x zunächst einen der Werthe 1, . . . A — 1, und man be- nutze die zu diesem x gehörende Zerlegung j = j', j". Jedem Punkte j', j" kommt dann eine bestimmte kleinste Strahldistanz von der Menge 26', o" zu; sie stimmt jedesmal überein mit der kleinsten Strahl- distanz von 0 nach der Menge X', 5", und diese Strahldistanz wurde in 53. IV. mit S"(p"l") bezeichnet. Die in 3£', 0" gelegenen Punkte des Gitters @ setzen sich genau zur Menge @', 0" zusammen; und es kommt weiter einem jeden Punkte 5 eine bestimmte kleinste Strahl- distanz von dieser neuen Menge ©', 0" (d. i. also hier @x', Ox") zu; diese neue Strahldistanz werde mit 9?x(j) bezeichnet. Dabei muss selbstverständlich jedesmal yS"(o"j") ^ 9^x(Ö gerathen. Ferner hat man für beliebige zwei Punkte a und b noth wendig immer: (3) 9>.(B)^9x(a) + ^(aB). ^ Diese Function g)x(j) nun hat in den Punkten der Begrenzung Eine weitere analytisch-Arithmetische Ungleichung. 229 des Bereichs ^*(®', o") offenbar immer den Werth 4" -äfx, im Inneren dieses Bereichs ist sie jedenfalls stets ^ y M^, ausserhalb desselben stets > Y Jtf^ . Ferner nimmt sie alle Werthe, die sie in dem ganzen Bereiche 1', ^/' besitzt, bereits in 3S', ^x" an; nun erweist sie sich durch die Regel (3) als eine stetige Function der Coordinaten von j, und besitzt daher in dem abgeschlossenen Bereiche Sß', ^x" ein bestimmtes Maximum, das — N^ heissen möge. Diese Grösse be- deutet jetzt zugleich das Maximum von qpx(j) in dem ganzen Bereiche 3£', ^x", und es leuchtet ein: Man hat Nx> M^ oder N^ = M^, das erste, wenn ^x(@', o") nicht den ganzen Bereich 3E', $x" ausfüllt, das zweite, wenn ^x(®', o") sich mit 3£', $x" deckt. Da 36', $x" mit dem als ^x(3£', o") definirten Bereiche zusammen- fällt, kann man zu jedem Punkte aus dl', ^x" immer wenigstens einen solchen Punkt in der Menge 3E', o" angeben, von dem der erste nur eine Strahldistanz <— M^ besitzt. Der Bereich 36', o" sodann ist der Inbegriff aller Punkte vom Ausdruck 0 + Vi(Pi - o) + . • . + i;^^ {p,^ - 0) (s. 50. (3)); nun stellt für ganzzahlige Werthe Vj, ... t>^,^ dieser Aus- druck jedesmal einen Gitterpunkt, also einen Punkt aus @', o" dar, es befindet sich deshalb jeder Punkt aus 3l\ o" von wenigstens einem Punkte aus &\ o" in einer Strahldistanz, die ^ -^ ^* ist- Es geht aus diesen Umständen noch JV* ^ (f*x + l)-3fx hervor; doch wird diese obere Grenze für ^x im Folgenden nicht gebraucht werden. Man kann jetzt nachweisen, dass die Bedingung Q^ = P» voll- kommen gleich sverthig ist mit JV» = M^, welch letztere Gleichung bedeutet, dass ^x(@x'; Ox") für sich schon den ganzen Bereich ^x(36x', Ox") einnimmt. Man verstehe für ein System i' aus ^x" unter '^»{o, j") und ^x'(o', l") immer den Inbegriff aller derjenigen Systeme j', für welche %\ j" einen Punkt aus ^x(o), beziehlich aus Dx(o) vorstellt; sodann mögen U^if) und Xx(f) die Volumina von ^x'(§'> l") ^^^ ^x{^', f) in dl' sein. Nach 53. IV. lässt sich immer Qx'(o', f) durch Translationen in Bereiche überführen, die ^x'(o', £") ganz in sich schliessen; wenn also ^x'(^', e") die ganze Mannigfaltigkeit 3E' überdeckt, wird dies gewiss auch der zugehörige Bereich Dx'(®'> ?') thun müssen. Daraus folgt weiter, dass, wenn ^x(@', o") den Bereich 3E', ^x" ganz erfüllt, dasselbe von £lx(ÖJ', o") gelten muss; in diesem 230 Fünftes Kapitel. Falle kommen dann also £lx und ^x beide auf den ganzen Bereich S8', ^x" hinaus und stimmen somit auch unter einander überein. So ergiebt sich erstens: hat man Nx = M^, so gilt auch Qx == P^. Jetzt sei zweitens ,^x > ^xj so lässt sich zeigen , dass in diesem Falle nothwendig Qx > Px gilt. Nämlich es sei dann 1 irgend ein solcher Punkt in 3E', ^x\ für den ^«(l) möglichst gross ausfällt, also einerseits: S"{o''V') ^ y ü/« und dazu: (px{i) = y ^x. Man setze N — M tx = ^ ^ — - , falls letztere Grösse sich ^ 1 ergiebt, und sonst tx = 1, in jedem Falle hat man dabei ^x > 0 und ^ 1; und man führe noch j" = ^xO" + (1 — tx)l" ein. Alsdann existirt in 3^', f gewiss t irgend ein Punkt J = f, f, für den /S'(il) ^ -|^ Mx ist; daraus folgt vermöge (3): ^^^^^ letztere Grösse Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 231 ^ 1 ist, und sonst -^-^ = 1, dabei hat man in jedem Falle O*« > 0 und < 1, und geht nun immer Clx'(o', ^") aus ^x'(o', 9") durch eine Dila- tation in einem Verhältnisse ^ 1 + ^x • 1 hervor, üeberträgt man jetzt auch die Sätze 54. (4) und 54. (1) von der Mannigfaltigkeit H auf ü'f so findet man noch unter Berücksichtigung des vorherigen Resultats: (4) . x;(9") ^ n:{\^") + K'ntj^-njif), wobei immer j" mit 5" durch 9" — e" = ^«(j" — 0") verbunden zu denken ist; für ein jedes System j" aber gilt (s. 53. (5)) wenigstens (5) y,'ö")^n;(j"). Nun nehme man in 3£" irgend ein Würfelnetz an, seine Kante heisse tx$, und man wende (4) und (5) auf alle diejenigen Systeme Xf' und i an, welche als Mittelpunkte von Würfeln dieses Netzes auf- treten; alsdann bilden die Systeme j", welche mit diesen Systemen ^" in (4) verbunden sind, genau die sämmtlichen im Inneren von ^J/ gelegenen Mittelpunkte von Würfeln eines gewissen Netzes in H" mit der Kante d. Addirt man nun alle so gefundenen Ungleichungen (4) und (5), multiplicirt das Ergebniss mit (^x^)'*~'"* und lässt d nach Null abnehmen, so entsteht nach 52. IL: und daraus geht nach dem Resultate des Abschnitts L: -p- ^ 1 + U-^/* > 1 hervor. Endlich betrachte man den Fall x = L Gilt die Beziehung 2^;^ = Mx, so erfüllt Sßx{^) die Mannigfaltigkeit de ganz, und hat man daher P;i == 1 und somit auch Q^ = Px. — Ist aber Nx > Mxy so bestimme man irgend einen Punkt I, für den die kleinste Strahl- 1 ^i- ^i distanz von (3, also (px(l), = y iV^ wird. Man setze -^^ = — ^ , wenn letztere Grosse ^ 1 ist, und anderenfalls 0-2 =« 1; in jedem Falle wird dabei ^x> 0 und ^ 1. Alsdann haben einerseits der Körper S(ll)< — Mx und der Bereich $a(®) keinen inneren Punkt gemein, andererseits entsteht ^^(o) aus ^2(0) durch eine Dilatation in einem Verhältnisse ^ 1 -h -^^ : 1- Die Anwendung des Satzes in 54. II. (noch unter Berücksichtigung der dort am Schlüsse gemachten Be- 232 Fünftes Kapitel. merkung) führt nunmehr zu X;i ^ JIa + ^fTIxj und daraus geht dann §^ > 1 + -Ö-/ > 1 hervor. Es hat sich somit für das Eintreten des Gleichheits- zeichens in (1) als nothwendig und hinreichend ergeben, dass die l Gleichungen N^ = M^, ... Ni == Mi bestehen. Die Weiterentwickelung dieser Bedingungen führt nun sogleich zu ein- fachen Endergebnissen. III. Man definire X Körper %^(o\ ... ffixio) in folgender Weise: Es bedeute zuvörderst fHi(o) den Körper /S(o£)^y^i5 ^^^ ^^^ 9'lx(o) für K==l, ... X — 1 werde jedesmal 9flx+i(o) gewonnen, in- dem man jeden Punkt Jx', ?x" des ersteren Bereichs abändert in M Ix, W SO, dass dabei t|x" ~ 0«" = ^^ (jx" — O^") genommen wird, X also in derselben Weise, wie aus £lx(o) der Körper ^x+i(o) abzuleiten sein würde. Am Ende wird dann ^i{o) einfach diesen Charakter tragen: Während x^^ . Xn im Körper ä(o j) ^ 1 verläuft, wird vom Punkte mit den Coordinaten y ^i » , . . -^ Xn der Bereich SSix (o) be- schrieben. Nun ist zuerst 3^i(o) identisch mit $i(o), also 9li(^i', o/') mit $i(®i'? ^i)> ^^^ dabei sind die einzelnen Körper 9fli(gi', o/') in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Gilt jetzt N^ = -Züfj, so er- füllt, nach den Wahrnehmungen in IL, ^i((^i', o/') den ganzen Be- reich ae/, ^/' und deckt sich £li(@/, o/O mit ^i((5j;, o/'), d- i. ^iW; o/O, und hierdurch weiter %{(^^y o/') mit %{(^;, o/'), $2(®2'> ^2") °^i* ^2Ä'> 02"); und dabei sind, wie aus der Entstehung dieses letzten Bereichs hier einleuchtet, die einzelnen Körper ^2i.%2i ^i') m ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Nimmt man die Beziehung N2 == M^ an, so erfüllt nach dem Obigen $2(^2» V) ^^n ganzen Bereich 36/, ^3" und deckt sich OgC®/, O mit ^2(^27 o/'); hat man dazu noch iVi = Mj, so wird sich also D^i^i, Og") auch mit SflaC®/, 0/0 decken, dadurch dann weiter $3 (©2'; O mit 9f^8(@2', O2") u. s. f. Durch die gehörige Fortsetzung dieser Schlüsse gelangt man endlich zur Einsicht, dass, wenn sämmtliche X Gleichungen N,^M,, ,.,Nx^Mx statthaben, jedenfalls 1R2(o) ein Restbereich in 36 sein wird, freilich noch von specieller Art, die nun genauer ergründet wer- den soll. Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 233 Es sei zu dem Zwecke x eine nach Belieben herausgegriffene der Zahlen 1, ... A — 1; es wird nur noch von der zu diesem Werthe X gehörenden Zerlegung j = j', 5" die Rede sein, und man schreibe zur Abkürzung ^^ = m. Es bedeute ^ den Körper ä(oj) ^ 1, J sein Volumen, ^" die Menge der Systeme j" im Körper Ä, endlich J" das Volumen von ^" in 3E". Die in 9ix(o) auftretenden Systeme j", deren Inbegriff der Bereich ^x' ist, erhält man aus der Formel j" - 0" = I ■M.Ct" - 0"), während c" sich in ^' bewegt; man verstehe für ein System c" aus ^' unter ^'(^") ^^® Menge derjenigen Systeme j', bei welchen j', c" als ein Punkt aus ^ erscheint, unter J' {t") das Volumen von ^(c") in 26', und noch für das zu z" hier gehörige System j" unter 9?x'(o', j") die Menge derjenigen Systeme j', bei welchen j', j" sich als ein Punkt aus 3flx(o) erweist; das Volumen von ^x{^'y j") in ^' wird dann jedesmal durch — M^"^ ... Ml* J' {z') dargestellt sein. i Nun setze man zuvörderst die Gleichungen (6) N, = M„...N, = M, voraus. Die Folge dieser x Gleichungen ist nach dem oben Dar- gelegten, dass die einzelnen Körper ^x{^, o") unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden sind und insgesammt den ganzen Bereich 3E', $x" ausfüllen. Diese Umstände wieder sind genau gleich- bedeutend damit, dass für jedes System 5'' im Inneren von ^x' s^ ^^^^ ^^^ ^^^ ^^^^ nicht bloss gPx(?) > "ö" -^x, sondern auch jedesmal S"{q'\ j") > — Jf^; alsdann hat man auf der Strecke o"j" in 3E" immer ein bestimmtes System u", wofür S" (o"u") = -i- Jf^, S"{vl"i") == >S^"(^"£' ) — Y '^'^ ^^^' "°^ kann man dazu einen Punkt U, in 3E', u" gelegen, annehmen derart, dass für ihn Ä'(uj) = S'\vi"Tc") ausfällt; nun wird nach dem zuvor Bemerkten g)x(u) = y Mx sein, und entnimmt man hieraus und aus g>x(Ö < ^'xCu) + >S'(uj) noch 9^x(Ö ^ '^^ (''"?')• ^Iso wird jetzt ausserhalb des Bereichs $x(®', o"), d. i. wenn q)x{lO > y M^c erscheint, stets 9x(?) *= S"(p"']c'') gelten. Man schreibe wie in 47. und es sei ^i, ... pn ein System von n Gitterpunkten in n unabhängigen Richtungen von o aus mit den Strahldistanzen ^(opi)^^!, ... S{opn)=-S„, Dann bedeutet, wie aus 47. einleuchtet, 3E', o" hier eben die durch 0, pif ... pm gelegte Mannigfaltigkeit, und können nach einander die Werthe 9)x(pmH-i), ... 9>x(pn) auch nicht kleiner als beziehlich Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 235 ausfallen, und sie werden also einfach mit den letzteren Grössen über- einstimmen; daraus schliesst man jetzt Dabei erweisen sich p^+ii . . . pn' in X" als solche n — m Systeme aus dem Gitter @", die in n — m unabhängigen Richtungen von o" aus liegen. Sind andererseits q^+i? • • • P«" irgend welche n — m Systeme dieser Art aus @", so kann man dazu stets in den Mannig- faltigkeiten de, qm-f 1, ... X', q«" solche Gitterpuiikte qm+i, . . • q« wählen, für welche die Strahldistanzen 9)x(qm+i), .•• L == 1 sogleich folgendes Theorem hinstellen: Man nehme irgend welche positive Zahlen Vj, ... vx mit der Summe n an und setze fto^^^j f*i=^i> ••• f*i==^i + *• +fi=w; man führe sodann irgend eine Substitution (8) {h = ^x_i + 1, . . . ftx; X = 1, . . . A - 1), ein, wobei 0 < M^ <- - - < Mx sei, im Uebrigen aber die Grössen Mx und a^*^ beliebig gewählt sein dürfen, und lasse für x = 1,...A 236 Fünftes Kapitel. immer yn^^^+ij ... «/^^ irgend einen beliebig festgesetzten Restbereicb S'l^*^ in der Mannigfaltigkeit dieser Variabein beschreiben. Dadurch entsteht in x^^ ... Xn jedesmal ein ex- tremer Aichkörper ^, der zugleich für die speciellen Va- riabein Xu ... x„ eingerichtet erscheint; und jeder extreme und zrgleich für x^j ... Xn eingerichtete Aichkörper kann in dieser Weise, und immer nur durch eine Annahme über X und die v«, M^, ah^^\ W-*\ erhalten werden. Durch dieses Theorem ist die Bestimmung sämmtlicher extremen Aichkörper zurückgeführt auf die Bestimmung der Restbereiche in den Mannigfaltigkeiten von n und von weniger Variabein. Der hier mit W^^ bezeichnete Eestbereich besitzt in seiner Mannigfaltigkeit, die eine solche von v^ Variabein vorstellt, gewiss nicht mehr als 2^j<+^ — 2 wesentliche Stützebenen (vgl. 34. IL). Indem man nun in die Gleichungen dieser Ebenen die Variabein x^j . . . Xn durch (8) einführt und nach einander jeden Werth ^ = 1 , . . . A heranzieht, bekommt man genau die sämmtlichen wesentlichen Stützebenen des extremen Aichkörpers ^, und deren Anzahl erweist sich so ^ (2"^+^ — 2) H h {2n+^ — 2); letzteres Aggregat ist noch für ein A > 1 stets < 2"+^ — 2. Des Weiteren bemerkt man, dass, wenn A > 1 ist, noth wendig in gewissen der hier bezeichneten Ebenen rationale Richtungen auftreten, indem die Gleichungen der Ebenen nicht alle Variabein x^, ... Xn wirklich enthalten. Andererseits besitzt ein Bereich W^^ doch mindestens 2vx Stütz- ebenen. Soll nun der Körper ^ insbesondere ein Parallelepipedum werden, also selber nur 2w wesentliche Stützebenen haben, so muss dann jeder Bereich W^^ für sich ein Parallelepipedum sein. — Be- achtet man für die Fälle A > 1 die hier unmittelbar zuvor gemachte Bemerkung und für A = 1 die Ausführung in 41. II., so erkennt man namentlich: Ein Parallelepipedum, auf dessen Begrenzung keine rationalen Richtungen vorkommen, kann niemals einen extremen Aichkörper abgeben. 56. Eine Hülfsbetrachtung über Ovale. Es kamen vorhin die bei 52. (7) ausgesprochenen, aber dort ohne Beweis gelassenen Hülfssätze zur Verwendung, und bedarf es zur vollständigen Sicherstellung der letzten Ergebnisse nunmehr der Begründung jener Hülfssätze. Wir beginnen mit einer genaueren Betrachtung der bezüglichen im Falle n ==^ 2 obwaltenden Umstände. Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 237 I. Zunächst sei im Hinblick auf das Spätere an den Beweis einer bekannten Eigenschaft der stetigen Functionen erinnert. Es sei y{x) in einem Intervalle a^ ^ a? ^ a^ durchweg eine stetige Function von Xj und es sei y{a^ = h^, y{a^) = h^ und 60 < ^i- Nun bedeute h irgend einen gegebenen Werth ^ ft^ und ^ &j, und es sei a sodann die grösste untere Grenze (s. 20.) aller derjenigen Werthe x im Inter- valle a^'^X'^ «1, bei welchen man y{x) — 6 > 0 hat. Es kann als- dann nicht y(a) — 6 > 0 gerathen, denn dazu müsste doch jedenfalls a > «0 sein, und würde sich durch die Stetigkeit von y{x) an der Stelle X = a nach den kleineren Werthen x hin ein Widerspruch gegen den Begriff einer unteren Grenze herausstellen. Es kann auch nicht y{a) — 6 < 0 ausfallen, denn dazu müsste doch a < «j sein, und würde durch die Stetigkeit von y(x) an der Stelle x = a nach den grösseren Werthen x hin ein Widerspruch gegen die Natur einer grössten unteren Grenze zu Tage treten. Also gilt dann noth wendig y{a) ^h. Wenn y{x) im Intervalle öq ^ a? < a^ insbesondere eine mit x beständig wachsende Function vorstellt, kann es zu jedem Werthe y, der '^\ und <,\ ist, auch nur einen Werth x geben, für den y{x) =^ y wird. Dieser Werth werde dann durch x{y) bezeichnet; er stellt natürlich umgekehrt eine mit y beständig wachsende Function im Intervalle \ "^y "^h^ vor, und man erkennt auch diese Func- tion wieder als eine stetige; denn einer beliebig gegebenen Aen- derung der Variabein x von einem Werthe a an entspricht jedesmal eine bestimmte Aenderung der Function y{x) von y(a)==h an in gleichem Sinne, und dann gehört zu jeder kleineren Aönderung der Variabein y von h an in diesem Sinne gewiss immer eine kleinere Aen- derung von x(y) als jene vorgegebene. IL Es sind in diesem Buche für gewisse Begriffe in Bezug auf Mannigfaltigkeiten von n Variabein die Benennungen „nirgends con- caver Körper" und „Volumen" eingeführt worden; diese Ausdrücke sind gewählt, damit man sich im Falle eines allgemeinen n stets die im Falle w = 3 mögliche geometrische Versinnlichung jener Begriffe gegenwärtig halte; sie passen jedoch nicht, wenn ausdrücklich von n = 2 die Rede ist, und es mögen deshalb für diesen Fall, auf den jetzt speciell eingegangen wird, an ihrer Statt die Worte Oval*) und Inhalt gebraucht werden. *) Zahlreiche sehr interessante Eigenschaften der nirgends concaven Gebilde in zwei und drei Dimensionen hat Herr Brunn aufgedeckt in den Abhandlungen: üeber Ovale und Eiflächen, Inaugural-Dissertation, München 1887; Ueber 238 Fünftes Kapitel. Man denke sich nunmehr eine Mannigfaltigkeit von zwei Variabein Xf y. EiD Oval in Xj y ist dann (gemäss 52.) zu definiren als eine solche Menge von Punkten x^ y^ die 1^ mit einer geraden Linie regel- mässig sei es keinen Punkt, sei es einen Punkt, sei es eine Strecke von Punkten gemein hat, und die 2^ nicht selbst bloss eine Strecke oder gar einen einzelnen Punkt vorstellt. Die Eigenschaft 1^ für eine Punktmenge ist nach 52. mit der Gesammtheit der folgenden Umstände gleichbedeutend: 3^ dass, sowie zwei Punkte zur Menge gehören, auch jeder Punkt der dieselben verbindenden Strecke zu ihr gehört, 4^ dass die Menge eine abgeschlossene ist, und endlich 5^ dass für die Werthe der Coordinaten jc, y in ihr sowohl untere wie obere Grenzen bestehen. Es sei % ein solches Oval in x, y und J(^) sein Inhalt in Xy y. Sodann seien | und v zwei lineare Formen in a?, y mit einer Deter- minante = 1. Infolge von 4^ und 5^ besitzt | in 5t ein bestimmtes Minimum a^ und ein bestimmtes Maximum a^. Es besitzt weiter V auf der Geraden | = «q in H ein bestimmtes Maximum, das ^(«o) heisse, und auf der Geraden | = «^ in ^ ein bestimmtes Maximum, das 0(ai) heisse. Die Punkte der Strecke von | == a^, v == <^(ao) nach I = «j, i; = #(«1) sind dann durch (1) g = y = (1 - z)a, + ra,, 1; = F{y) = (1 ~ x)^{a,) + xO{a,) für die Werthe r ^ 0 und ^ 1 dargestellt. Nunmehr hat man über- haupt auf jeder Geraden | = y, bei welcher der Parameter >'>«<) und < «1 ist, in % immer ein bestimmtes Maximum von v, das jedes- mal mit 0{y) bezeichnet werde. Natürlich muss dabei stets (2) {v)>F{y) gelten. Insbesondere entnimmt man hieraus, dass das Minimum unter den zwei Werthen O(ao)> ^ish) ®^^® untere Grenze für sämmtliche Werthe (5(y) bildet. Die Menge der durch «o ^ ^ ^ "i> ^ "^ ^(Ö definirten Punkte heisse das §- Profil von %\ diese Menge hängt offenbar von der Form V nicht ab. Hat man %'^'yQ ^ '==' ^(^o) ^^^^ S = ^u '^ ^^ ^{Vi) g^^^ 2" ^ gehört, nach der Bedeutung von 0{y) jedesmal sein. Die Beziehung (2) ist hierunter als besonderer Fall enthalten. (3) «W ^ '^l «-(ro) + Jt^ «(n) Curven ohne Wendepunkte, Habilitationsschrift, München 1889; Referat über eine Arbeit: Exacte Grundlagen für eine Theorie der Ovale, Sitzungsber. d. math.-physik. Classe der bayer. Akad. d. Wiss. 1894. Bd. XXIV. S. 93—111. (S. auch nuten den Schluss von 57.). Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 239 Es fragt sich jetzt, inwieweit dieses Gesetz (3) das Wesen der Function 0(1) bereits erschöpft. Bezeichnet man für einen Augenblick einen Quotienten ^ _ |-— - allgemein durch (^, JJ, wobei stets lo < Si genommen werde, so kann die Ungleichung (3) auf die beiden Formen iyoy y)^(.yoy Vi) ^"^ (^o; yi)^(y> rO gebracht werden, die mit ihr vollkommen gleichbedeutend sind. Man ersieht daraus, dass die Function (lo, I,), sowohl wenn das eine wie wenn das andere Argument grösser wird, niemals zunimmt. Insbesondere ist so (2) gleichbedeutend °iit («0, r) ^ K, «i) und («0, a,) ^ (y, a^). Nun denke man sich «o <^ So < y < 6i < «^^i; so gilt («0, r) ^ («oj li). (5o; «i) ^ iVy «i)- Daraus geht hervor, dass, sowie auch nur von einem Werthe y > «o und < Äi feststeht, dass für ihn in (2) das Zeichen = gilt, noth- wendig im ganzen Intervalle «o ^ 5 ^ «i sich 0(5) = i^(5) heraus- stellt. Weiter erschliesst man aus jenen Beziehungen eine obere Grenze für die sämmtlichen Werthe von 0(5). Aus («o> y) ^ i^y y) ^ (yy «i) ^^^^ («o> y) ^ (y, £i) > (y ; «i) entnimmt man sodann die Stetigkeit von 0(5) an der Stelle 5 = y, welche eine völlig beliebige im Inneren von c^Q^^-^a^ vorstellt. Endlich leuchtet ein, dass, wenn man (5^, 5i) > 0, also 0(5o) < ^(5i) hat, die Function 0(5) im Bereiche «q <^ ^ ^ ^ ^^^ ^®^ zweiten zur ersten Grenze hin und, wofern (5o, li) < 0, also 0(5o) > 0(5i) ist, 0(5) im Bereiche 5i ^ 6 < o^i von <^er ersten zur zweiten Grenze hin beständig abnimmt. Danach erscheint im Bereiche ag < 5 < a^ nun 0(5) entweder als eine niemals abnehmende oder als eine niemals zunehmende Function, oder aber drittens: man kann darin zwei Ar- gumente y^y yi finden so, dass 0(5) sowohl in ^o ^ ^ > "o ^i® ^^ yi ^ 5 < ^1 von der ersten zur zweiten Grenze beständig abnimmt. Da sich nun bereits eine untere wie eine obere Grenze für die Werthe von 0(5) ergeben haben, ist in jedem dieser Fälle klar, dass bei An- näherung des Arguments 5 im Bereiche a^ < 5 < «i an die eine oder die andere Grenze jedesmal 0(5) nach einer bestimmten Grösse conver- girt, die mit 0(^0 + 0), beziehlich 0(ai — 0) bezeichnet werden möge. Aus (2) folgt sodann 0(ao + 0) ^ 0(ao), 0(^1 — 0) 2> 0(aO- Zieht man von Neuem die Eigenschaft 4^ heran, dass ein Oval immer eine abgeschlossene Punktmenge vorstellt, so müssen jetzt auch die Punkte 5 = «o; ^ == ^(«o + ^) "^^ 5 = «i» ^ = ^(«i — ^) ^^ 21 gehören, und kann daher nach der Bedeutung von 0(ao) ^^^ ^(«i) nur 0(ao + 0) = ^(«o); ^(«i — 0) = 0(ai) sein. Damit erweist 240 Fünftes Kapitel. sich die Function 0(g) im Intervalle «o ^ ^ ^ ^'^i ^^^^ ^^ ^^^ Grenzen als stetig und ist also durchweg darin stetig. Andererseits leuchtet ein: Hat man irgend eine Function ^(|) in einem Intervalle «o ^ ^ ^ "i definirt, welche für je drei Werthe 70 f ?} Yi darin, wobei ^o < y < ^i ist, stets dem Gesetze (3) gehorcht, und für welche ausserdem ^{oCq + 0) nicht > ^{a^ und ^(«j — 0) nicht > C&(ai) ist, so erscheint diese Function in ihrem Intervalle durchweg als stetig; und setzt man dann so hat man entweder durchgängig ^(|) == -F(J), oder aber schon die durch «0 ^ I ^ «1 ; jP(|) ^ v ^ ^ (|) definirte Punktmenge ist ein Oval (gemäss 5^, 4^, 3^, 2^). Die Menge der durch «o^S.^«!, V == '^ = 9^ (ö gegebenen Punkte wäre dann das ( — |) -Profil von %\ und das Oval 51 selbst ist durch sein %- und sein (— J)- Profil vollkommen fest- gelegt, nämlich als die Punktmenge, in der «o^ 5^"i; ^(ö ^ ^ ^ ^(ö gilt. Man kann nun in (3) das Zeichen 0 mit — (p vertauschen und erhält insbesondere der Relation (2) entsprechend: (4) — (p{y) ^ — (1 — r)(p{a^) — r(p(a,) für y =i (1 — T)ao + ^*^i ^^^ ^ ^ 0 und < 1. Mit ^(1) und 9?(|) ist auch ^(|) — (p{i)j welche Differenz mit ^(5) bezeichnet werde, im ganzen Intervalle «o ^ ^ ^ ^i ^^^^ stetige Function von |. Durch Addition von (2) und (4) erhält man (5) 9(y) ^ (1 — r)^(ao) + r^(ai) für y = (1 — t)«^ + TT«! und 0 ^ r ^ 1, und gilt in (5) wieder ent- weder durchweg das Zeichen = oder aber das Zeichen > bei allen Werthen y > «q und <«!. Mit Rücksicht auf 2^ muss nun für jeden Werth y, der > a^ und < a^ ist, stets ^(y) > 0 sein, wäh- rend 9(^0) ^°d andererseits ^(a^) auch gleich Null sein kann. Endlich lässt sich noch dem Satze in 52. II. hier der folgende Ausdruck geben: (6) J(%) =yV(ö(S), 9(5) für 51. Es sollen die Ovale 33 und ^ ähnlich gestreckt im Liniensysteme | = const. heissen, wenn (7) ^(^0 + ^(^1 - ^o)) ' 9(«o + ^(«1 - «o)) = A - A • «1 - «0 gilt im ganzen Intervalle 0 ^ t ^ 1. Hat man dabei noch ^^ — ^^^ = «^ — a^^ so soR man für „ähnlich gestreckt" hier auch gleich gestreckt sagen dürfen. Offenbar spielt bei diesen Beziehungen allein |, nicht aucl\> der Ausdruck von v eine Rolle. Aus dem Satze (6) erschliesst man, wenn die Beziehungen (7) gelten: 3(33) : 3(51) = (/^^ —/^o)« : («, — «0)2, sodass alsdann das Verhältniss /3j — ft : «j — «q auch nicht von den Coefficienten der speciellen Form % sondern von den Bereichen 33 und % an sich abhängt. Fordert man, dass 33 aus %, durch eine Dila- tation oder Translation abzuleiten sei, so kann es sich, wenn 3(33) ^ 3(51) ist, gewiss nur um eine Dilatation im Verhältnisse und, wenn 3(33) == 3(51) ist, nur um eine Translation handeln, und wird zu jenem Ende noth wendig und hinreichend sein, einmal dass 33 und 5( ähnlich gestreckt im Liniensysteme | = const. sind, und dazu noch, dass man im Intervalle 0 ^ r ^ 1 beständig ßi — ßo «1 — «0 hat. Nun gilt folgendes Theorem: Sind die Ovale 33 und % ähnlich gestreckt im Linien- systeme 5 == const., ist es aber nicht möglich, 33 aus 51 durch eine Dilatation oder Translation herzuleiten, so kann immer eine Größe c bestimmt werden, sodass im Liniensysteme ^ = v — c| = const. die beiden Ovale nicht ähnlich ge- streckt sind. Es genügt offenbar, wenn man diesen Satz anstatt für 33 selbst für irgend ein aus ^ durch Dilatation oder Translation abgeleitetes Oval beweist, und es wird deshalb gestattet sein, einfach die Annahmen ß^ = a^j ^(ßi) = ^(«o) ^^^ ßi = "i ^^ machen. Dann würden also 33 und 51 insonders als gleichgestreckt im Liniensysteme J = const. zu denken sein, was noch 3(33) = 3(51) mit sich bringt, und die Function ^(|) — 0(i) ist nun = 0 für J = «<,, stetig im ganzen Inter- valle cco^^^^u ^^^^ ^^^^ Voraussetzung darin nicht constant = 0 Man unterscheide jetzt zwei Fälle: Minkowski, Geometrie der Zahlen. 16 242 Fünftes Kapitel. Erstens sei auch ^F(aj) — ^(o^i) == 0. Alsdann kann man doch irgend einen Werth y > ccq und < a^ finden, für den 0{'y) — ^(y) von Null verschieden ausfällt. Es sei dabei etwa ^(y) > ^(y); dann bedeute ccq die kleinste obere Grenze aller Werthe | im Bereiche (^o^^^yj für welche ^F{^) — 0(|) ^ 0 ist, und a^ die grösste untere Grenze aller Werthe | im Bereiche y ^ £ ^ «i , für welche ist. Nun hat man ccQ ^(Q- Man kann alsdann die Grösse c = —^l-^ --^^ nehmen. Zuvör- derst haben dann J = v — c| und — | die Determinante 1. Man schreibe ^(«0) — cccq = x, so ergiebt sich auf Grund der Regel (3) 0(y) — cy'^x. Es bedeute weiter X das Maximum von g in Sl, wobei also sicher X^x ausfällt, und, wenn man A > x hat, so sei | = a, V = X -{- cü ein solcher Punkt aus §(, in dem dieses Maximum von J eintritt. Schreibt man wieder für einen Quotienten kurz (5o, li), so schliefst man, wenn «o ^ ^ ^ ^0 ^^^y ^-us (I, «) ^ («o; ^1) und, wenn «i ^ ? ^ «i ist, aus («q, ä^) ^ (ag, |) jedesmal 0(|) — c| ^ x. Berücksichtigt man die Bedeutung von ^(^), so muss daher im Falle A > X für den Punkt | = a, 5 = A sich nothwendig ^o <^ ^ <^ ^'1 ^^^ v=:;t4"C^= 0(a) herausstellen. Endlich bedeute ^ das Maximum von 5 im Ovale 35, so entnimmt man, wenn A > x ist, aus ^(a) — ca>0(a) — Ca und, wenn A = x ist, schon aus ^F{y) — cy > 0(y) — cy jedesmal ^> X. Man findet ferner, genau wie bei der Function ^(|), auch für ?P'(5), so lange «Q ^ I ^ «Q oder «1 ^ 5 ^ 0^1 gilt, immer *P'(|) — c| ^ x; nach der Bedeutung von W{^) wird man daher solche Werthe ^, die > x sind, im Ovale 95 gewiss nur bei Punkten treffen können, deren | im Be- reiche äQ x ist, gewiss Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 243 kleiner als ä^ — ^q ausfallen. Also sind hier in der That 33 und St im Liniensysteme ^ = const. nicht gleich gestreckt. Zweitens sei ^(«j) — ^(«j) von Null verschieden und etwa > 0. Dann bezeichne man mit ccq die klemste obere Grenze aller der- jenigen Werthe J im Intervalle «o ^ ? ^ *^i; ^^^' welche ist; dabei erhält man noth wendig ^(«o) — ^(^o) = ^ ^^^ ^ür jeden Werth 5 > a'o und ^ «^ stets ^(|) > 0(^). Hier kann man nun die Grösse c = , r-^ nehmen. Denn schreibt man v — c^=t, ^(«o) — cäQ = X und bezeichnet wieder das Maximum von ^ in 31 mit A, in 33 mit /i, so erkennt man durch ähnliche Ueberlegungen wie vorhin, daß x ^ A < /i ist und daß in S3, solange man «o ^ ^ ^ ^o hat, immer v ^x gilt. Alsdann erscheint die Differenz aus dem Maxi- mum und dem Minimum von — | auf der Linie g = x = yl — (A — x) in 51 gewiss ^ «i — c^o^ ^^® entsprechende Differenz auf der Linie ^ = ft — {X — x) = X -\- (^ — X) in 33 aber gewiss < «j — Öq, und sind danach in der That 33 und % nicht gleich gestreckt im Linien- systeme ^ = const. Man kann dem soeben bewiesenen Theoreme auch folgenden Aus- druck verleihen: Erweisen sich zwei Ovale in jedem möglichen Systeme paralleler Linien als ähnlich gestreckt, so lässt sich immer das eine aus dem anderen einfach durch eine Dilatation oder Translation herleiten. 57. Ungleichung zwischen den Yoluniina dreier Farallelschnitte eines nirgends concaven Körpers. Man betrachte wieder eine Mannigfaltigkeit von n Variabein Xi, . . . x^. Es seien in ihr x = 0 und ic == 1 die Gleichungen irgend zweier paralleler Ebenen (s. (8)), wobei also x irgend einen ganzen linearen, nicht nothwendig homogenen Ausdruck in x^j . . . x^^ vorstellt; es sei ferner t beliebig variabel im Lit ervall der Werthe ^ 0 und ^ 1. Sodann sei S eine ganz in der Ebene x = 1 gelegene Punktmenge, welche die Eigenschaft hat, mit einer beliebigen geraden Linie in X = l regelmäßig sei es keinen Punkt, sei es einen Punkt, sei es eine Strecke von Punkten gemein zu haben (s. 52. 1°), und welche dabei inwendige Punkte besitzt (s. 11.). Man verwende l zur Bezeichnung 16* 244 Fünftes Kapitel. eines beliebigen Punktes aus S, und endlich sei c^^ das Min im um, c/ das Maximum von Xj^ in (5 (vgl. 52. 5^ und 4^). Des Weiteren sei jetzt b ein einzelner in der Ebene x = 0 gelegener Punkt. Die Vereinigung aus allen Strecken bj von 16 nach den einzelnen Punkten j aus (S stellt dann einen speciellen nirgends concaven Körper vor; dieser Körper werde der Kegel mit b als Spitze und S als Grundfläche genannt und durch bS bezeichnet. Die Punkte dieses Kegels in einer Ebene x = t sind in der Form (1 — t)^ -\- H == ih 'i~ coiis^- dargestellt. An zweiter Stelle sei SB eine in der Ebene ^ = 0 liegende solche Punktmenge, welche aus S gewonnen werden kann, sei es durch eine Dilatation in einem Verhältnisse q:lj wobei g 0 und < 1 ist, noch andere Punkte als 2 auf. Giebt mau jetzt dem Zeichen K'(t) die entsprechende Bedeutung für ^, wie sie L'(t) für 2 hatte, und wendet in der Mannigfaltigkeit der Variabein x^,.,.x^_^ den Satz an, dass, wenn ein nirgends concaver Körper einen anderen solchen Körper enthält, der erste stets ein wesentlich grösseres Volumen besitzt (s. 52. IL), so stellt sich für jeden Werth t > 0 und < 1 sicherlich: 246 Fünftes Kapitel. (3) K'{t)>L'it) heraus. Nach allen diesen Vorbereitungen soll jetzt die in der letzten Untersuchung hinsichtlich der Begründung der Sätze in 52. IV noch gebliebene Lücke vollständig ausgefüllt werden. I. Es sei ^ ein beliebiger nirgends concaver Körper in x^, . . . x . Es sei h das Minimum, c das Maximum von x^ in ^, so nimmt x in ü jeden Werth ^ h und ^ c an. Man verstehe nun, wenn t einen Werth ^ 0 und ^ 1 vorstellt, immer unter X die Menge aller Punkte aus ^ in der Ebene ic„ = (1 — Y)& + ^c, unter %' die Menge der Systeme x^, . . . x„_i für diese Punkte; der Menge %' kommt dann nach 52. IL jedesmal ein bestimmtes Volumen in x^y . . . x^_^ zu, das T' heisse. Endlich bezeichne man X, T, T' für ^ = 0 mit 33, S3', B' und für ^ = 1 mit % ^\ C\ Für ein / > 0 und < 1 besitzt %' gewiss immer ein Inneres und stellt einen nirgends concaven Körper in x^ . . . Xj^_^ vor, und hat man T' > 0; dagegen kann B' und kann C unter Umständen auch = 0 sein. Aus dem allgemeinen Resultate in 52. (4) entnehme man noch die specielle Bemerkung, dass die Function T' im Bereiche 0 < ^ < 1 bei Annäherung des ^ an 0 sicherlich nicht einer Grenze > B' und bei Annäherung des ^ an 1 sicherlich nicht einer Grenze > C zustreben kann. Es soll nun gezeigt werden, daß immer die folgende Ungleichung statthat: «-?_ n-i_ n-i_ (4) yr ^ (1 - 0 y^' + iVC'. Für ^ = 0 und ^ = 1 ist dieselbe offenbar mit dem Zeichen = erfüllt. Man stelle sich zunächst einen Augenblick auf den Standpunkt, das hierin liegende Theorem sei bereits allgemein erwiesen. Sind h* und c* zwei Werthe derart, dass 6 ^ &* < c* ^ c gilt, so liefert die Menge ^* derjenigen Punkte aus ^, für welche man i>* ^x^^ c* hat, jedesmal wieder einen nirgends concaven Körper. Stellt man nun für einen jeden dieser Körper Sl* (unter ihnen tritt als der umfassendste ^ selbst auf), immer alle Ungleichungen nach Art von (4) auf, und nimmt man dazu noch die soeben gemachte Bemerkung über das Ver- halten von T' an ^ = 0 und ^ = 1 , so besagen alle diese Umstände zusammengenommen, mit Rücksicht auf die Ausführungen in 56. IL, genau die folgende Thatsache: Die Menge der durch O n — 1 definirten Systeme t, u bildet ein Oval in #, u. Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 247 Das ^Profil dieses Ovals besteht dann aus den Systemen n-l Die Bemerkung bei 56. (5) lehrt jetzt, dass in der Ungleichung (4) für den Körper ^ entweder durchweg das Zeichen = gelten wird oder aber das Zeichen > für jeden Werth t^ der > 0 und < 1 ist. Femer ist dann nach 56. IL die Function T' eine stetige von x^ im ganzen Intervalle 2> ^ ^^ ^ c, und nach 52. IL findet man das Volumen von Ä in x^j . . . x^ gleich (5) frdx^. Es werde B' ^ C vorausgesetzt. Hat man zuvörderst sowohl B' = 0 wie C == 0, so ist die Ungleichung (4) evident, und zwar mit dem Zeichen > für jeden Werth ^ > 0 und < 1. Jetzt sei B' == 0, aber C > 0. Man greife aus SB irgend einen Punkt b heraus, so muss nach der Natur eines nirgends concaven Körpers ^ sogleich den ganzen Kegel B® in sich schliessen. Aus (2) und (3) entnimmt man dann, dass sicher immer T' ^ ^"^C ist, worauf (4) hier hinauskommt, und auch noch, dass hier stets das Zeichen = gut, falls ^ mit diesem Kegel sich deckt, wobei dann also insbesondere S9 aus einem einzelnen Punkte bestehen würde; dagegen sieht man, dass hier für jeden Werth ^ > 0 und < 1 immer das Zeichen > statthat, wenn ^ nicht eben einen Kegel mit der Spitze in x^ = h und der Grundfläche in x^ = c vorstellt. Nunmehr sei C ^ B' > 0. Es soU alsdann ausser der Unglei- chung (4) noch Folgendes bewiesen werden. (6) Damit in (4) bei einem Werthe ^ > 0 und < 1 das Gleich- heitszeichen ei^;itreten kann, ist vor AUem erforderlich, dass der Be- reich 33 aus dem Bereiche © durch Dilatation oder Translation herzu- leiten ist (oder, was auf dasselbe hinauskommt, dass S3' aus ©' durch Dilatation oder Translation in der Mannigfaltigkeit x^, . . . x^_i herzu- leiten ist). Aus diesem ersten Umstände sind sogleich die vollständigen Be- dingungen für das Eintreten des fraglichen Grenzfalles zu entnehmen. Geht nämlich 33 aus © durch Dilatation oder Translation hervor, so muss Ä als nirgends concaver Körper mit 33 und ® sogleich den ganzen Kegelstumpf bez. Cylinder 33(S in sich schliessen. Aus (2) und (3) erhellt dann, dass, wenn Ä sich mit diesem Bereiche 93 S deckt, in (4) für aUe Werthe ^^0 und ^1 stets das Gleichheits- 248 Fünftes Kapitel.. zeichen gilt, dass hingegen, wenn ^ nicht eben einen Kegelstumpf bez. Cylinder mit den Grundflächen in x„ = h und ic„ = c vorstellt, für jeden Werth ^ > 0 und < 1 in (4) stets das Zeichen > statthat. — Aus diesen allgemeineren Sätzen gehen, wenn man C = B' annimmt und m für n — 1 schreibt, sogleich die Sätze bei 52. (7) hervor, deren Nachweis wir uns zur Aufgabe gestellt hatten. IL Es soUen nunmehr der Satz (4) und der Zusatz (6) unter der Annahme C'^ ^' > 0 allgemein bewiesen werden. Für n = 2 ist die Ungleichung (4) bereits mit 56. (5) festgestellt, während durch (6) für diesen Fall noch gar keine Bedingung ausgesprochen wird; denn S8 und © bedeuten dann parallele Strecken, und versteht es sich immer, dass zwei solche durch Dilatation oder Translation auseinander herzu- leiten sind. Wir können daher jetzt w ^ 3 voraussetzen und uns beim Beweise jener Sätze eines Schlusses von n — 1 auf n bedienen. Es darf also angenommen werden, dass alle in I. zur Sprache gebrachten Beziehungen für convexe Körper in Mannigfaltigkeiten von n — 1 Variabein bereits feststehen. Wie der Körper Ä mit Bezug auf die Variable x^ in die Bereiche % aufgelöst wurde, sollen die Mengen %' weiter mit Bezug auf a;„_i in Theilm engen aufgelöst werden. Da ^ > 0 sein soll, stellt 33' einen nirgends concaven Körper in ^17 ■ ' ' ^n-i ^^^- '^^ ^®^ ß{^) ^^^ Minimum, ß(l) das Maximum von x^^_i in 33', und für jeden Werth rj^ ß(P) ^^^ ^ ßO-) verstehe man unter 33 (i;) immer die Menge der Punkte aus 33, für welche x^_^ = rj ist, unter 33' (i^) die Menge der Systeme x^, . . . x„_2, iP„_i für diese Punkte, ferner unter 33" (?y) die Menge der Systeme ^i, • • • ^„_2 ^^^ sie. Einer solchen Menge 33" (ly) kommt jedesmal ein bestimmtes Volumen in a^i, . . . a;,j_«2 zu, das B'{rj) heisse. Diese Function B"(ri) ist dann im ganzen Intervalle /3(0)^'»y^/3(l) stetig, ferner im Inneren dieses Intervalls stets > 0, und wird man gemäss (5) für das Volumen von ßiX) 33' in x^, . . . rr„_i die Gleichung B = I B"(7i) drj haben. Setzt man allgemein, wenn t] im Intervalle ß(0) ^rj^ ß(l) liegt, / B'{x^_^) dx^_^ {im = 6 ' B', so wird also a eine stetige und beständig wachsende Function von Tj sein, deren Werthe sich von 0 bis 1 bewegen, während tj jenes Intervall durchläuft. Umgekehrt giebt es dann nach 56. I zu jedem Werthe ^ ^ 0 und ^ 1 immer einen vöUig bestimmten Werth rj^ ß(p) und ^ /3(1), mit dem als oberer Grenze das letzte Integral = 6 B' Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 249 ausfällt. Dieser Werth rj werde dann durch rj^ö) bezeichnet; er stellt seinerseits eine stetige und beständig wachsende Function von 6 vor die von /3(0) bis ß(l) läuft, während 6 sich durch das Intervall 0 ^ (j ^ 1 bewegt. Dabei hat für jede SteUe 6'>0 und <1 der Differential- quotient-^-- stets einen bestimmten endlichen positiven Werth, näm- lich er folgt aus: (7) B'\nW)^'f = B'. Weiter möge in Bezug auf den Bereich ß den Zeichen y(0), y(l), S; ^(0, ^\t)> ^'\0, 0"(t)', ^c 5(ö) die entsprechende Bedeutung bei- gelegt werden, wie sie ^(0), ^(1), ^; 93«, 93'(i?), ^'\rj), B'^rj)-, 6^, rj(6) in Bezug auf den Bereich 93 besitzen. Dabei wird auch 5((y) eine stetige und beständig wachsende Function von 6 im Intervalle 0 ^ (J ^ 1 , ferner C'(f) eine stetige Function von J im Intervalle y(0)^J^y(l), und hat man für jede SteUe (? > 0 und < 1 stets C"(J(0)) > 0 und (8) C"(5W)4f = ^'- Wir woUen uns jetzt unter t irgend einen bestimmten Werth > 0 und < 1 denken. Betrachten wir für einen Werth 0 und < 1 der Differentialquotient : (10) ^) = (i_o^i«) + rf^ mit Rücksicht auf (7) und (8) eine stetige und stets positive Function von 6. 250 Fünftes Kapitel. In X' nimmt auf XJ^_^ sicherlich alle Werthe ^ '^•(0) und ^ '9'(1) an, und hat man daher jedenfalls: (11) r^fr\^)dQ', Es bedeute ü^ die Menge der Systeme ^i, . • • ^„._2> ^» ^^^ ^i® Punkte aus ^ in der Ebene (S„. Für einen Werth ^ > 0 und < 1 durchschneidet die Ebene @^ sicher den Körper ^, besitzt daher ^^ stets ein Inneres und ist somit ein nirgends concaver Körper in ^i> • • • ^«-:; ^n- Nehmen wir jetzt an, der in der Ungleichung (4) liegende Satz über nirgends concave Körper sei bereits für Mannig- faltigkeiten von n — 1 Variabein bewiesen, so führt die Betrachtung der Schnitte von W^j mit x^ = hy a;„ = c und x^ = {\ — t)!) -\- tc zu: (12) V"^"^^ ^ (1 - 0 V^ß'V^ + tVG^'(^) für 0<ö< 1. Nun gilt, wenn F, TT, v, w vier positive Größen sind, stets die Ungleichung: n— 1 n— 1 n— 1 (13) f=.Y{T+~wy-\v -fw) — yw^— yw^'w^^ o. , In der That, hat man V:W = v: w = q: 1^ so folgt: f = yW"-'^w{{q+ l) — q—l) = 0. Ist aber — ^ — , so werde etwa — > — angenommen Dann ist auch — ^ — und findet man : V -\- W IV ^ n-2 n-2 cw wegen w>2. Man kann nun w continuirlich abnehmen lassen bis zum Werthe -y v hin ; dabei wird hiernach auch f beständig abnehmen, und da es zuletzt = 0 wird, muß es anfänglich > 0 gewesen sein. Bringt man die Ungleichung (13) auf ,, ,. F = (1 - 0 /Fx^ö)y, w = t yw'W)), in Anwendung und beachtet noch die Ungleichung (12) sowie die Be- ziehung (10), so geht n— 1 n— 1 n—l_ (15) yr'xiw)^' ^ (1 - 0 ]/b^,w)^ + 1 yc'xm ^J^ Eine weitere analytisch-arithmetische Ungleichung. 251 hervor, d. i. wegen (7) und (8): (16) r\^{6)) ^ ^ ((1 _ t)yw + tyc'T'' für 0< ((1 - t)yw + tVöT V. - 0 und w ^ 3 sicher zu stellen. Nehmen wir also, an, es habe in der eben bewiesenen Ungleichung (4), wo t irgend ein Werth > 0 und < 1 ist, das Gleichheitszeichen statt. In der Ungleichung (13) für vier positive Größen F, TF, v, w tritt, wie aus dem oben dafür gegebenen Beweise ersichtlich ist, der GrenzfaU f = 0 nur ein., wenn V :W = v :w ist. Hat man einen Werth (? > 0 und < 1, für welchen nicht (17) ^ywwd "/^"öw) ="v^ "vV' ist, so wird wegen (7) und (8) für diesen Werth 6 bei den Ausdrücken (14) auch nicht V:W = v: w gelten, also vielmehr /*> 0 sich ergeben, und wird' daher auch gewiss in (15) und (16) das Zeichen > statthaben. Desgleichen wird, wenn für einen Werth <5 > 0 und < 1 die Differenz aus der linken und der rechten Seite von (12) sich > 0 erweist, für diesen Werth 6 auch in (15) und (16) nicht das Zeichen = statt- haben. FäUt nun für irgend ein bestimmtes > 0 und < 1 die Differenz aus der linken und der rechten Seite von (16) positiv aus und ist dann d eine kleinere positive Größe als diese Differenz, so wird man wegen der Stetigkeit der Functionen T"('9'((5)) und — ^ im Bereiche 0 < 5 < 1 ein ganzes in diesem Bereich enthaltenes Inter- vall (>o ^ <^ ^ (>i bestimmen können, in welchem jene Differenz noch durchweg > d ist, und dann erweist sich T' mindestens um Ö {q^ — Qq) / n— 1 n— l\n— 1 größer als ((1 — /) ^^ + ^ "j/ 07 , könnte also in (4) nicht das 252 Fünftes Kapitel. Gleichheitszeichen statthaben. Nun ist aber Letzteres angenommen, also erfordert jene Annahme zunächst, daß für 0 < ^ < 1 stets die Be- ziehung (17) und femer stets (18) v'r'Ww) = (1 - t)VWW^f, + tymjii)) gilt. Nun handelt es sich darum, diese Ergebnisse zu verarbeiten. Aus (17) in Verbindung mit (7) und (8) folgt: 1 ^ (ö)^ ^ _1_ d^(^ yw yc für 0 < ^ < 1. Daraus entnimmt man sofort, wenn 0 < ^^ < ^ < 1 ist, ^(g)-rj(go) _ m - ^M n—l n-r-l ys' yw Wegen der Stetigkeit der Functionen rj^ö) und J((y) im ganzen Be- reich 0 ^ ^ ^ 1 ergiebt sich hieraus, wenn man 6q nach Null ab- nehmen läßt: n Q^ ri(<^)-ßio) _ m-y (0) ys' yc und weiter, wenn man ö nach 1 convergiren läßt, noch: yB' yc Jetzt ziehen wir die Gleichung (18) in Betracht. Es bedeute h einen der Indices 1, . . . w — 2 und man verstehe unter C;i(S3) die Menge aller im Bereiche 33 vorkommenden Systeme Xj^, ^n-i> welche Menge nach 56. II und 52. I ein Oval in a?,^, x.^_i vorstellt. Es ist ß(0) der kleinste, /3(1) der größte Werth von x^_i in 33, und man bezeichne für einen Werth ^„_i=^'»?(^) ^ /5(0) und ^ /3(1) mit Yjf^{a) den kleinsten Werth, mit H,^{6) den größten Werth von x^ auf der Geraden iP„_i = '»?(?( K-i wieder B' , C , T\ und andererseits sind auch die Mengen der Systeme a:*, x*_^ in 33 und © wieder genau durch die Ovale 0^^(33) und 0^(0), in den Coordinaten xl, x*_^ auf- gefasst, gegeben. Das letzte Ergebniss gestattet daher, wenn in der Ungleichung (4) das Gleichheitszeichen gilt, sogleich den weiteren Schluß: Die Ovale 0^(33) und D^C^) sind auch ähnlich gestreckt in einem jeden Liniensysteme x^^ — ^^„_i = const. Nunmehr ergiebt der Hülfssatz aus 56. III, daß überhaupt immer das Oval 0/^(33) aus dem Ovale ©^(ß) durch Dilatation oder Translation hervorgeht. In An- betracht von (19) muß danach immer 254 Fünftes Kapitel. K^^) ■;:zi — -^zr — yc |/J5' für 0 ^ ö ^ 1 gelten. Diese Beziehung, d. h. daß ^^^ — ^^ von a unabhängig ist, und dazu die Gleichung (19), d. h. daß ^^^ — ^;~~ von 6 unabhängig yc" YB' ist, nun zeigen, daß diejenige Dilatation oder Translation in oc^, . . . x^_^y x„_i, durch welche für ein ^>0 und < 1 der Bereich 33 '(^;(^)) aus dem Bereiche (^'{^{6)) hervorgeht, für alle diese Werthe 6 stets ein und die nämliche Dilatation oder Translation wird. Indem noch die Systeme x^j • • • ^„_i aus 35', für welche x^_i = ß{0) bez. = ß(l) ist, aus der Gesammtmenge 33' (i? (